Відстань між точками й координати середини відрізка

Прямокутна (декартова) система координат на площині складається з двох взаємно перпендикулярних числових осей: горизонтальної осі абсцис Ox і вертикальної осі ординат Oy. Точка їхнього перетину — початок координат O(0; 0). Кожна точка площини має дві координати: спочатку записують абсцису (координату на осі Ox), а потім — ординату (координату на осі Oy). Наприклад, запис A(3; −5) означає, що абсциса точки дорівнює 3, а ордината — −5. Цей порядок ніколи не міняють: спершу x, потім y.

Координатні чверті

Осі ділять площину на чотири чверті (квадранти). Знаки координат у кожній чверті:

Якщо точка лежить на осі Ox, її ордината дорівнює нулю: B(5; 0). Якщо на осі Oy, то нулю дорівнює абсциса: C(0; −3).

Відстань від точки до осей і до початку координат

Відстань від точки A(x; y) до осі абсцис дорівнює модулю її ординати: d(A, Ox) = |y|. Відстань до осі ординат — модулю абсциси: d(A, Oy) = |x|. Відстань від точки до початку координат обчислюють за теоремою Піфагора: OA = √(x² + y²).

Розгляньмо точку A(−3; 4). Відстань до осі Ox дорівнює |4| = 4, до осі Oy — |−3| = 3, а до початку координат — √((−3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Проєкціями точки A на осі є точки Aₓ(−3; 0) на Ox і Aᵧ(0; 4) на Oy.

Відстань між двома точками A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂) на координатній площині обчислюють за формулою:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Ця формула випливає з теореми Піфагора. Уяви прямокутний трикутник, у якого катетами є різниці координат: |x₂ − x₁| (горизонтальний катет) і |y₂ − y₁| (вертикальний катет). Тоді відстань AB — це гіпотенуза цього трикутника.

Покроковий приклад

Нехай A(1; −2), B(7; 6). Обчислимо відстань між ними:

• Δx = 7 − 1 = 6

• Δy = 6 − (−2) = 6 + 2 = 8

• AB = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Зверни увагу: порядок точок не важливий, бо різниці підносять до квадрата. Якби ми взяли A за другу точку, то отримали б Δx = 1 − 7 = −6, але (−6)² = 36 — результат той самий.

Від'ємні координати

Коли одна з координат від'ємна, підставляй її в дужках. Наприклад, A(4; −2), B(1; 3):

$$AB=\sqrt{(1-4{)}^2+(3-(-2){)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+(5{)}^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$$

Типовою помилкою є неправильне віднімання: 3 − (−2) = 3 − 2 = 1 замість 3 + 2 = 5. Пам'ятай: мінус на мінус дає плюс.

Точки на одній вертикалі чи горизонталі

Якщо точки мають однакову абсцису, вони лежать на одній вертикальній прямій, і відстань дорівнює модулю різниці ординат. Якщо однакову ординату — на одній горизонтальній прямій, і відстань дорівнює модулю різниці абсцис.

Приклад: A(2; 5), B(2; −3) — однакові абсциси, тому AB = |5 − (−3)| = 8.

Застосування: периметр і вид трикутника

За координатами вершин трикутника можна знайти його периметр і визначити вид. Розгляньмо трикутник A(0; 0), B(4; 0), C(2; 3):

• AB = √((4 − 0)² + (0 − 0)²) = 4

• AC = √((2 − 0)² + (3 − 0)²) = √(4 + 9) = √13

• BC = √((2 − 4)² + (3 − 0)²) = √(4 + 9) = √13

Оскільки AC = BC, трикутник рівнобедрений. Щоб перевірити, чи є трикутник прямокутним, застосовують обернену теорему Піфагора: якщо квадрат найбільшої сторони дорівнює сумі квадратів двох інших, то трикутник прямокутний.

Невідома координата

Іноді відома відстань між точками, а одну з координат треба знайти. Наприклад, A(1; y), B(4; 5), AB = 5. Складаємо рівняння:

$$5=\sqrt{(4-1{)}^2+(5-y{)}^2}$$

Підносимо обидві частини до квадрата: 25 = 9 + (5 − y)². Звідси (5 − y)² = 16, отже 5 − y = 4 або 5 − y = −4. Тому y = 1 або y = 9. Тут маємо дві відповіді, бо точка може лежати вище або нижче від заданої. Загалом таке рівняння може мати два розв'язки, один або жодного — залежно від заданої відстані.

Нехай A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂) — кінці відрізка. Тоді точка M — середина цього відрізка — має координати, що дорівнюють півсумам відповідних координат кінців:

$$x_M=\frac{x_1+x_2}{2},y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$$

Це логічно: середина — це середнє арифметичне координат кінців. Наприклад, для A(−4; 7) і B(2; −1):

• x = (−4 + 2)/2 = −2/2 = −1

• y = (7 + (−1))/2 = 6/2 = 3

• M(−1; 3)

Обернена задача: знайти кінець відрізка за серединою

Якщо відомі середина M(x₀; y₀) і один кінець A(x₁; y₁), то другий кінець B(x₂; y₂) знаходять із тих самих формул, виражаючи невідомі координати:

$$x_2=2x_0-x_1,y_2=2y_0-y_1$$

Приклад: M(3; −2) — середина AB, A(1; 5). Знайдемо B:

• x₂ = 2 · 3 − 1 = 6 − 1 = 5

• y₂ = 2 · (−2) − 5 = −4 − 5 = −9

• B(5; −9)

Перевірка: (1 + 5)/2 = 3, (5 + (−9))/2 = −2 — усе збігається.

Центр кола за кінцями діаметра

Оскільки центр кола є серединою будь-якого діаметра, то за координатами кінців діаметра можна знайти центр. Нехай A(−1; 2) і B(5; 10) — кінці діаметра. Тоді центр кола:

• x = (−1 + 5)/2 = 4/2 = 2

• y = (2 + 10)/2 = 12/2 = 6

• O(2; 6)

Радіус кола дорівнює половині діаметра: AB = √((5 − (−1))² + (10 − 2)²) = √(36 + 64) = √100 = 10, отже радіус R = 10/2 = 5.

Четверта вершина паралелограма

У паралелограма ABCD діагоналі перетинаються в одній точці й діляться нею навпіл. Отже, середини діагоналей AC і BD збігаються. Якщо відомі три вершини, четверту знаходять, прирівнявши середини діагоналей.

Приклад: A(1; 1), B(4; 2), C(6; 5). Знайдемо D:

• Середина AC: ((1 + 6)/2; (1 + 5)/2) = (3,5; 3)

• Середина BD: ((4 + x_D)/2; (2 + y_D)/2) = (3,5; 3)

• Звідси: 4 + x_D = 7 ⇒ x_D = 3; 2 + y_D = 6 ⇒ y_D = 4

• D(3; 4)

Довжина медіани трикутника

Медіана трикутника — це відрізок, що сполучає вершину із серединою протилежної сторони. Щоб знайти її довжину, спочатку обчислюють координати середини сторони (за формулою середини відрізка), а потім — відстань від вершини до цієї середини (за формулою відстані між точками).

Приклад 1. Середина відрізка

Завдання: Дано точки A(−3; 8) і B(5; −2). Знайдіть координати середини відрізка AB.

Розв'язання: За формулою середини відрізка маємо:

$$x=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1,y=\frac{8+(-2)}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Відповідь: (1; 3).

Чому інші варіанти неправильні:

• (4; −5) — це піврізниці координат: ((5 − (−3))/2; (−2 − 8)/2)

• (2; 6) — суми координат без ділення на 2

• (−4; 5) — плутанина порядку координат і знаків

• (1; 5) — правильна абсциса, але ордината обчислена як (8 + 2)/2 = 5 (забули, що −2)

Приклад 2. Відстань між точками

Завдання: Знайдіть відстань між точками A(−2; 3) і B(4; −5). Відповідь запишіть десятковим дробом.

Розв'язання:

• Δx = 4 − (−2) = 6

• Δy = −5 − 3 = −8

• AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10

Відповідь: 10.

Пастка: деякі учні обчислюють Δx = 4 − 2 = 2 і Δy = 3 − 5 = −2 (плутають порядок і не враховують знаки), отримуючи √(4 + 4) = √8 ≈ 2,83. Пам'ятай: віднімай координати в одному порядку: (x₂ − x₁) і (y₂ − y₁).

Приклад 3. Обернена задача на середину

Завдання: Точка M(2; −1) — середина відрізка AB. Відомо, що A(−3; 4). Знайдіть координати точки B.

Розв'язання: Використовуємо формули для знаходження кінця:

$$x_2=2x_0-x_1=2\cdot 2-(-3)=4+3=7$$

$$y_2=2y_0-y_1=2\cdot (-1)-4=-2-4=-6$$

Відповідь: B(7; −6).

Чому інші варіанти неправильні:

• (−0,5; 1,5) — середина відрізка AM, а не кінець B

• (5; −5) — різниця M − A, а не 2M − A

• (−8; 9) — 2A − M замість 2M − A

• (−1; 3) — плутанина в знаках

Приклад 4. Периметр трикутника

Завдання: Вершини трикутника — A(0; 0), B(6; 0), C(3; 4). Знайдіть периметр трикутника. Відповідь запишіть числом.

Розв'язання:

• AB = √((6 − 0)² + (0 − 0)²) = √36 = 6

• AC = √((3 − 0)² + (4 − 0)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

• BC = √((3 − 6)² + (4 − 0)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

• P = AB + AC + BC = 6 + 5 + 5 = 16

Відповідь: 16.

Зверни увагу: трикутник рівнобедрений (AC = BC), тому периметр обчислюється швидко.

Приклад 5. Відстань до початку координат

Завдання: Знайдіть відстань від точки A(−5; 12) до початку координат.

Розв'язання: За теоремою Піфагора:

$$OA=\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$

Відповідь: 13.

Чому інші варіанти неправильні:

• 7 — сума координат: −5 + 12 = 7 (без модуля й кореня)

• 17 — сума модулів координат: 5 + 12 = 17

• 12 — відстань до осі Ox (|y|), а не до початку координат

• 5 — відстань до осі Oy (|x|), а не до початку координат

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час обчислення відстані між точками та координат середини відрізка. Уважність до цих деталей допоможе тобі не втратити бали на НМТ.

• Для середини відрізка віднімають координати замість їх додавання. Правильно: x = (x₁ + x₂)/2, а не (x₂ − x₁)/2. Середина — це середнє арифметичне, тому координати треба додавати.

• У формулі відстані додають координати або не підносять різниці до квадрата. Правильно: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Не плутай з √((x₂ + x₁)² + (y₂ + y₁)²) — це зовсім інша величина.

• Неправильно віднімають від'ємні числа: 4 − (−2) = 2 замість 4 + 2 = 6. Пам'ятай: мінус на мінус дає плюс. Завжди став від'ємну координату в дужки й уважно розкривай їх.

• Забувають добути корінь і записують квадрат відстані. Наприклад, отримавши 100 під коренем, пишуть відповідь 100 замість 10. Корінь квадратний — обов'язковий крок.

• В оберненій задачі ділять навпіл замість подвоювати: B = (M + A)/2 замість B = 2M − A. Щоб перевірити себе, підстав знайдений B у формулу середини — має вийти M.

• Плутають порядок координат (y; x) і вважають відстанню до осі Ox число |x|. Запам'ятай: до осі Ox — |y|, до осі Oy — |x|.

Тема «Координати точки, відстань між точками, середина відрізка» входить до теми «Координати та вектори на площині» розділу «Планіметрія» програми НМТ з математики: «прямокутна система координат на площині, координати точки; формула для обчислення відстані між двома точками та формула для обчислення координат середини відрізка».

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, координати й вектори подано для тривимірного простору: формули середини відрізка, координат і довжини вектора містять три координати (x; y; z). Плоскі формули отримуємо, відкинувши третю координату z. Наприклад, формула відстані між точками в просторі: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). На площині просто не враховуємо z.

Формати завдань

Завдання 1–15 — це завдання з вибором однієї відповіді з п'яти (А–Д). Кожне оцінюється в 0 або 1 бал. Обчислення координат середини відрізка — типова задача в одну дію, яка дає «дешевий» бал для досягнення порогового рівня (5 тестових балів із 32).

Завдання 19–22 — це завдання з короткою відповіддю, 0 або 2 бали без часткових балів. Відповідь записують десятковим дробом. Якщо число від'ємне, знак «мінус» ставлять перед першою цифрою.

Стратегія виконання

Перш ніж обчислювати, познач задані точки на ескізі координатної площини. Це допоможе візуально перевірити, чи лежить твоя відповідь у правильній координатній чверті. Наприклад, якщо обидві точки мають додатні абсциси, то й середина має мати додатну абсцису — якщо отримав від'ємну, перевір обчислення.

• A(x; y): x — абсциса, y — ордината. Першою завжди записують абсцису.

• AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) — формула відстані між двома точками.

• Середина відрізка — півсуми координат кінців: x = (x₁ + x₂)/2, y = (y₁ + y₂)/2.

• Кінець відрізка за серединою: x₂ = 2x₀ − x₁, y₂ = 2y₀ − y₁.

• Відстань до осі Ox — |y|, до осі Oy — |x|, до початку координат — √(x² + y²).

• Центр кола — середина діаметра; діагоналі паралелограма діляться навпіл.