Завдання 19 НМТ: похідна й інтеграл з короткою відповіддю

У завданні 19 НМТ ти можеш отримати 2 бали за обчислення значення похідної в заданій точці. Для цього не потрібно нічого, крім таблиці похідних з довідки НМТ і кількох правил. Головне — ніколи не підставляй точку одразу в функцію: спочатку знайди формулу похідної, і лиш тоді підставляй число.

Таблиця похідних з довідки НМТ

У довідці, яку ти отримаєш на тесті, є такі формули (запам'ятай, де стоїть мінус):

Запам'ятай: (cos x)' = −sin x — мінус з'являється саме тут. Не забудь його!

Формули (ctg x)' = −1 / sin²x у довідці НМТ немає — її треба знати напам'ять.

Правила диференціювання

Крім табличних формул, у довідці є чотири правила. П'яте правило, для лінійного аргументу, у довідці відсутнє — його треба знати напам'ять:

• (u ± v)' = u' ± v' — похідна суми дорівнює сумі похідних.

• (C · u)' = C · u' — сталий множник можна винести.

• (u · v)' = u'v + uv' — похідна добутку: диференціюємо перший множник, другий не чіпаємо, плюс перший не чіпаємо, диференціюємо другий.

• (u / v)' = (u'v − uv') / v² — похідна частки: «верх похідний мінус низ похідний», і все ділимо на квадрат знаменника.

• (f(kx + b))' = k · f'(kx + b) — для складеної функції з лінійним аргументом (профільний рівень); у довідці цього правила немає.

Алгоритм: спершу формула, потім число

Найпоширеніша помилка — підставити x₀ у вихідну функцію замість того, щоб спершу знайти похідну. Запам'ятай послідовність:

1. Знайди f'(x) — запиши похідну як формулу.

2. Підстав x₀ в отриману формулу й обчисли.

Приклади застосування

Многочлен. Нехай $f(x)=x^3-4x^2+5$. Тоді $f^{\prime }(x)=3x^2-8x$ (за правилом $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$). Підставляємо $x_0=2$: $f^{\prime }(2)=3\cdot 2^2-8\cdot 2=12-16=-4$.

Добуток. Нехай $f(x)=x^2\cdot \ln x$. За правилом $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$: $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$; $v=\ln x$, $v^{\prime }=1/x$. Отже, $f^{\prime }(x)=2x\cdot \ln x+x^2\cdot (1/x)=2x\ln x+x$. Підставляємо $x_0=1$: $f^{\prime }(1)=2\cdot 1\cdot \ln 1+1=2\cdot 1\cdot 0+1=1$.

Частка. Нехай $f(x)=(2x+1)/(x-1)$. За правилом $(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2$: $u=2x+1$, $u^{\prime }=2$; $v=x-1$, $v^{\prime }=1$. Тоді $f^{\prime }(x)=(2\cdot (x-1)-(2x+1)\cdot 1)/(x-1{)}^2=(2x-2-2x-1)/(x-1{)}^2=-3/(x-1{)}^2$. Підставляємо $x_0=2$: $f^{\prime }(2)=-3/(2-1{)}^2=-3$.

Корінь. Нехай $f(x)=6\sqrt{x}$. Запишемо $\sqrt{x}$ як $x^{1/2}$, тоді $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Маємо $f^{\prime }(x)=6\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}$. Підставляємо $x_0=4$: $f^{\prime }(4)=3/\sqrt{4}=3/2=1,5$.

Тригонометрія. Нехай $f(x)=2\sin x+x$. Тоді $f^{\prime }(x)=2\cos x+1$. Підставляємо $x_0=\pi /3$: $\cos (\pi /3)=1/2$, тому $f^{\prime }(\pi /3)=2\cdot (1/2)+1=1+1=2$.

Лінійний аргумент (профільний рівень)

Якщо аргумент функції — лінійний вираз $kx+b$, похідна дорівнює $k$, помноженій на похідну функції від цього виразу. Наприклад:

• $(\sin 3x{)}^{\prime }=3\cos 3x$

• $((2x-1{)}^5{)}^{\prime }=5\cdot (2x-1{)}^4\cdot 2=10(2x-1{)}^4$

• $(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$

У довідці НМТ похідної складеної функції в загальному вигляді немає, але лінійний аргумент трапляється в завданнях, тому потренуйся з кількома прикладами.

Кусково задана функція — це функція, яка на різних проміжках області визначення задана різними формулами. У завданні 19 НМТ вона може бути записана аналітично або зображена графіком-ламаною. Головне — спочатку визначити, який саме рядок «працює» в заданій точці, і лише потім виконувати обчислення.

Як читати кусково задану функцію

Розгляньмо запис:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-3x,& x\le 2\\ 5-x,& x>2\end{array}$$

Це означає:

• Якщо $x\le 2$, то $f(x)=x^2-3x$ (перший рядок).

• Якщо $x>2$, то $f(x)=5-x$ (другий рядок).

Приклад 1. Знайдемо $f(4)$. Оскільки 4 > 2, беремо другий рядок: $f(4)=5-4=1$. Похідна на цьому проміжку: $f^{\prime }(x)=(5-x{)}^{\prime }=-1$, тому $f^{\prime }(4)=-1$.

Приклад 2. Знайдемо $f(-1)$. Оскільки $-1\le 2$, беремо перший рядок: $f(-1)=(-1{)}^2-3\cdot (-1)=1+3=4$. Похідна на цьому проміжку: $f^{\prime }(x)=2x-3$, тому $f^{\prime }(-1)=2\cdot (-1)-3=-2-3=-5$.

Точка стику: який рядок брати?

Точка $x=2$ — точка стику проміжків. Її відносять до того рядка, де стоїть знак $\le$ або $\ge$ (не сувора нерівність). У нашому записі $x\le 2$ — це перший рядок, тому $f(2)=2^2-3\cdot 2=4-6=-2$.

Подивимось, чи дорівнює значення з другого рядка в тій самій точці тому самому числу? Для $x>2$ точка $x=2$ не підходить, але якщо ми підставимо $x=2$ у другий вираз, отримаємо 5 − 2 = 3. Маємо $-2\ne 3$, отже, функція має в точці $x=2$ розрив і не є в ній диференційовною. Тому в завданні НМТ похідну в точці стику зазвичай не питають — шукають у точках усередині проміжків.

Поєднання величин

Іноді умова просить знайти не одну величину, а їхню суму, добуток або іншу комбінацію. Наприклад: «Знайдіть $f(3)+f^{\prime }(-1)$». Діємо завжди однаково:

1. Визначаємо для кожної точки свій рядок функції.

2. Обчислюємо кожну величину окремо.

3. Виконуємо потрібну дію (додавання, множення тощо).

Для нашої функції: $f(3)$ — другий рядок (3 > 2), $f(3)=5-3=2$. $f^{\prime }(-1)$ — перший рядок, $f^{\prime }(x)=2x-3$, $f^{\prime }(-1)=-5$. Отже, $f(3)+f^{\prime }(-1)=2+(-5)=-3$.

Графік-ламана

Функцію можуть задати не формулами, а графіком — ламаною лінією. Кожна ланка ламаної — це відрізок прямої. Похідна на такій ланці дорівнює її кутовому коефіцієнту ($k$ у рівнянні $y=kx+b$).

Наприклад, ланка з'єднує точки $(1;2)$ і $(4;8)$. Кутовий коефіцієнт: $k=\frac{8-2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$. Отже, для всіх $x$ між 1 і 4 похідна $f^{\prime }(x)=2$.

Для невід'ємної на $[a;b]$ функції визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції під її графіком; загалом це число $F(b)-F(a)$, яке може бути й від'ємним. На НМТ тобі не потрібно малювати фігуру: достатньо скористатися формулою Ньютона–Лейбніца та таблицею первісних з довідки.

Формула Ньютона–Лейбніца

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Тут $F(x)$ — первісна функції $f(x)$, тобто така функція, що $F^{\prime }(x)=f(x)$. У визначеному інтегралі сталої $C$ не пишуть — вона скорочується при відніманні.

Таблиця первісних з довідки НМТ

Увага: первісна sin x дорівнює −cos x (мінус!), а первісна cos x дорівнює sin x (без мінуса). Не переплутай!

Покроковий алгоритм

1. За таблицею первісних знайди $F(x)$ — первісну підінтегральної функції $f(x)$.

2. Обчисли $F(b)$ — значення первісної у верхній межі.

3. Обчисли $F(a)$ — значення первісної в нижній межі.

4. Відніми: $F(b)-F(a)$. Саме верхня мінус нижня, а не навпаки!

Приклади

Приклад 1. ${\int }_1^3(3x^2-2x)dx$.

Первісна: $F(x)=x^3-x^2$ (бо $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$, а $(x^2{)}^{\prime }=2x$).

$F(3)=27-9=18$, $F(1)=1-1=0$.

Відповідь: 18 − 0 = 18.

Приклад 2. ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx$.

Первісна $\cos x$ — це $\sin x$. $F(\pi /2)=\sin (\pi /2)=1$, $F(0)=\sin 0=0$.

Відповідь: 1 − 0 = 1.

Приклад 3. ${\int }_1^4\frac{dx}{\sqrt{x}}$.

Запишемо $\frac{1}{\sqrt{x}}$ як $x^{-1/2}$. Первісна: $\frac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{x}$. $F(4)=2\sqrt{4}=4$, $F(1)=2\sqrt{1}=2$.

Відповідь: 4 − 2 = 2.

Пастки підстановки

• Плутанина меж: обов'язково $F(b)-F(a)$, а не $F(a)-F(b)$. Інакше відповідь матиме протилежний знак.

• Від'ємна межа: якщо нижня межа від'ємна, підставляй у дужках. Наприклад, ${\int }_{-1}^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_{-1}^2=8-(-1)=9$.

• Стала C: у визначеному інтегралі її не пишуть — вона все одно скоротиться.

• Замість первісної — підінтегральна: ніколи не підставляй межі в $f(x)$. Спочатку знайди $F(x)$!

Невідома межа

Іноді інтеграл містить невідому верхню межу, а його значення відоме. Тоді розв'язуєш рівняння. Наприклад, ${\int }_0^{a}2xdx=9$, $a>0$. Первісна: $x^2$. Отже, $a^2-0^2=9$, звідки $a=3$ (від'ємний корінь не підходить, бо $a>0$).

Як скласти задачу-аналог

Щоб відповідь була скінченним десятковим дробом, підбирай межі та коефіцієнти так, щоб значення первісної в обох межах були раціональними числами. Наприклад, візьми многочлен з цілими коефіцієнтами та цілі межі — відповідь буде цілим числом. Або візьми функцію з коренем і межі — квадрати натуральних чисел.

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові задачі, які можуть з'явитися на НМТ на позиції № 19. Кожна має коротку відповідь — десятковий дріб.

Приклад 1. Кусково задана функція з сумою значень

Умова: Функцію задано формулою:

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x,& x<1\\ 4-x,& x\ge 1\end{array}$$

Знайдіть $f(3)+f^{\prime }(-2)$.

Розв'язання:

1. Визначаємо рядки. Для $x=3$: 3 ≥ 1, тому другий рядок. Отже, $f(3)=4-3=1$.

2. Для $x=-2$: $-2<1$, тому перший рядок. Знаходимо похідну: $f^{\prime }(x)=(x^2+2x{)}^{\prime }=2x+2$. Підставляємо: $f^{\prime }(-2)=2\cdot (-2)+2=-4+2=-2$.

3. Обчислюємо суму: $f(3)+f^{\prime }(-2)=1+(-2)=-1$.

Відповідь: −1.

Розбір пасток:

• Пастка 1: якщо підставити $x=-2$ у функцію замість похідної, отримаємо $f(-2)=4-4=0$, а $f(3)+0=1$ — це неправильно.

• Пастка 2: якщо взяти $f(3)$ за першим рядком (3 < 1 — помилка!), отримаємо 9 + 6 = 15, а 15 + (−2) = 13 — теж неправильно.

Приклад 2. Похідна частки

Умова: Знайдіть значення похідної функції $f(x)=\frac{x^2+3}{x}$ у точці $x_0=2$.

Розв'язання:

Спочатку спростимо: $f(x)=\frac{x^2}{x}+\frac{3}{x}=x+\frac{3}{x}$.

Тепер знаходимо похідну: $f^{\prime }(x)=1-\frac{3}{x^2}$ (бо $(1/x{)}^{\prime }=-1/x^2$, звідки $(3/x{)}^{\prime }=-3/x^2$).

Підставляємо $x_0=2$: $f^{\prime }(2)=1-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=0,25$.

Відповідь: 0,25.

Розбір пасток:

• Пастка: якщо обчислити $f(2)$ замість $f^{\prime }(2)$, матимемо 2 + 3/2 = 3,5 — це поширена помилка.

Приклад 3. Визначений інтеграл

Умова: Обчисліть ${\int }_1^3(2x+1)dx$.

Розв'язання:

Первісна функції $f(x)=2x+1$: $F(x)=x^2+x$.

$F(3)=9+3=12$, $F(1)=1+1=2$.

${\int }_1^3(2x+1)dx=F(3)-F(1)=12-2=10$.

Відповідь: 10.

Розбір пасток:

• Пастка 1: забути відняти $F(1)$ — відповідь 12 (неправильно).

• Пастка 2: зробити $F(1)-F(3)$ — відповідь −10 (неправильно).

• Пастка 3: підставити межі в $f(x)$ замість $F(x)$: 2 · 3 + 1 = 7, 2 · 1 + 1 = 3, різниця 4 — неправильно.

Приклад 4. Фізичний зміст похідної

Умова: Точка рухається за законом $s(t)=t^3-3t^2+2$ ($s$ — у метрах, $t$ — у секундах). Знайдіть швидкість у момент $t=3$ с.

Розв'язання:

Швидкість — це похідна шляху за часом: $v(t)=s^{\prime }(t)$.

$v(t)=3t^2-6t$.

Підставляємо $t=3$: $v(3)=3\cdot 9-6\cdot 3=27-18=9$ (м/с).

Відповідь: 9.

Розбір пасток:

• Пастка: обчислити $s(3)$ замість $v(3)$: 27 − 27 + 2 = 2 — це шлях, а не швидкість.

На основі досвіду розв'язування завдань НМТ з похідної та інтеграла можна виділити кілька типових помилок. Ознайомся з ними, щоб не втратити 2 бали через неуважність.

• Підставити точку у функцію замість похідної. Найпоширеніша помилка: умова просить $f^{\prime }(x_0)$, а учень обчислює $f(x_0)$. Завжди спершу знаходь $f^{\prime }(x)$ як формулу, лише потім підставляй число.

• Узяти для точки формулу не з того проміжку. У кусково заданій функції спершу перевір умову на $x$ і вибери правильний рядок. Особливо уважним будь у точці стику: зверни увагу на знак $\le$ чи $<$.

• Застосувати неправильні правила диференціювання. Запам'ятай: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, а не $u^{\prime }{v}^{\prime }$. Для частки: $(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2$, а не $u^{\prime }/v^{\prime }$.

• Обчислити $F(a)-F(b)$ замість $F(b)-F(a)$. У формулі Ньютона–Лейбніца верхня межа мінус нижня. Якщо переплутати, відповідь матиме протилежний знак.

• Підставити межі в підінтегральну функцію замість первісної. Інтеграл ${\int }_a^{b}f(x)dx$ обчислюють через первісну $F(x)$, а не через саму $f(x)$. Спочатку знайди $F(x)$ за таблицею.

• Загубити мінус. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, первісна $\sin x$ дорівнює $-\cos x$. Мінус з'являється в похідній косинуса й у первісній синуса — не забувай його!

• Записати у відповідь одну з величин, коли питають їхню суму чи добуток. Уважно читай умову: якщо просять $f(3)+f^{\prime }(-2)$, то відповідь — сума, а не окремо $f(3)$ або $f^{\prime }(-2)$.

Нижче описано, як саме виглядає завдання № 19 у тесті НМТ і як до нього готуватися.

Формат завдання

• Позиція: № 19 (одне з чотирьох завдань з короткою відповіддю, № 19–22).

• Тип: коротка відповідь — десятковий дріб (ціле число або скінченний десятковий дріб; звичайний дріб спершу переведи в десятковий).

• Бали: 0 або 2 бали. Помилка дає 0 балів.

• Час: окремого ліміту на одне завдання немає; розумно витратити на нього 5–7 хвилин.

Що трапляється на цій позиції

У демоваріанті 2026 року на позиції № 19 стояло завдання на значення кусково заданої функції та її похідної (теми 3.3 «Похідна функції, її геометричний та фізичний зміст. Таблиця похідних та правила диференціювання» і 3.2 «Функціональна залежність…» програми НМТ). Однак у вибірці тестів 2023–2024 років на позиції № 19 в одному тесті з чотирьох стояв інтеграл, а в решті — прогресія. Позиція змінна: похідна, інтеграл або прогресія можуть опинитися як на № 19, так і на іншій позиції. Тому похідну й інтеграл тренують саме у формі короткої відповіді — у різних варіантах.

Що можна використовувати з довідки

У довідці НМТ наведено:

• Таблиця похідних: $C$, $x$, $x^{\alpha }$, $\sqrt{x}$, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\mathrm{tg}x$.

• Правила диференціювання: $(u\pm v{)}^{\prime }$, $(Cu{)}^{\prime }$, $(uv{)}^{\prime }$, $(u/v{)}^{\prime }$.

• Таблиця первісних (обернена до таблиці похідних).

• Формула Ньютона–Лейбніца: ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Важливо: похідної складеної функції в загальному вигляді в довідці немає, лише окремі випадки з лінійним аргументом можна вивести з наведених формул.

Як записувати відповідь

Відповідь — лише десятковий дріб. Якщо число від'ємне, знак «мінус» ставиться перед першою цифрою. Дробову частину відокремлюють комою. Наприклад: −1; 0,25; 10; 9.

Стратегія виконання

1. Прочитай умову й визнач, що саме треба знайти: $f(x_0)$, $f^{\prime }(x_0)$, їхню суму чи інтеграл.

2. Якщо функція кусково задана — випиши, який рядок працює в кожній точці.

3. Знайди $f^{\prime }(x)$ як формулу (або $F(x)$ як первісну) — запиши на чернетці.

4. Підстав числове значення й обчисли.

5. Перевір, чи записав саме ту величину, яку просили, і чи не загубив знак.

• Спершу рядок кусково заданої функції, потім обчислення. Для кожної точки спочатку визнач, яка формула «працює» за умовою на $x$.

• Спершу $f^{\prime }(x)$ як формула, потім підстановка $x_0$. Ніколи не підставляй число в $f(x)$, якщо питають $f^{\prime }(x_0)$.

• Таблиці похідних і первісних та формула Ньютона–Лейбніца — у довідці. Користуйся ними, але пам'ятай, де стоїть мінус.

• ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$: верхня межа мінус нижня. Не переплутай порядок.

• $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, а не $u^{\prime }{v}^{\prime }$. Для частки: $(u/v{)}^{\prime }=(u^{\prime }v-u{v}^{\prime })/v^2$.

• У відповідь записуй саме ту величину, яку просять: $f(x_0)$, $f^{\prime }(x_0)$, їхню суму чи значення інтеграла. Перевір умову перед тим, як писати відповідь.