Індуктивний і ємнісний опори в колі змінного струму

Коли в колі змінного струму є котушка індуктивності, струм у ній не миттєво досягає максимального значення. Причина — явище самоіндукції. Змінний струм, протікаючи через котушку, створює змінне магнітне поле, яке перетинає витки тієї самої котушки. Це породжує ЕРС самоіндукції, яка, згідно з правилом Ленца, завжди протидіє зміні струму: коли струм зростає, ЕРС напрямлена проти нього; коли спадає — підтримує його. У підсумку ЕРС самоіндукції зменшує амплітуду струму, і котушка поводиться так, ніби має певний опір.

Цей опір називають індуктивним опором і позначають XL. Його обчислюють за формулою:

$$X_L=\omega L=2\pi \nu L$$

де L — індуктивність котушки (в генрі, Гн), ν — частота змінного струму (в герцах, Гц), а ω = 2πν — циклічна частота. Одиниця вимірювання індуктивного опору — ом (Ом).

З формули видно: XL прямо пропорційний як індуктивності, так і частоті. Чим більша індуктивність, тим сильніше магнітне поле й більша ЕРС самоіндукції. Чим вища частота, тим швидше змінюється струм, а отже, ЕРС самоіндукції більша. Саме тому котушки використовують для фільтрації високих частот — вони «не пропускають» швидкі зміни струму.

Розгляньмо числовий приклад. Котушка має індуктивність L = 0,1 Гн, частота струму в мережі ν = 50 Гц. Приймемо π ≈ 3,14. Тоді:

$$X_L=2\cdot 3,14\cdot 50\cdot 0,1\approx 31\text{Ом}$$

Якщо ж у колі протікає постійний струм, частота дорівнює нулю: ν = 0. Тоді XL = 2π·0·L = 0. Це означає, що ідеальна котушка (без активного опору дроту) не чинить жодного опору постійному струму. На практиці дріт, з якого намотана котушка, має деякий активний опір R, тому повний опір котушки постійному струму дорівнює саме цьому активному опору.

Важливо: на ідеальній котушці (без активного опору) теплота не виділяється. Енергія лише поперемінно переходить від джерела в магнітне поле котушки (коли струм зростає) і назад до джерела (коли струм спадає). Тому реактивний опір не споживає активної потужності.

Конденсатор складається з двох провідних обкладок, розділених шаром діелектрика. Постійний струм через такий шар не протікає — діелектрик є ізолятором. Саме тому конденсатор вважають «розривом» кола для постійного струму.

Однак у колі змінного струму ситуація зовсім інша. Напруга на обкладках безперервно змінює знак, тому конденсатор постійно перезаряджається: то накопичує заряд, то віддає його назад у коло. Хоча носії заряду не проходять крізь діелектрик, у зовнішньому колі тече струм — це струм перезарядження обкладок. З погляду джерела, конденсатор «пропускає» змінний струм.

Опір, який конденсатор чинить змінному струму, називають ємнісним опором і позначають XC. Його обчислюють за формулою:

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi \nu C}$$

де C — ємність конденсатора (у фарадах, Ф), ν — частота змінного струму (у герцах). Одиниця ємнісного опору — теж ом.

Зверни увагу: XC обернено пропорційний частоті та ємності. Чим більша ємність, тим більше заряду може накопичити конденсатор, і тим більший струм перезарядження — отже, опір менший. Чим вища частота, тим частіше відбувається перезарядження, і струм у колі також зростає — опір зменшується.

Числовий приклад. Конденсатор ємністю C = 100 мкФ ввімкнено в мережу з частотою ν = 50 Гц. Переведемо в СІ: 100 мкФ = 100·10⁻⁶ Ф = 10⁻⁴ Ф. Тоді:

$$X_C=\frac{1}{2\cdot 3,14\cdot 50\cdot 10^{-4}}=\frac{1}{0,0314}\approx 32\text{Ом}$$

Розгляньмо граничні випадки. Якщо частота прямує до нуля (ν → 0, постійний струм), то XC → ∞ — конденсатор поводиться як розрив кола. Якщо ж частота дуже велика (ν → ∞), то XC → 0 — конденсатор практично не чинить опору, поводиться як провідник.

Як і на ідеальній котушці, на ідеальному конденсаторі теплота не виділяється. Енергія поперемінно переходить від джерела в електричне поле конденсатора (під час зарядження) і назад (під час розрядження). Це ще один приклад реактивного опору.

Для діючих значень напруги й струму в колі з одним реактивним елементом справедливий закон Ома, але замість звичайного опору R підставляють індуктивний або ємнісний опір:

$$I=\frac{U}{X_L}\text{(коло з котушкою)},I=\frac{U}{X_C}\text{(коло з конденсатором)}$$

Тут U і I — діючі значення напруги й сили струму.

Приклад застосування закону Ома

Котушка з індуктивністю L = 0,2 Гн ввімкнена в мережу змінного струму з діючою напругою U = 62,8 В і частотою ν = 50 Гц. Знайдемо діючу силу струму.

Спочатку обчислимо індуктивний опір:

$$X_L=2\pi \nu L=2\cdot 3,14\cdot 50\cdot 0,2=62,8\text{Ом}$$

Тепер сила струму:

$$I=\frac{U}{X_L}=\frac{62,8}{62,8}=1\text{А}$$

Як змінюються опори зі зміною частоти

Залежність індуктивного й ємнісного опорів від частоти — дзеркально протилежна. Це добре видно з таблиці:

Запам'ятай: XL прямо пропорційний частоті, а XC обернено пропорційний. Якщо частоту збільшити вчетверо, XL зросте в 4 рази, а XC зменшиться в 4 рази.

Електричний резонанс

Якщо в одне коло послідовно ввімкнути котушку, конденсатор і джерело змінної напруги, то за певної частоти може виникнути явище електричного резонансу.

Умова резонансу: індуктивний опір дорівнює ємнісному:

$$X_L=X_C\text{або}\omega L=\frac{1}{\omega C}$$

Коли ця рівність виконується, частота джерела збігається з власною частотою коливального контуру. Реактивні опори взаємно компенсуються, і повний опір кола стає мінімальним — дорівнює лише активному опору R. У результаті амплітуда струму різко зростає, обмежена тільки цим активним опором.

З умови резонансу випливає:

$$\omega L=\frac{1}{\omega C}\Rightarrow {\omega }^2=\frac{1}{LC}\Rightarrow \omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

Оскільки ω = 2πν, резонансна частота:

$${\nu }_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

Це і є формула Томсона для власної частоти коливального контуру.

Числовий приклад: L = 0,1 Гн, C = 100 мкФ = 10⁻⁴ Ф. Резонансна частота:

$${\nu }_0=\frac{1}{2\cdot 3,14\cdot \sqrt{0,1\cdot 10^{-4}}}=\frac{1}{6,28\cdot \sqrt{10^{-5}}}=\frac{1}{6,28\cdot 0,00316}\approx 50\text{Гц}$$

За такої частоти XL ≈ XC ≈ 31 Ом, і в колі спостерігається резонанс.

Приклад 1. Індуктивний опір котушки

Завдання (коротка відповідь). Котушка має індуктивність 0,5 Гн. Вона ввімкнена в мережу змінного струму з частотою 50 Гц. Визнач індуктивний опір котушки в омах. Прийняти π = 3,14.

Розв'язання. Запишемо формулу індуктивного опору: XL = 2πνL. Підставимо значення:

$$X_L=2\cdot 3,14\cdot 50\cdot 0,5=2\cdot 3,14\cdot 25=157\text{Ом}$$

Відповідь: 157.

Чому інші відповіді можуть бути хибними? Якщо забути помножити на 2, отримаєш 78,5 — це поширена помилка. Якщо не перевести одиниці (хоча тут усе в СІ), або сплутати формулу з ємнісним опором, результат буде неправильним.

Приклад 2. Залежність ємнісного опору від частоти

Завдання (вибір однієї відповіді). У скільки разів зміниться ємнісний опір конденсатора, якщо частоту змінного струму збільшити вчетверо?

• А) збільшиться в 4 рази

• Б) не зміниться

• В) зменшиться вдвічі

• Г) зменшиться в 4 рази

Розв'язання. Ємнісний опір обчислюють за формулою XC = 1/(2πνC). Частота ν стоїть у знаменнику, тому XC обернено пропорційний частоті. Якщо частоту збільшити в 4 рази, опір зменшиться в 4 рази.

Відповідь: Г) зменшиться в 4 рази.

Чому інші варіанти хибні? А) плутає з індуктивним опором, який зростає з частотою. Б) ігнорує залежність від частоти. В) помилка в коефіцієнті: зміна в 4 рази дає зменшення в 4, а не в 2 рази.

Приклад 3. Сила струму в колі з конденсатором

Завдання (коротка відповідь). Конденсатор ємністю 50 мкФ ввімкнено в мережу змінного струму з діючою напругою 100 В і частотою 50 Гц. Визнач діючу силу струму в амперах, округливши до десятих. Ємнісний опір конденсатора за цих умов дорівнює 64 Ом.

Розв'язання. За законом Ома для діючих значень: I = U / XC. Підставимо числа:

$$I=\frac{100}{64}\approx 1,5625\text{А}$$

Округлюємо до десятих: 1,6 А.

Відповідь: 1,6.

Поширена помилка — не округлити до десятих або округлити неправильно (наприклад, до 1,5 замість 1,6, бо 1,5625 округлюють до 1,6 за правилами округлення). Також можна помилково скористатися формулою для котушки.

Приклад 4. Умова електричного резонансу

Завдання (вибір однієї відповіді). Яка умова є необхідною для виникнення електричного резонансу в послідовному коливальному контурі?

• А) L = C

• Б) XL = 0

• В) ν = 0

• Г) XL = XC

Розв'язання. Електричний резонанс настає, коли індуктивний опір дорівнює ємнісному: XL = XC. Це відповідає збігу частоти джерела з власною частотою контуру. За цієї умови струм у колі максимальний.

Відповідь: Г) XL = XC.

Чому інші варіанти хибні? А) Індуктивність і ємність — різні фізичні величини, їх не можна прирівнювати. Б) XL = 0 відповідає постійному струму, а не резонансу. В) ν = 0 — це постійний струм, за якого конденсатор не пропускає струм.

• Вважати, що опір конденсатора зростає з частотою. Насправді XC = 1/(2πνC) — обернено пропорційний частоті. Чим вища частота, тим менший ємнісний опір.

• Вважати, що котушка не пропускає постійний струм. Для постійного струму ν = 0, тому XL = 0. Ідеальна котушка не чинить опору постійному струму (активний опір дроту — окрема історія).

• Плутати XL і XC: XL прямо пропорційний частоті, а XC обернено пропорційний. Легко запам'ятати: індуктивність (L) у чисельнику, ємність (C) у знаменнику.

• Не переводити мілігенрі (мГн) і мікрофаради (мкФ) у СІ. Завжди переводь: 1 мГн = 10⁻³ Гн, 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф. Інакше числовий результат буде хибним.

• Використовувати ν замість ω = 2πν у формулі. Формули XL = ωL і XC = 1/(ωC) — компактні, але в обчисленнях завжди переходь до ω = 2πν.

• Вважати, що на ідеальних котушці чи конденсаторі виділяється теплота. На реактивних елементах теплота не виділяється — енергія лише запасається в магнітному або електричному полі й повертається до джерела.

Формули індуктивного й ємнісного опорів наведено в довідкових матеріалах НМТ. Програма з фізики (тема 4.2 «Електромагнітні коливання і хвилі») вимагає вміти обчислювати XL і XC.

У демоваріанті НМТ-2026 тему 4.2 представлено завданням № 11 (період і частота змінного струму, вибір однієї відповіді з чотирьох, 1 бал). Завдання на індуктивний і ємнісний опори можуть з'явитися як у форматі вибору однієї відповіді (№ 1–14, 1 бал), так і у форматі короткої відповіді (№ 17–22, 0 або 2 бали).

У завданнях короткої відповіді потрібно вписати число в одиницях, указаних в умові. Значення π або π² зазвичай дають в умові (наприклад, у демо-2026 у задачі № 18 зазначено π² = 10).

Стратегія розв'язання

1. Визнач, який елемент у колі: котушка (шукаєш XL) чи конденсатор (шукаєш XC).

2. Запиши циклічну частоту: ω = 2πν.

3. Обери формулу: XL = ωL або XC = 1/(ωC).

4. Переведи всі величини в СІ (мГн → Гн, мкФ → Ф).

5. Якщо питають силу струму, застосуй закон Ома: I = U / X.

6. Перевір, чи потрібно округлити відповідь, і зроби це правильно.

• Індуктивний опір: XL = 2πνL — зростає зі збільшенням частоти та індуктивності.

• Ємнісний опір: XC = 1/(2πνC) — спадає зі збільшенням частоти та ємності.

• Постійний струм: котушка пропускає (XL = 0), конденсатор не пропускає (XC → ∞).

• Закон Ома для діючих значень: I = U / X, де X — індуктивний або ємнісний опір.

• Якщо частота збільшилась у 4 рази: XL збільшився в 4 рази, XC зменшився в 4 рази.

• Електричний резонанс: XL = XC, резонансна частота ν₀ = 1/(2π√(LC)) (формула Томсона).

• На ідеальних реактивних елементах теплота не виділяється.