Вектори в просторі: дії, скалярний добуток і кут

У стереометрії вектор — це напрямлений відрізок. Він має початок і кінець, а отже, довжину (модуль) і напрям. У прямокутній системі координат Oxyz кожному вектору можна зіставити три числа — його координати. Якщо задано точки A(x₁; y₁; z₁) та B(x₂; y₂; z₂), то координати вектора $\overrightarrow{AB}$ знаходять за правилом: від координат кінця віднімають координати початку:

$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1).$$

Наприклад, для A(1; -2; 0) і B(3; 0; 1) маємо: $\overrightarrow{AB} = (3-1;\; 0-(-2);\; 1-0) = (2;\; 2;\; 1)$. Модуль (довжина) вектора обчислюється за формулою:

$$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$$

Для нашого вектора $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = (2;\, 2;\, 1)$ отримуємо $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$. Це число дорівнює відстані між точками A і B, тобто довжині відрізка AB.

Два вектори називають рівними, якщо вони мають однакові координати. Це означає, що такі вектори однакової довжини і напрямлені в один бік, навіть якщо їхні початки розташовані в різних точках простору. Вектори, що мають протилежні координати, називаються протилежними: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$. Нульовий вектор позначають $\vec{0}$ і має координати (0; 0; 0); його модуль дорівнює нулю, а напрям не визначений.

Усі формули для векторів у просторі — природне продовження формул для векторів на площині. Якщо на площині вектор задавався двома координатами (x; y), то в просторі додається третя — z. Той самий принцип діє для модуля, додавання, віднімання, множення на число та скалярного добутку: до вже знайомих формул просто дописуємо дію з третьою координатою.

Із векторами в просторі можна виконувати ті самі лінійні дії, що й на площині, — додавання, віднімання та множення на число. Усі операції виконуються покоординатно.

Нехай $\vec{a} = (x_1;\, y_1;\, z_1)$ і $\vec{b} = (x_2;\, y_2;\, z_2)$. Тоді:

• додавання: $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2;\; y_1 + y_2;\; z_1 + z_2)$

• віднімання: $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2;\; y_1 - y_2;\; z_1 - z_2)$

• множення на число k: $k\vec{a} = (k x_1;\; k y_1;\; k z_1)$

Розгляньмо приклад. Нехай $\vec{a} = (1;\, -2;\, 3)$ і $\vec{b} = (2;\, 0;\, -1)$. Тоді:

• $\vec{a} + \vec{b} = (1+2;\; -2+0;\; 3-1) = (3;\; -2;\; 2)$

• $2\vec{a} - \vec{b} = (2\cdot1 - 2;\; 2\cdot(-2) - 0;\; 2\cdot3 - (-1)) = (0;\; -4;\; 7)$

• Модуль отриманого вектора: $|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{65}$

Важливо пам'ятати: модуль суми векторів, як правило, не дорівнює сумі модулів. Наприклад, $|\vec{a} + \vec{b}| \neq |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Це справедливо лише тоді, коли вектори напрямлені в один бік (колінеарні й однаково напрямлені).

Колінеарні вектори

Два ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих (або на одній прямій). У координатах це означає, що їхні координати пропорційні: існує таке число k, що $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$. Іншими словами:

$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}=\frac{z_2}{z_1}=k.$$

Якщо k > 0, вектори однаково напрямлені; якщо k < 0 — протилежно. Наприклад, вектори $\vec{a} = (1;\, -2;\, 3)$ і $\vec{b} = (-2;\, 4;\, -6)$ колінеарні, оскільки $\vec{b} = -2 \cdot \vec{a}$ (k = -2), і вони протилежно напрямлені.

Задачі на параметр для колінеарності належать до профільного рівня програми НМТ. Розв'язують їх так: прирівнюють відношення координат і знаходять невідому величину. Наприклад, для векторів $\vec{a} = (2;\, m;\, -4)$ і $\vec{b} = (-1;\, 3;\, 2)$ з перших координат знаходимо: $2 : (-1) = -2$, отже, k = -2. Тоді $m = -2 \cdot 3 = -6$. Перевіряємо третю координату: $-4 = -2 \cdot 2$ — виконується.

Скалярний добуток векторів — це число (скаляр), а не вектор. Його можна обчислити двома способами, обидва з яких наведено в довідкових матеріалах НМТ.

Перший спосіб — через координати. Для векторів $\vec{a} = (x_1;\, y_1;\, z_1)$ і $\vec{b} = (x_2;\, y_2;\, z_2)$:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2.$$

Другий спосіб — через модулі векторів і кут між ними:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \phi ,$$

де φ — кут між векторами. Зауваж, що $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ — скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

Кут між векторами

Із двох формул для скалярного добутку випливає формула для косинуса кута між векторами:

$$\cos \phi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}.$$

Наприклад, нехай $\vec{a} = (1;\, 0;\, 1)$ і $\vec{b} = (0;\, 1;\, 1)$. Обчислюємо: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1$, $|\vec{a}| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$. Отже, $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$, а тому φ = 60°.

Знак скалярного добутку і вид кута

Знак скалярного добутку безпосередньо вказує на тип кута між векторами:

Умова перпендикулярності: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Вона випливає з другої формули, оскільки cos 90° = 0. Наприклад, знайдемо m, за якого вектори $\vec{a} = (2;\, -1;\, 3)$ і $\vec{b} = (m;\, 4;\, 2)$ перпендикулярні. Складаємо рівняння: $2m + (-1)\cdot4 + 3\cdot2 = 0$, тобто $2m - 4 + 6 = 0$, звідки $2m = -2$, $m = -1$.

Обчислення скалярного добутку через кут

Іноді зручніше використовувати формулу через косинус. Якщо $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, а кут між ними φ = 120°, то $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 120° = 12 \cdot (-\frac12) = -6$. Від'ємне значення підтверджує, що кут тупий.

Приклад 1. Координати вектора за двома точками

Дано точки A(2; -1; 4) і B(-1; 3; 4). Знайди координати вектора $\overrightarrow{AB}$.

Розв'язання. Від координат кінця B віднімаємо координати початку A: $(-1-2;\; 3-(-1);\; 4-4) = (-3;\; 4;\; 0)$.

Відповідь: (-3; 4; 0).

Чому не підходять інші варіанти? (3; -4; 0) отримали б, якби відняли кінець від початку (A - B). (1; 2; 8) — це сума координат, а не різниця. (0,5; 1; 4) — це координати середини відрізка AB. (-3; 4; 8) — помилка в третій координаті (додали замість відняти).

Приклад 2. Параметр перпендикулярності

За якого значення m вектори $\vec{a} = (3;\, m;\, -2)$ і $\vec{b} = (4;\, -2;\, 5)$ перпендикулярні?

Розв'язання. Умова перпендикулярності: скалярний добуток дорівнює нулю. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3\cdot4 + m\cdot(-2) + (-2)\cdot5 = 12 - 2m - 10 = 2 - 2m$. Прирівнюємо до нуля: $2 - 2m = 0$, звідки m = 1.

Відповідь: 1.

Поширені помилки: 6 (забули третю координату і прирівняли $12 - 2m = 0$), -1 (помилка знака при перенесенні).

Приклад 3. Кут між векторами

Знайди кут між векторами $\vec{a} = (1;\, -1;\, 0)$ і $\vec{b} = (0;\, 1;\, -1)$.

Розв'язання. Скалярний добуток: $1\cdot0 + (-1)\cdot1 + 0\cdot(-1) = -1$. Модулі: $|\vec{a}| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$. Косинус кута: $\cos\varphi = \frac{-1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = -\frac12$. Кут, косинус якого дорівнює -½, — це 120°.

Відповідь: 120°.

Типові дистрактори: 60° (ігнорують знак мінус), 90° (неправильно обчислюють добуток), 30°, 150° (плутають значення косинуса).

Приклад 4. Модуль лінійної комбінації

Дано вектори $\vec{a} = (1;\, 2;\, 2)$ і $\vec{b} = (0;\, 1;\, -2)$. Знайди $|2\vec{a} - \vec{b}|$.

Розв'язання. Спочатку виконуємо дії з векторами: $2\vec{a} = (2;\, 4;\, 4)$, $2\vec{a} - \vec{b} = (2-0;\; 4-1;\; 4-(-2)) = (2;\; 3;\; 6)$. Тепер модуль: $|2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.

Відповідь: 7.

Поширені пастки: ≈ 8,49 — це $|2(\vec{a} - \vec{b})|$ (помилкове винесення двійки за дужки перед відніманням); ≈ 3,76 — це $2|\vec{a}| - |\vec{b}| = 6 - \sqrt{5}$ (модуль різниці не дорівнює різниці модулів).

Приклад 5. Параметр колінеарності

За якого значення m вектори $\vec{a} = (2;\, -4;\, m)$ і $\vec{b} = (-1;\, 2;\, 3)$ колінеарні?

Розв'язання. Колінеарні вектори пропорційні: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. З перших координат: $2 = k \cdot (-1) \Rightarrow k = -2$. Друга координата: $-4 = -2 \cdot 2$ — виконується. Третя: $m = -2 \cdot 3 = -6$.

Відповідь: -6.

Дистрактори: 6 (загубили знак k), -1,5 (узяли обернений коефіцієнт, тобто k = -½), 10/3 (розв'язали умову перпендикулярності замість колінеарності), 3.

• Забувають третю координату. У скалярному добутку або модулі вектора в просторі обчислюють лише дві перші координати, ніби вектор лежить на площині. Завжди перевіряй: у формулі $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ і $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ три доданки.

• Плутають порядок віднімання. Координати вектора $\overrightarrow{AB}$ знаходять як «кінець мінус початок», а не навпаки. Запам'ятай: «з чим порівнюємо — те перше»: B мінус A.

• Вважають, що модуль суми чи різниці дорівнює сумі чи різниці модулів. Це хибно: $|\vec{a} + \vec{b}| \neq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ (крім випадку, коли вектори однаково напрямлені). Спочатку виконай додавання, потім бери модуль.

• Плутають умови: перпендикулярність — це $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, а колінеарність — пропорційність координат (або $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ у векторному добутку, який не вивчають на НМТ). Не підставляй умову перпендикулярності туди, де питають про колінеарність, і навпаки.

• У формулі косинуса кута забувають ділити на добуток модулів або гублять знак мінус. Якщо скалярний добуток від'ємний, кут буде тупим (> 90°), а cos φ — від'ємним.

• Вважають скалярний добуток вектором. Скалярний добуток — це число (скаляр), а не вектор. Позначається крапкою: $\vec{a} \cdot \vec{b}$, а результатом є одне число.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання на вектори в просторі (тема 6.3 програми) подано як вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д) під номером 8. Воно оцінюється в 0 або 1 бал.

Програма НМТ з математики (тема 6.3) передбачає такі знання:

• Рівень стандарту: вектор, модуль вектора, колінеарні й рівні вектори, координати вектора, додавання та віднімання векторів, множення вектора на число, скалярний добуток і кут між векторами.

• Профільний рівень (П): формула кута через координати, умови колінеарності та перпендикулярності векторів у координатах.

У довідкових матеріалах, які видають на тестуванні, наведено формули:

• координати та довжина вектора: $\vec{a}(x;y;z),\; |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

• скалярний добуток у координатах: $\vec{a}\cdot\vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

• скалярний добуток через модулі й кут: $\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi$

Із цих формул безпосередньо випливають і кут, і умова перпендикулярності (прирівнювання до нуля). Окремої формули для кута в довідці немає — її треба вивести самостійно: $\cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}$.

У завданнях з короткою відповіддю (номери 19–22, 0 або 2 бали, без часткових балів) можуть попросити знайти значення параметра або модуль вектора. Відповідь записують лише десятковим дробом. Якщо результат від'ємний, знак мінус ставлять перед першою цифрою, без пробілу.

• Координати вектора $\overrightarrow{AB}$: $(x_2 - x_1;\; y_2 - y_1;\; z_2 - z_1)$ — кінець мінус початок.

• Модуль вектора: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

• Додавання, віднімання та множення на число виконуються покоординатно. Спочатку виконуємо дії, потім знаходимо модуль.

• Скалярний добуток: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\varphi$. Результат — число.

• Умова перпендикулярності: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

• Умова колінеарності: координати пропорційні (існує число k, таке що $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$).

• Знак скалярного добутку показує тип кута: додатний — гострий, нуль — прямий, від'ємний — тупий.