Вирази в завданнях 4–14 НМТ: швидкі обчислення

У завданнях 4–14 НМТ степеневі й ірраціональні вирази — одні з найчастіших. Твій головний прийом — звести всі числа до однієї основи й застосувати властивості з довідки. Розгляньмо, які саме властивості тобі знадобляться.

Довідка НМТ містить: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ), √(a²) = |a|.

Як звести до однієї основи

Коли бачиш добуток або частку чисел із різними основами, подай кожне число як степінь найменшої спільної основи. Найчастіше це 2 або 3. Потім застосуй властивості степенів.

Розберімо приклад: $8^{2/3}\cdot 4^{-1/2}$. Числа 8 і 4 — це степені двійки: $8=2^3$, $4=2^2$. Маємо:

$8^{2/3}\cdot 4^{-1/2}=(2^3{)}^{2/3}\cdot (2^2{)}^{-1/2}=2^{3\cdot 2/3}\cdot 2^{2\cdot (-1/2)}=2^2\cdot 2^{-1}=2^{2-1}=2^1=2$.

Інший приклад: $27^{1/3}\cdot 9^{-1}$. Тут 27 і 9 — степені трійки: $27=3^3$, $9=3^2$. Обчислюємо:

$27^{1/3}\cdot 9^{-1}=(3^3{)}^{1/3}\cdot (3^2{)}^{-1}=3^1\cdot 3^{-2}=3^{-1}=\frac{1}{3}$.

Корені n-го степеня

У демоваріанті 2026 року завдання № 9 перевіряє саме дії з коренями n-го степеня. Правила з довідки:

• $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ — добуток коренів однакового степеня дорівнює кореню з добутку.

• $\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a/b}$ — частка коренів однакового степеня дорівнює кореню з частки.

Приклади:

• $\sqrt[3]{54}:\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{54/2}=\sqrt[3]{27}=3$.

• $\sqrt[4]{3}\cdot \sqrt[4]{27}=\sqrt[4]{3\cdot 27}=\sqrt[4]{81}=3$.

Винесення множника з-під кореня й різниця квадратів

Коли маєш суму або різницю квадратних коренів, винеси спільний множник. Наприклад:

$\sqrt{50}-\sqrt{18}=\sqrt{25\cdot 2}-\sqrt{9\cdot 2}=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

А якщо бачиш добуток виразів типу $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ — це різниця квадратів: $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)=(\sqrt{7}{)}^2-2^2=7-4=3$.

Запам'ятай: $\sqrt{a^2}=|a|$, а не просто $a$. Наприклад, $\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$, а не $-3$.

Логарифмічні вирази на НМТ завжди можна обчислити за двома інструментами: основною логарифмічною тотожністю та властивостями логарифмів з довідки. Розгляньмо їх.

Основна логарифмічна тотожність: a^(logₐ b) = b за умови a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Це найшвидший спосіб «згорнути» показниково-логарифмічний вираз. Якщо бачиш число в степені, показник якого — логарифм за тією самою основою, результат дорівнює підлогарифмічному виразу.

Властивості логарифмів із довідки НМТ

У довідці ти знайдеш такі формули (для a > 0, a ≠ 1, b, c > 0):

• $lo{g}_a(bc)=lo{g}_{a}b+lo{g}_{a}c$ — логарифм добутку.

• $lo{g}_a(b/c)=lo{g}_{a}b-lo{g}_{a}c$ — логарифм частки.

• $lo{g}_a{b}^k=k\cdot lo{g}_{a}b$ — логарифм степеня.

• $lo{g}_{a^k}b=\frac{1}{k}\cdot lo{g}_{a}b$ — зміна основи.

Застосовуй ці формули, щоб звести кілька логарифмів до одного, а потім обчислити його. Приклади:

• $lo{g}_{6}4+lo{g}_{6}9=lo{g}_6(4\cdot 9)=lo{g}_{6}36=2$.

• $lo{g}_{2}40-lo{g}_{2}5=lo{g}_2(40/5)=lo{g}_{2}8=3$.

• $5^{lo{g}_{5}7+1}=5^{lo{g}_{5}7}\cdot 5^1=7\cdot 5=35$ — тут поєднано основну тотожність і властивість степенів.

Логарифми з різними основами

Коли основа логарифма — степінь іншого числа, скористайся формулою зміни основи:

$lo{g}_{9}27=lo{g}_{3^2}{3}^3=\frac{3}{2}\cdot lo{g}_{3}3=\frac{3}{2}=1,5$.

Або за означенням: який показник має бути в основи 9, щоб отримати 27? $9^x=27\Rightarrow 3^{2x}=3^3\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=1,5$.

Десятковий логарифм (lg) — це логарифм за основою 10: $lg0,001=lg10^{-3}=-3$, $lo{g}_2(1/8)=lo{g}_2{2}^{-3}=-3$.

Поширені пастки

• $lo{g}_a(b+c)\ne lo{g}_{a}b+lo{g}_{a}c$ — сума аргументів НЕ дорівнює сумі логарифмів.

• $lo{g}_{2}8:lo{g}_{2}2=3:1=3$, а не $lo{g}_{2}4=2$ — частка логарифмів НЕ дорівнює логарифму частки.

• $lo{g}_a(b-c)\ne \frac{lo{g}_{a}b}{lo{g}_{a}c}$ — не плутай різницю аргументів з часткою логарифмів.

Запам'ятай: логарифм «працює» лише з множенням, діленням і степенем усередині аргументу. Додавання й віднімання аргументів не розкладаються на окремі логарифми.

Тригонометричні вирази на НМТ перевіряють, чи вмієш ти користуватися таблицею значень, формулами зведення й подвійного кута. Найважливіше — не помилитися зі знаком.

Довідка НМТ містить таблицю значень тригонометричних функцій для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π.

Таблиця значень і основні тотожності

Тотожності з довідки: $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$, $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$, $sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha$, $cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha$.

Формули зведення: правило знака

У довідці є формули зведення лише для $90°+\alpha$ і $180°-\alpha$. Для решти випадків працюй за правилом:

• Назва функції змінюється (sin ↔ cos, tg ↔ ctg), якщо кут містить 90° або 270° (π/2 або 3π/2).

• Назва залишається, якщо кут містить 180° або 360° (π або 2π).

• Знак визначає чверть, у якій лежить вихідний кут (до застосування формули).

Приклади:

$cos210°$ — кут 210° лежить у III чверті, де cos від'ємний. 210° = 180° + 30°, назва не змінюється. Отже, $cos210°=-cos30°=-\sqrt{3}/2$.

$sin300°$ — кут 300° — IV чверть, sin від'ємний. 300° = 270° + 30°, назва змінюється (sin → cos). Отже, $sin300°=-cos30°=-\sqrt{3}/2$.

Подвійний кут як згортка

Формули подвійного кута дозволяють «згорнути» добуток або різницю квадратів у значення відомої функції:

• $2sin15°cos15°=sin30°=1/2$.

• $co{s}^{2}22,5°-si{n}^{2}22,5°=cos45°=\sqrt{2}/2$.

Значення за іншою функцією

Часто дають значення однієї функції й чверть, щоб знайти іншу. Наприклад: $cos\alpha =-0,6$, α — у II чверті. За $si{n}^2\alpha +co{s}^2\alpha =1$ маємо $si{n}^2\alpha =1-0,36=0,64$, звідки $sin\alpha =\pm 0,8$. У II чверті sin додатний, тому $sin\alpha =0,8$. Тоді $tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{0,8}{-0,6}=-\frac{4}{3}$.

Не забувай перевіряти знак за чвертю! Найчастіша помилка — узяти sin α = -0,8 замість 0,8, бо забули, що у II чверті синус додатний.

Найпоширеніша помилка на НМТ — хапатися за підстановку числа одразу, не спростивши вираз. У результаті отримуєш громіздкі дроби, плутанину в знаках і втрачений час. Натомість спершу спрости вираз, а потім підстав значення змінної.

Чому спрощення вигідніше

Розгляньмо вираз $(a^2-4)/(a^2+2a)$ при $a=-0,5$. Якщо підставляти одразу:

$(0,25-4)/(0,25-1)=(-3,75)/(-0,75)=5$ — але це вимагає уважних дій з десятковими дробами й легко збитися.

Натомість спрости: $(a^2-4)/(a^2+2a)=\frac{(a-2)(a+2)}{a(a+2)}=\frac{a-2}{a}$, де $a\ne 0$ і $a\ne -2$. Тепер підставляємо: $(-0,5-2)/(-0,5)=(-2,5)/(-0,5)=5$.

Спрощення перетворює складний дріб на простий лінійний вираз. Це швидше й безпечніше.

Формули скороченого множення для швидких обчислень

У довідці НМТ є формули скороченого множення. Вони допомагають обчислити числові вирази без калькулятора. Наприклад, різниця квадратів:

$73^2-27^2=(73-27)(73+27)=46\cdot 100=4600$.

Без цієї формули довелося б підносити до квадрата 73 і 27, що зайняло б набагато більше часу.

Мінус перед дужками чи дробом

Знак «мінус» перед дужками змінює знак кожного доданка всередині: $5-(2x-3)=5-2x+3=8-2x$.

Те саме з дробом: $a-\frac{a^2-1}{a+1}=a-\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}=a-(a-1)=a-a+1=1$.

Якщо перед дробом стоїть мінус, він «розподіляється» на весь чисельник після скорочення.

Як перевірити себе

Після спрощення підстав одне зручне число (наприклад, 0 або 1, якщо воно входить в ОДЗ) у початковий і кінцевий вирази. Значення мають збігтися. Перед вибором відповіді звір її з варіантами за знаком і порядком величини.

Тренування

Склади змішані серії з 10 виразів різних типів (степінь, корінь, логарифм, тригонометрія, дріб) і виконуй їх з таймером на 15 хвилин. Фіксуй час і тип кожної помилки — це допоможе виявити слабкі місця.

Розгляньмо чотири типові завдання з вибором відповіді, які можуть трапитися на НМТ. Кожен приклад розібрано покроково, із поясненням, чому інші варіанти неправильні.

Приклад 1. Степені — звести до однієї основи

Завдання: Обчисліть $16^{3/4}\cdot 2^{-2}$.

Крок 1. Подаємо $16$ як степінь двійки: $16=2^4$. Тоді $16^{3/4}=(2^4{)}^{3/4}=2^{4\cdot 3/4}=2^3=8$.

Крок 2. $2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.

Крок 3. Добуток: $8\cdot \frac{1}{4}=2$.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні?

• 32 — помножили 8 на 4 (переплутали $2^{-2}$ з $2^2$).

• 12 — обчислили як $16\cdot 3/4=12$, загубивши степеневий сенс.

• 1/2 — поділили 1 на 2 замість 8 на 4.

• 8 — забули помножити на $2^{-2}$.

Приклад 2. Логарифми й основна тотожність

Завдання: Обчисліть $lo{g}_{3}54-lo{g}_{3}2+2^{lo{g}_{2}5}$.

Крок 1. Різниця логарифмів: $lo{g}_{3}54-lo{g}_{3}2=lo{g}_3(54/2)=lo{g}_{3}27=3$.

Крок 2. Основна логарифмічна тотожність: $2^{lo{g}_{2}5}=5$.

Крок 3. Сума: $3+5=8$.

Відповідь: 8.

Чому інші варіанти неправильні?

• 3 — загубили доданок $2^{lo{g}_{2}5}$.

• 10 — прочитали $2^{lo{g}_{2}5}$ як $2\cdot 5$.

• 27 — записали аргумент логарифма (27) замість його значення (3).

• 32 — записали аргумент 27 замість log₃ 27 = 3 і додали 5: 27 + 5 = 32.

Приклад 3. Тригонометрія — знак має значення

Завдання: Обчисліть $sin150°-cos240°$.

Крок 1. $sin150°=sin(180°-30°)=sin30°=1/2$.

Крок 2. $cos240°=cos(180°+60°)=-cos60°=-1/2$.

Крок 3. Різниця: $1/2-(-1/2)=1/2+1/2=1$.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні?

• 0 — узяли $cos240°=+1/2$, пропустивши знак мінус.

• -1 — помилилися з обома знаками.

• $(1+\surd 3)/2$ — замість $cos60°=1/2$ узяли $cos30°=\surd 3/2$.

• √3 — зовсім неправильне застосування формул.

Приклад 4. Дробово-раціональний вираз — спершу спростити

Завдання: Знайдіть значення виразу $\frac{x^2-9}{x^2-3x}-\frac{3}{x}$ при $x=0,2$.

Крок 1. Спрощуємо перший дріб: $\frac{x^2-9}{x^2-3x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)}=\frac{x+3}{x}$ (при $x\ne 3$).

Крок 2. Весь вираз: $\frac{x+3}{x}-\frac{3}{x}=\frac{x+3-3}{x}=\frac{x}{x}=1$.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні?

• 16 — загубили віднімання $3/x$.

• 15 — неправильно скоротили й не відняли $3/x$.

• -14 — помилка в знаку під час спрощення.

• 0 — неправильно скоротили дріб.

Навіть коли ти знаєш усі правила, кілька типових помилок можуть коштувати бала на НМТ. Розгляньмо їх, щоб навчитися уникати.

• Губити мінус під час розкриття дужок чи перед дробом. Приклад: $5-(2x-3)=5-2x+3=8-2x$, а не $5-2x-3=2-2x$. Мінус перед дужкою змінює знак кожного доданка.

• У формулах зведення брати знак зведеної, а не вихідної функції. Наприклад, $cos210°=-cos30°=-\surd 3/2$, а не $+\surd 3/2$. Знак визначає чверть вихідного кута (210° — III чверть, де cos від'ємний), а не зведеного (30°).

• Плутати $a^{-n}$ з $-a^n$ і $a^{1/n}$ з $a/n$: $2^{-3}=1/8$, а не $-8$; $16^{1/2}=4$, а не $8$.

• Вважати, що $lo{g}_a(b+c)=lo{g}_{a}b+lo{g}_{a}c$ — це найчастіша логарифмічна пастка. Логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів!

• Вважати, що $lo{g}_{a}b:lo{g}_{a}c=lo{g}_a(b/c)$. Насправді $lo{g}_{2}8:lo{g}_{2}2=3:1=3$, а $lo{g}_{2}4=2$ — це різні числа.

• Підставляти число до спрощення й губитися в громіздких дробах. Завжди спершу спрощуй.

• Писати $\surd (a^2)=a$ для від'ємного $a$. Насправді $\surd (a^2)=|a|$, тобто $\surd ((-3{)}^2)=3$, а не $-3$.

• Переплутати значення $sin30°$ і $cos30°$ у таблиці: $sin30°=1/2$, $cos30°=\surd 3/2$, а не навпаки.

Розуміння того, як саме виглядають завдання на НМТ, допомагає налаштуватися на правильний темп і не витрачати зайвих хвилин.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання на обчислення виразів розташовані серед позицій 4–14. Зокрема:

• № 9 — обчислення з коренями n-го степеня (теми 1.1 + 1.3 програми).

• № 14 — скорочення дробового раціонального виразу (тема 1.3).

Обидва завдання — з вибором однієї відповіді з п'яти, оцінюються в 0 або 1 бал.

Скільки таких завдань буває

За аналізом програми, тема 1.3 «Числа і вирази» дає в середньому близько 2,75 завдання на тест (2–3 завдання у вибірці 2023–2024 років). У демоваріанті 2026 року розділ «Числа і вирази» охоплює 5 завдань загальною вартістю 7 балів.

Що можна використати з довідки

На тесті ти отримаєш довідку, яка містить:

• Властивості степенів, визначення $a^{m/n}{=}^n\surd (a^m)$ і $\surd (a^2)=|a|$.

• Властивості логарифмів (добуток, частка, степінь, зміна основи).

• Формули скороченого множення.

• Таблицю значень тригонометричних функцій, формули $sin2\alpha$, $cos2\alpha$.

• Формули зведення лише для $90°+\alpha$ і $180°-\alpha$.

Стратегія

Орієнтуйся на 1–2 хвилини на один вираз. Якщо обчислення затягується, звір отриманий результат з варіантами за знаком і порядком величини — це часто допомагає відсіяти половину відповідей.

• Степені й корені: зводь усі числа до однієї основи (найчастіше 2 або 3), потім застосовуй властивості степенів.

• Логарифми: обчислюй через властивості з довідки (добуток, частка, степінь) і основну логарифмічну тотожність $a^{lo{g}_{a}b}=b$.

• Формули зведення: назва змінюється при 90° і 270°, знак бери за вихідною функцією в заданій чверті.

• Спершу спрости вираз, потім підставляй число — це швидше й безпечніше.

• Мінус перед дужками змінює знак кожного доданка всередині.

• Перевір результат: підстав зручне число в початковий і кінцевий вирази або оціни порядок величини.

• Тренуйся з таймером: 10 виразів за 15 хвилин, фіксуй час і помилки.