Графіки фотоефекту

Рівняння Ейнштейна для фотоефекту $h\nu =A_{\text{вих}}+E_{\text{к}}$ можна переписати як лінійну залежність кінетичної енергії фотоелектронів від частоти світла:

$$E_{\text{к}}=h\nu -A_{\text{вих}}$$ Це рівняння прямої лінії у координатах $E_{\text{к}}$ (вісь $y$) і $\nu$ (вісь $x$). Загальний вигляд прямої $y=kx+b$: тут $k=h$ — нахил, а $b=-A_{\text{вих}}$ — відрізок, який пряма відтинає на осі ординат.

Нахил графіка — стала Планка

Нахил прямої $h=\tan \alpha$ дорівнює сталій Планка. Оскільки $h$ — фундаментальна фізична стала ($6,63\cdot 10^{-34}\text{Дж}\cdot \text{с}$ або $4,14\cdot 10^{-15}\text{еВ}\cdot \text{с}$), нахил графіка $E_{\text{к}}(\nu )$ однаковий для всіх металів. Якщо на графіку зображено дві прямі для різних металів, вони завжди паралельні.

Щоб обчислити сталу Планка за графіком, візьми дві точки на прямій, для яких точно видно координати на клітинках сітки:

$$h=\frac{E_{\text{к}2}-E_{\text{к}1}}{{\nu }_2-{\nu }_1}$$

Зверни увагу на масштаб осей: частота зазвичай задана в одиницях $10^{14}\text{Гц}$, а енергія — в електрон-вольтах. Підставляючи числа, обов'язково враховуй множники $10^{14}$.

Червона межа — перетин з віссю частот

Пряма $E_{\text{к}}(\nu )$ перетинає вісь частот (вісь $x$) у точці, де $E_{\text{к}}=0$. Підставивши в рівняння:

$$0=h{\nu }_{\min }-A_{\text{вих}}\Rightarrow {\nu }_{\min }=\frac{A_{\text{вих}}}{h}$$

Це і є червона межа фотоефекту — мінімальна частота, за якої фотоефект ще можливий. Ліворуч від цієї точки ($\nu <{\nu }_{\min }$) фотоефекту немає, тому графік там не проводять — він починається лише від ${\nu }_{\min }$.

Відрізок на осі енергій — робота виходу

Якщо продовжити пряму ліворуч від ${\nu }_{\min }$ до перетину з віссю $E_{\text{к}}$ (вісь $y$), то ця точка має координату $-A_{\text{вих}}$. Отже, модуль відрізка, який продовження прямої відтинає на осі енергій, чисельно дорівнює роботі виходу.

Роботу виходу можна визначити двома способами:

• як модуль відрізка на осі $E_{\text{к}}$ (від $0$ до $-A_{\text{вих}}$);

• як добуток $h{\nu }_{\min }$, де ${\nu }_{\min }$ — червона межа.

Обидва способи дають однаковий результат, а другий зручніший, коли на графіку чітко видно точку перетину з віссю частот, але не видно продовження до осі енергій.

З рівняння Ейнштейна випливає зв'язок між затримувальною напругою $U_{\text{з}}$ і частотою $\nu$. Оскільки максимальна кінетична енергія фотоелектронів дорівнює $e{U}_{\text{з}}$, маємо:

$$e{U}_{\text{з}}=h\nu -A_{\text{вих}}\Rightarrow U_{\text{з}}=\frac{h}{e}\nu -\frac{A_{\text{вих}}}{e}$$

Це також лінійна залежність, але нахил тут інший — $h/e$ замість $h$. Пряма $U_{\text{з}}(\nu )$ перетинає вісь частот у тій самій точці ${\nu }_{\min }$ (червона межа), що й графік $E_{\text{к}}(\nu )$, оскільки за $U_{\text{з}}=0$ маємо $E_{\text{к}}=0$.

Паралельні прямі для різних металів

Найважливіший висновок: нахил графіка $E_{\text{к}}(\nu )$ визначається лише сталою Планка $h$, яка є універсальною фізичною сталою. Тому для будь-яких металів прямі $E_{\text{к}}(\nu )$ паралельні — вони мають однаковий кут нахилу. Різниця полягає лише у зсуві вздовж осі частот.

Чим правіше розташована пряма (тобто чим більше ${\nu }_{\min }$), тим більша робота виходу металу. І навпаки: якщо пряма для металу 1 лежить лівіше й вище за пряму для металу 2, то $A_{\text{вих}1}<A_{\text{вих}2}$, і метал 1 дає фотоелектрони з більшою кінетичною енергією за тієї самої частоти опромінення.

Чисельний приклад

Розгляньмо два метали. Пряма для металу А перетинає вісь частот у точці $4\cdot 10^{14}\text{Гц}$, а для металу Б — у точці $6\cdot 10^{14}\text{Гц}$. Оскільки $A_{\text{вих}}=h{\nu }_{\min }$, а $h$ однакова, відношення робіт виходу дорівнює відношенню граничних частот:

$$\frac{A_{\text{вих А}}}{A_{\text{вих Б}}}=\frac{{\nu }_{\min А}}{{\nu }_{\min Б}}=\frac{4\cdot 10^{14}}{6\cdot 10^{14}}=\frac{2}{3}$$

Отже, робота виходу металу А становить 2/3 від роботи виходу металу Б. Відповідно, за будь-якої частоти $\nu >{\nu }_{\min Б}$ кінетична енергія фотоелектронів металу А буде більшою на величину $h({\nu }_{\min Б}-{\nu }_{\min А})$.

Вольт-амперна характеристика (ВАХ) фотоелемента — це графік залежності фотоструму $I$ від напруги $U$ між катодом і анодом. Цей графік дає змогу визначити, як зміна інтенсивності та частоти світла впливає на фотострум.

Форма кривої ВАХ

За додатної напруги ($U>0$) електричне поле притягує фотоелектрони до анода: зі збільшенням напруги струм зростає, але не безмежно. Коли всі вибиті світлом електрони досягають анода, настає струм насичення $I_{\text{нас}}$ — подальше збільшення $U$ не змінює струму.

За від'ємної напруги ($U<0$) поле гальмує фотоелектрони. Струм спадає і стає нулем при $U=-U_{\text{з}}$, де $U_{\text{з}}$ — затримувальна напруга. Вона пов'язана з максимальною кінетичною енергією фотоелектронів: $e{U}_{\text{з}}=E_{\text{к max}}$.

Як зміна параметрів світла змінює ВАХ

Зверни увагу: за більшої інтенсивності (незмінна частота) криві мають різні рівні насичення, але перетинають вісь напруг в одній точці $-U_{\text{з}}$. За більшої частоти (незмінна кількість фотонів за секунду) крива зсувається ліворуч вздовж осі напруг — $U_{\text{з}}$ за модулем зростає.

Алгоритм читання ВАХ

1. Знайди точку, де струм стає нулем — це $-U_{\text{з}}$.

2. Визнач рівень струму насичення $I_{\text{нас}}$ — горизонтальна ділянка праворуч.

3. Порівняй дві криві: однакова $U_{\text{з}}$ — однакова частота; різна $U_{\text{з}}$ — різна частота.

4. Порівняй $I_{\text{нас}}$: більший струм насичення — більша інтенсивність.

Приклад 1. Визначення червоної межі за графіком Eк(ν)

На рисунку подано графік залежності максимальної кінетичної енергії фотоелектронів $E_{\text{к}}$ від частоти світла $\nu$ для деякого металу. Пряма перетинає вісь частот у позначці $5\cdot 10^{14}\text{Гц}$. Визнач червону межу фотоефекту для цього металу.

Розв'язання:

Червона межа фотоефекту — це мінімальна частота світла ${\nu }_{\min }$, за якої фотоефект ще можливий. На графіку $E_{\text{к}}(\nu )$ це точка перетину прямої з віссю частот (оскільки в цій точці $E_{\text{к}}=0$). За умовою, пряма перетинає вісь частот у позначці $5\cdot 10^{14}\text{Гц}$. Отже, червона межа дорівнює $5\cdot 10^{14}\text{Гц}$.

Відповідь: $5\cdot 10^{14}\text{Гц}$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $10\cdot 10^{14}\text{Гц}$ — можна отримати, помилково взявши перетин прямої з іншою віссю або подвоївши значення.

• $2,5\cdot 10^{14}\text{Гц}$ — результат ділення навпіл, якщо сплутати червону межу з половиною значення.

• Значення перетину з віссю енергій — це не частота, а робота виходу (зі знаком мінус).

Приклад 2. Обчислення сталої Планка за графіком

На графіку $E_{\text{к}}(\nu )$ зафіксовано дві точки, що лежать на прямій: точка A (${\nu }_1=6\cdot 10^{14}\text{Гц}$, $E_{\text{к}1}=0,5\text{еВ}$) і точка B (${\nu }_2=8\cdot 10^{14}\text{Гц}$, $E_{\text{к}2}=1,3\text{еВ}$). Визнач сталу Планка в $10^{-15}\text{еВ}\cdot \text{с}$ (тобто число, на яке треба помножити $10^{-15}$, щоб отримати $h$ в еВ·с).

Розв'язання:

Використаємо формулу для нахилу прямої:

$$h=\frac{E_{\text{к}2}-E_{\text{к}1}}{{\nu }_2-{\nu }_1}=\frac{1,3-0,5}{(8-6)\cdot 10^{14}}=\frac{0,8}{2\cdot 10^{14}}=0,4\cdot 10^{-14}=4,0\cdot 10^{-15}\text{еВ}\cdot \text{с}$$

У завданні просять записати число, на яке треба помножити $10^{-15}$, щоб отримати $h$ в еВ·с. Оскільки $h=4,0\cdot 10^{-15}\text{еВ}\cdot \text{с}$, відповідь — 4,0.

Відповідь: 4,0.

Ключовий момент: не забудь врахувати множник $10^{14}$ у знаменнику — без нього нахил вийшов би хибним.

Приклад 3. Порівняння робіт виходу двох металів

На рисунку зображено графіки залежності $E_{\text{к}}(\nu )$ для двох металів А і Б. Пряма металу А розташована лівіше за пряму металу Б. Оберіть правильне твердження щодо робіт виходу цих металів.

А) Робота виходу металу А більша за роботу виходу металу Б.

Б) Робота виходу металу А менша за роботу виходу металу Б.

В) Роботи виходу металів однакові.

Г) Робота виходу залежить від інтенсивності світла, тому порівняти неможливо.

Розв'язання:

Пряма $E_{\text{к}}(\nu )$ перетинає вісь частот у точці ${\nu }_{\min }$ — червоній межі. Чим лівіше розташована пряма, тим менше ${\nu }_{\min }$, а отже, тим менша робота виходу $A_{\text{вих}}=h{\nu }_{\min }$. Пряма металу А лівіше — отже, ${\nu }_{\min А}<{\nu }_{\min Б}$, тобто $A_{\text{вих А}}<A_{\text{вих Б}}$.

Ключ — Б (робота виходу металу А менша).

Чому інші варіанти неправильні:

• А) Навпаки: лівіша пряма означає меншу, а не більшу роботу виходу.

• В) Прямі паралельні, але зсунуті — це свідчить про різні $A_{\text{вих}}$.

• Г) Робота виходу — характеристика металу, вона не залежить від інтенсивності світла.

Приклад 4. Аналіз вольт-амперної характеристики

На рисунку показано дві вольт-амперні характеристики фотоелемента (криві 1 і 2). Криві мають однакову затримувальну напругу $-U_{\text{з}}$, але різні струми насичення (у кривої 2 струм насичення більший). Який параметр світла було змінено під час переходу від кривої 1 до кривої 2?

Розв'язання:

Оскільки затримувальна напруга $U_{\text{з}}$ однакова для обох кривих, частота світла не змінювалась. Струм насичення визначається кількістю фотоелектронів, вибитих з катода за одиницю часу, а отже — кількістю фотонів, що падають на катод. Збільшення струму насичення свідчить про збільшення інтенсивності світла (за тієї самої частоти).

Відповідь: збільшили інтенсивність світла.

Чому інші можливі відповіді неправильні:

• Зміна частоти — змінила б $U_{\text{з}}$, а вона однакова.

• Зміна матеріалу катода — змінила б $A_{\text{вих}}$ і $U_{\text{з}}$, а вона однакова.

• Зміна напруги джерела — ВАХ знімають при різних $U$, але тут порівнюють дві криві; те, що змінили — параметр світла.

• Вважати, що для різних металів нахили графіків $E_{\text{к}}(\nu )$ різні. Насправді нахил дорівнює сталій Планка $h$, яка є універсальною сталою. Тому всі прямі паралельні — різниця лише у зсуві вздовж осі частот.

• Плутати відрізок на осі частот (${\nu }_{\min }$ — червона межа) з відрізком на осі енергій ($-A_{\text{вих}}$ — робота виходу зі знаком мінус). Запам'ятай: перетин з віссю $\nu$ — це частота, перетин з віссю $E_{\text{к}}$ — це енергія.

• Брати роботу виходу зі знаком плюс як відрізок на осі енергій. Продовження прямої перетинає вісь $E_{\text{к}}$ у точці $-A_{\text{вих}}$, тому робота виходу дорівнює модулю цього від'ємного значення.

• Не враховувати масштаб осей ($10^{14}\text{Гц}$, еВ) під час обчислення нахилу. Наприклад, якщо частота на осі позначена в одиницях $10^{14}\text{Гц}$, то поділка «2» означає $2\cdot 10^{14}\text{Гц}$, а не просто 2 Гц.

• Вважати, що затримувальна напруга залежить від інтенсивності, бо змінився струм насичення. Це хибне узагальнення: струм насичення залежить від кількості фотонів (інтенсивності), а $U_{\text{з}}$ — лише від частоти світла.

• Будувати графік $E_{\text{к}}(\nu )$ виходячи з початку координат. Пряма починається від $\nu ={\nu }_{\min }$, а не від $\nu =0$. Ліворуч від червоної межі фотоефекту немає — графік там не існує.

Програма НМТ з фізики (тема «Світлові кванти») вимагає застосовувати рівняння Ейнштейна для фотоефекту й обчислювати червону межу; вміння читати графіки перевіряють у всіх темах. У демоваріанті 2026 року завдання, яке безпосередньо стосується фотоефекту, відсутнє, однак це не виключає появи такого завдання в реальному тесті.

Формати завдань

Завдання з графіками фотоефекту можуть трапитись у двох формах:

• Вибір однієї відповіді з чотирьох (завдання № 1–14) — 0 або 1 бал. У такому завданні потрібно визначити червону межу, порівняти роботи виходу або проаналізувати ВАХ.

• Коротка відповідь — число (завдання № 17–22) — 0 або 2 бали. Тут за графіком обчислюють сталу Планка, роботу виходу або затримувальну напругу.

Що варто знати

Якщо в завданні подано рисунок із графіком, значення зчитують з поділок осей самостійно — довідка не містить готових чисел. Потрібні формули (рівняння Ейнштейна, червона межа, затримувальна напруга) є у довідці, але читання графіка — це вміння, яким довідка не допомагає.

Стратегія виконання

1. Уважно розглянь графік: визнач, яка фізична величина на осі $x$, яка — на осі $y$.

2. Зчитай два надійні значення з клітинок координатної сітки — точки, які точно лежать на прямій або кривій.

3. Підстав ці значення у відповідну формулу. Не забудь про масштаб (множники $10^{14}$, $10^{-15}$ тощо).

4. Перевір розмірність: частота в Гц, енергія в еВ або Дж, напруга у В.

• Рівняння Ейнштейна $E_{\text{к}}=h\nu -A_{\text{вих}}$ задає пряму лінію на графіку $E_{\text{к}}(\nu )$ з нахилом $h$ (стала Планка).

• Точка перетину прямої з віссю частот — це червона межа ${\nu }_{\min }$; ліворуч від неї фотоефекту немає.

• Продовження прямої до осі енергій дає точку $-A_{\text{вих}}$; модуль цього від'ємного значення — робота виходу. Також $A_{\text{вих}}=h{\nu }_{\min }$.

• Для різних металів прямі $E_{\text{к}}(\nu )$ паралельні (нахил $h$ однаковий). Правіша пряма — більша $A_{\text{вих}}$.

• Графік $U_{\text{з}}(\nu )$ теж лінійний, з нахилом $h/e$, і перетинає вісь частот у тій самій точці ${\nu }_{\min }$.

• На ВАХ: струм насичення $I_{\text{нас}}$ залежить від інтенсивності світла, а затримувальна напруга $U_{\text{з}}$ — лише від частоти.

• Зчитуй значення з графіка уважно, враховуй масштаб осей ($10^{14}$ Гц, еВ).