Завдання 20 НМТ: комбінаторика й статистика

Як не помилитися з формулою комбінаторики

У завданні 20 НМТ ти побачиш або комбінаторну задачу, або задачу на середнє значення вибірки. Щоб упоратися з комбінаторикою, не обов'язково тримати в голові всі формули — вони є в довідці. Головне — правильно вибрати формулу. Для цього постав собі три запитання.

• 1) Беремо всі n елементів чи лише k з них?

• 2) Чи важливий порядок (місця, ролі, черговість)?

• 3) Чи є обмеження (певний елемент на певному місці, «поруч», «перша цифра не нуль»)?

Залежно від відповідей на перші два запитання обираємо одну з трьох формул:

Найпоширеніша помилка на НМТ — не сама формула, а вибір між Aₙᵏ і Cₙᵏ. Щоб перевірити, чи важливий порядок, уяви, що ти поміняв місцями двох вибраних учасників. Якщо утворився новий варіант — порядок важливий (розміщення). Якщо варіант лишився тим самим — порядок не важливий (комбінація).

Розгляньмо два приклади.

«Голова й секретар»: обирають двох з 10 учнів. Якщо Петро — голова, а Марія — секретар, це інший варіант, ніж Марія — голова, а Петро — секретар. Отже, порядок важливий — розміщення A₁₀².

«Делегація з двох»: обирають двох з 10 учнів на конференцію. Петро й Марія — це та сама делегація, незалежно від того, кого назвали першим. Порядок не важливий — комбінація C₁₀².

Запам'ятай: формули Pₙ = n!, Aₙᵏ = n!/(n − k)! і Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) є в довідці НМТ. Ти не маєш витрачати час на їх запам'ятовування — витрачай час на правильний вибір.

Дві базові операції: «і» — множимо, «або» — додаємо

Правило добутку та правило суми — це дві прості, але надзвичайно важливі ідеї, на яких тримається вся комбінаторика. Якщо тобі треба зробити кілька виборів послідовно й кожен вибір не залежить від попереднього — кількості способів перемножуються. Якщо ж ти маєш вибрати один варіант із кількох неперетинних груп — кількості додаються.

Тризначні числа з різних цифр

Скільки тризначних чисел з різними цифрами можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4? Найпоширеніша пастка — забути, що число не може починатися з нуля. Отже, на перше місце можна поставити будь-яку з цифр 1, 2, 3, 4 — це 4 способи. На друге місце — будь-яку з решти чотирьох цифр (тепер уже й 0 можна), тобто 4 способи. На третє — будь-яку з трьох цифр, що лишилися: 3 способи. За правилом добутку: 4 · 4 · 3 = 48 чисел.

Чотиризначні парні числа з повторенням

Скільки чотиризначних парних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри можуть повторюватися? Тут обмеження — парність: число парне, якщо остання цифра парна. З наведених цифр парні лише 2 і 4 — отже, на останнє місце є 2 способи (2 або 4). На перше, друге й третє місця можна ставити будь-яку з п'яти цифр (1, 2, 3, 4, 5), адже цифри можуть повторюватися. За правилом добутку: 5 · 5 · 5 · 2 = 250.

Сусіди та фіксоване місце: книжки на полиці

Розгляньмо дві класичні задачі на перестановки з обмеженнями.

Задача 1. Скількома способами можна розставити 6 різних книжок на полиці так, щоб дві певні книжки стояли поруч? Візьмемо ці дві книжки й «склеїмо» їх в один блок. Усередині блоку книжки можна переставити 2! = 2 способами. Тепер маємо 5 об'єктів (4 окремі книжки + 1 блок) — їх можна переставити 5! = 120 способами. За правилом добутку: 5! · 2! = 120 · 2 = 240.

Задача 2. Скількома способами можна розставити ті самі 6 книжок так, щоб певна книжка стояла першою? Фіксуємо цю книжку на першому місці — це 1 спосіб. Решту 5 книжок розставляємо на 5 місцях довільним порядком: 5! = 120.

Як рахувати кількість способів вибрати підмножину

Коли порядок вибраних елементів не має значення, ми використовуємо комбінації. Формула Cₙᵏ = n! / (k! · (n − k)!) дає відповідь на запитання: «Скількома способами можна вибрати k об'єктів з n, не враховуючи порядок?»

Чергові з 8 учнів

Скількома способами можна вибрати 3 чергових з 8 учнів класу? Оскільки чергові не мають різних ролей (усі троє просто чергують), порядок вибору неважливий. Застосовуємо комбінації:

C₈³ = 8! / (3! · 5!) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 336 / 6 = 56.

Отже, є 56 різних способів вибрати трійку чергових.

Комбінації з правилом добутку: «2 хлопці й 3 дівчини»

У багатьох задачах треба вибрати групу, що складається з кількох підгруп. Наприклад: «У класі 5 хлопців і 6 дівчат. Скількома способами можна вибрати команду з 2 хлопців і 3 дівчат?»

Спочатку вибираємо 2 хлопців з 5: C₅² = 10 способів. Окремо вибираємо 3 дівчат з 6: C₆³ = 20 способів. Оскільки обидва вибори треба зробити одночасно (команду утворюють і хлопці, і дівчата), за правилом добутку перемножуємо: 10 · 20 = 200.

Геометричні сюжети

Комбінації природно виникають у геометричних задачах, де одна фігура визначається парою точок.

• Відрізки з кінцями в 7 точках на прямій: кожен відрізок визначається двома точками. Порядок точок неважливий (відрізок AB — той самий, що BA). Отже, C₇² = 21 відрізок.

• Рукостискання: 10 людей потиснули одне одному руки. Кожне рукостискання — вибір двох людей. C₁₀² = 45 рукостискань.

• Діагоналі n-кутника: спочатку знаходимо всі відрізки, що сполучають вершини: Cₙ². Віднімаємо n сторін многокутника. Отже, діагоналей: Cₙ² − n.

«Хоча б одна дівчина» — прийом доповнення

Коли в умові є вимога «хоча б одна», часто зручно порахувати всі варіанти, а потім відняти ті, що не задовольняють умову.

Приклад: «У класі 3 дівчини й 5 хлопців. Скількома способами можна вибрати 3 чергових так, щоб серед них була хоча б одна дівчина?»

Всього способів вибрати 3 чергових з 8 учнів: C₈³ = 56. Варіанти, де немає жодної дівчини — тобто вибрано 3 хлопців з 5: C₅³ = 10. Тоді кількість способів з «хоча б однією дівчиною»: 56 − 10 = 46.

Прийом доповнення (віднімання небажаних варіантів) часто рятує, коли прямий перебір варіантів «1 дівчина + 2 хлопці, 2 дівчини + 1 хлопець, 3 дівчини» був би довшим.

Що таке середнє значення й чому його варто знати напам'ять

Середнє значення вибірки (або середнє арифметичне) — це сума всіх значень, поділена на їхню кількість. Формули для середнього в довідці НМТ немає, тому цю просту дію треба пам'ятати.

Формула: x̄ = (сума всіх значень) / (кількість значень)

Проста вибірка

Знайдемо середнє значення вибірки: 4, 7, 7, 9, 13. Спочатку рахуємо суму: 4 + 7 + 7 + 9 + 13 = 40. Кількість значень — 5. Отже, середнє дорівнює 40 : 5 = 8.

Таблиця частот

На НМТ дані можуть бути подані у вигляді таблиці частот. Не помились: ділити треба на загальну кількість усіх значень, а не на кількість рядків таблиці.

Загальна кількість учнів: 3 + 5 + 2 = 10. Загальна сума балів: 3 · 7 + 5 · 9 + 2 · 10 = 21 + 45 + 20 = 86. Середнє: 86 : 10 = 8,6.

Невідоме значення за відомим середнім

Часто трапляються задачі, де відомо середнє, а одне зі значень треба знайти. Діємо у зворотному порядку: сума = середнє · кількість.

Приклад: середнє п'яти чисел дорівнює 12. Чотири з них: 10, 14, 9, 15. Знайдіть п'яте число x.

1) Сума всіх п'яти чисел: 5 · 12 = 60.

2) Сума відомих чотирьох чисел: 10 + 14 + 9 + 15 = 48.

3) x = 60 − 48 = 12.

Зміна середнього після додавання нового значення

Як зміниться середнє, якщо до вибірки додати нове число? Розгляньмо: до 4 чисел, середнє яких дорівнює 8, додали число 20.

1) Сума перших чотирьох чисел: 4 · 8 = 32.

2) Нова сума після додавання: 32 + 20 = 52.

3) Кількість чисел тепер: 5. Нове середнє: 52 : 5 = 10,4.

Увага: формули середнього значення в довідці НМТ немає. Випиши її собі на чернетці, щойно отримаєш бланк, — це заощадить час.

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові задачі, які можуть з'явитися в завданні 20 НМТ. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням і аналізом помилок.

Приклад 1. Вибори на ролі

Завдання: Скількома способами можна вибрати з 9 учасників гуртка капітана, його заступника й секретаря?

Розв'язання. У нас три різні ролі: капітан, заступник, секретар. Це означає, що порядок важливий — якщо Олексій стане капітаном, а Богдан секретарем, це інший варіант, ніж навпаки. Беремо не всіх учасників, а лише трьох з дев'яти. Отже, це розміщення: A₉³.

A₉³ = 9! / (9 − 3)! = 9! / 6! = 9 · 8 · 7 = 504.

Відповідь: 504.

Типові пастки:

• C₉³ = 84 — помилка «порядок неважливий», але ролі різні, тому порядок важливий.

• 9³ = 729 — помилка з повтореннями (одна людина не може займати дві ролі одночасно).

Приклад 2. Команда з хлопців і дівчат

Завдання: У класі 7 хлопців і 5 дівчат. Скількома способами можна вибрати команду з 2 хлопців і 2 дівчат?

Розв'язання. Оскільки хлопці й дівчата вибираються з різних груп, використовуємо правило добутку. У команді всі мають однаковий статус — порядок неважливий.

Вибрати 2 хлопців з 7: C₇² = (7 · 6) / (2 · 1) = 21.

Вибрати 2 дівчат з 5: C₅² = (5 · 4) / (2 · 1) = 10.

За правилом добутку: 21 · 10 = 210.

Відповідь: 210.

Типові пастки:

• 21 + 10 = 31 — додавання замість множення.

• C₁₂⁴ = 495 — вибір 4 осіб з 12 без урахування, що групи хлопців і дівчат окремі.

Приклад 3. П'ятизначні числа з різними цифрами

Завдання: Скільки п'ятизначних чисел з різними цифрами можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6, 8?

Розв'язання. Маємо 5 цифр, але жодне число не може починатися з нуля. Отже, на перше місце — 4 способи (2, 4, 6, 8). Решту 4 цифри (включно з нулем) розставляємо на 4 місця в будь-якому порядку — це перестановка 4! = 24.

За правилом добутку: 4 · 4! = 4 · 24 = 96.

Відповідь: 96.

Типова пастка: 5! = 120 — забули, що число не може починатися з нуля.

Приклад 4. Невідоме значення за середнім

Завдання: Середнє значення вибірки 3, 8, x, 11, 6, 9 дорівнює 7,5. Знайдіть x.

Розв'язання. У вибірці 6 чисел. Середнє дорівнює 7,5, отже, сума всіх чисел: 6 · 7,5 = 45.

Сума відомих чисел: 3 + 8 + 11 + 6 + 9 = 37.

Тоді x = 45 − 37 = 8.

Відповідь: 8.

Типова пастка: помножити 7,5 на 5 замість 6 — тоді вийшло б 37,5, x = 0,5, але це неправильно, адже всього чисел 6.

У цьому розділі зібрано найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ під час розв'язання комбінаторних задач і задач на середнє значення. Прочитай уважно — це заощадить тобі бали на іспиті.

• Плутанина між розміщеннями й комбінаціями. Брати розміщення Aₙᵏ, коли порядок неважливий (делегація, набір продуктів, склад команди без ролей), — і навпаки, брати комбінації Cₙᵏ, коли порядок важливий (різні ролі, місця на полиці, коди, номери). Перевіряй: якщо поміняти два вибраних місцями — чи вийде новий варіант?

• Додавання замість множення. Коли треба зробити кілька незалежних виборів («вибрати хлопців і дівчат», «вибрати сорочку та штани»), кількості способів перемножують, а не додають. Помилка «C₇² + C₅² = 31» замість «C₇² · C₅² = 210» коштує 2 бали.

• Нуль на першому місці числа. У задачах на складання чисел ніколи не став нуль на перше місце — число з нуля не починається. Завжди рахуй окремо кількість способів вибрати першу цифру (без нуля).

• Забули про перестановки всередині «склеєного» блоку. Коли дві книжки мають стояти поруч, спочатку «склеюєш» їх у блок, а потім множиш на 2! — кількість способів переставити книжки всередині блоку. Без цього множника відповідь буде вдвічі меншою.

• Ділення на кількість різних значень у таблиці частот. У таблиці частот ділити треба на загальну кількість усіх спостережень, а не на кількість рядків таблиці. Наприклад, для оцінок 7 (3 учні), 9 (5 учнів), 10 (2 учні) ділимо на 3 + 5 + 2 = 10, а не на 3.

• Плутають A₉³ і C₉³. A₉³ = 9 · 8 · 7 = 504, а C₉³ = 84. Різниця в 6 разів — саме на k!. Завжди перевіряй, чи дійсно порядок важливий.

Завдання 20 у НМТ з математики — це задача з короткою відповіддю (числом), яка оцінюється в 0 або 2 бали. У демоваріанті 2026 року завдання 20 — комбінаторика (комбінації та правило добутку).

У вибірці тестів 2023–2024 років на позиції № 20 стояла комбінаторика в трьох тестах з чотирьох, в одному — середнє значення вибірки. Тому варто бути готовим до обох варіантів.

Ось що про цю тему є в довідці НМТ, а чого немає:

Відповідь у завданні 20 — лише десятковий дріб або ціле число. Якщо ти обчислюєш кількість способів, відповідь завжди буде цілим невід'ємним числом.

Стратегія для завдання 20

Перш ніж писати формулу, запиши на чернетці відповіді на три запитання:

1. Беремо всі елементи чи лише частину?

2. Чи важливий порядок?

3. Чи є обмеження (нуль на першому місці, парність, сусідство, фіксована позиція)?

Ці три відповіді одразу підкажуть, яку формулу застосувати. Якщо задача на середнє значення — запиши формулу сума/кількість і дій за нею.

Пам'ятай: час на НМТ обмежений. Не гадай — застосовуй алгоритм трьох запитань послідовно.

• Три питання для вибору формули: 1) усі чи частина? 2) чи важливий порядок? 3) які обмеження?

• Усі n елементів і порядок важливий — перестановки Pₙ = n!

• Частина k з n і порядок важливий — розміщення Aₙᵏ = n! / (n − k)!

• Частина k з n і порядок неважливий — комбінації Cₙᵏ = n! / (k! · (n − k)!)

• «і» (обидва вибори) — множимо; «або» (один з варіантів) — додаємо

• Нуль не може стояти першим у числі — рахуй першу цифру окремо

• Середнє значення = сума всіх значень / кількість значень. Формули в довідці немає — знай напам'ять

• Кількість способів — завжди ціле невід'ємне число

• Якщо дві книжки поруч — склей їх у блок і помнож на 2! для перестановок усередині