Типові завдання НМТ: стереометрія

Многогранники — один із головних об'єктів стереометрії в завданнях НМТ. Тобі потрібно швидко обчислювати об'єм і площу поверхні куба, прямокутного паралелепіпеда, призми й піраміди, а також уміти виражати діагональ грані й діагональ тіла через ребра.

Куб

Куб — це прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні. Позначимо ребро куба буквою a. Тоді:

• діагональ грані (будь-якої квадратної грані): d_гр = a√2;

• діагональ куба (відрізок між двома протилежними вершинами): d_куба = a√3;

• об'єм: V = a³;

• площа повної поверхні: S = 6a².

Приклад із НМТ: якщо діагональ куба дорівнює 6√3, то a√3 = 6√3, звідки a = 6, а V = 6³ = 216. Зверни увагу: діагональ грані a√2 не можна плутати з діагоналлю тіла a√3.

Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має три виміри — довжину a, ширину b і висоту c. Формули:

• квадрат діагоналі: d² = a² + b² + c²;

• об'єм: V = abc.

Наприклад, для вимірів 3, 4 і 12 діагональ дорівнює √(9 + 16 + 144) = √169 = 13. У завданні з акваріумом 50 × 30 × 40 см об'єм води становить 50·30·40 = 60 000 см³ = 60 л (1 літр = 1 000 см³). Це практичне застосування, яке може з'явитися в текстовому завданні.

Пряма призма

Пряма призма — це многогранник, у якого бічні ребра перпендикулярні до площини основи. Основні формули:

Розберемо правильну трикутну призму зі стороною основи 4 і висотою 5. Основа — правильний трикутник, його площа S_осн = (a²√3)/4 = (16√3)/4 = 4√3. Тоді V = 4√3 · 5 = 20√3. Периметр основи P_осн = 3·4 = 12, тому S_біч = 12·5 = 60. Повна поверхня S_повн = 60 + 2·4√3 = 60 + 8√3.

Піраміда

У піраміди об'єм має множник 1/3: V = (S_осн · H)/3. Це найпоширеніша пастка — багато учнів забувають поділити на 3. Для правильної піраміди бічна поверхня S_біч = (P_осн · h_a)/2, де h_a — апофема (висота бічної грані, проведена з вершини піраміди). Не плутай апофему з висотою піраміди H — це різні відрізки!

Повна поверхня піраміди: S_повн = S_біч + S_осн (основа лише одна, на відміну від призми).

Тіла обертання — циліндр, конус і куля — часто з'являються в завданнях НМТ. Головне: чітко розрізняти радіус і діаметр, пам'ятати про множник 1/3 у конуса, і знати, як виглядає осьовий переріз кожного тіла.

Циліндр

Циліндр утворюється обертанням прямокутника навколо його сторони. Основні формули:

• об'єм: V = πR²H;

• бічна поверхня: S_біч = 2πRH;

• повна поверхня: S_повн = 2πR(R + H) [= S_біч + 2·πR²].

Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами 2R (діаметр основи) і H (висота). Якщо в задачі дано діаметр основи, то завжди спочатку знаходи радіус: R = d/2. Наприклад, циліндр з діаметром основи 10 і висотою 4: R = 5, V = π·25·4 = 100π. Типова помилка: підставити 10 замість радіуса й отримати 400π.

Конус

Конус утворюється обертанням прямокутного трикутника навколо катета. Формули:

• об'єм: V = (πR²H)/3 — обов'язково ділимо на 3!

• бічна поверхня: S_біч = πRl, де l — твірна;

• зв'язок твірної, радіуса й висоти: l² = R² + H².

Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою 2R (діаметр основи) і бічними сторонами l (твірна). Саме через цей трикутник знаходять висоту конуса, коли відомі твірна й радіус.

Приклад: твірна конуса 13, діаметр основи 10. Тоді R = 5, H = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12. Об'єм: V = π·25·12/3 = 100π. Якщо забути поділити на 3, вийде 300π — неправильно. А якщо взяти R = 10, то V = π·100·12/3 = 400π — теж помилка.

Куля (сфера)

Куля — це множина точок простору, рівновіддалених від центра. Основні формули:

• об'єм кулі: V = (4πR³)/3;

• площа сфери (поверхні): S = 4πR².

Зміна розмірів

Важливо розуміти, як змінюються об'єм і площа поверхні при зміні лінійних розмірів:

• радіус кулі збільшили вдвічі: об'єм зростає в 2³ = 8 разів, площа поверхні — у 2² = 4 рази;

• висоту конуса збільшили втричі (при незмінному радіусі): об'єм зростає втричі, оскільки V ∼ H.

Більшість стереометричних задач НМТ зводиться до знаходження прямокутного трикутника всередині тіла. Крім того, важливо вміти визначати взаємне розміщення прямих у просторі.

Де шукати прямокутний трикутник

У кожному тілі є «ключовий» прямокутний трикутник, який дає змогу знайти невідому величину через дві відомі:

Наприклад, щоб знайти кут між діагоналлю куба та площиною основи, розглянь трикутник, у якому діагональ куба — гіпотенуза, ребро a — протилежний катет (висота), а діагональ основи a√2 — прилеглий катет. Тоді tg φ = a/(a√2) = 1/√2 = √2/2.

Взаємне розміщення прямих у просторі

Дві прямі в просторі можуть:

• перетинатися — мати одну спільну точку (лежать в одній площині);

• бути паралельними — лежати в одній площині й не мати спільних точок;

• бути мимобіжними — не лежати в одній площині (вони не перетинаються й не паралельні).

Типове завдання НМТ: у кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ визнач взаємне розміщення прямих. Наприклад:

• AB і CC₁ — мимобіжні (AB лежить у нижній основі, CC₁ — бічне ребро, що не перетинає AB);

• AB і C₁D₁ — паралельні (обидві лежать у горизонтальних площинах, спрямовані однаково);

• AB і BC — перетинаються в точці B.

У тілах обертання: вісь циліндра паралельна кожній його твірній; твірна циліндра й діаметр нижньої основи, що не проходить через точку дотику твірної, є мимобіжними.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 8 перевіряє вміння знаходити координати вектора в просторі. Ця тема також охоплює довжину вектора, скалярний добуток, дії з векторами й симетрію точок.

Координати вектора

Якщо дано дві точки A(x₁; y₁; z₁) і B(x₂; y₂; z₂), то вектор AB має координати:

AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁)

Важливо: вектор AB — це «з A до B», тому від координат кінця (B) віднімаємо координати початку (A). Ніколи не роби навпаки!

Приклад: A(1; −2; 4), B(3; 0; −1). Тоді AB = (3 − 1; 0 − (−2); −1 − 4) = (2; 2; −5).

Довжина вектора й скалярний добуток

Довжина (модуль) вектора a(x; y; z): |a| = √(x² + y² + z²).

Скалярний добуток векторів a(x₁; y₁; z₁) і b(x₂; y₂; z₂): a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |a|·|b|·cos φ, де φ — кут між векторами.

Вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює 0.

Дії з векторами

Вектори можна додавати, віднімати й множити на число покоординатно. Приклад: a(1; 0; −2), b(3; −1; 1). Знайдемо 2a − b:

• 2a = (2·1; 2·0; 2·(−2)) = (2; 0; −4);

• 2a − b = (2 − 3; 0 − (−1); −4 − 1) = (−1; 1; −5).

Симетрія точок

Наприклад, точка, симетрична A(2; −3; 5) відносно площини Oxy, має координати (2; −3; −5). Симетрична відносно початку координат: (−2; 3; −5).

Розгляньмо п'ять типових завдань НМТ зі стереометрії — чотири з вибором однієї правильної відповіді й одне з короткою відповіддю.

Приклад 1. Діагональ куба

Завдання: «Діагональ куба дорівнює 6√3. Знайдіть об'єм куба.»

Розв'язання:

1. Формула діагоналі куба: d = a√3. Маємо a√3 = 6√3 → a = 6.

2. Об'єм: V = a³ = 6³ = 216.

Відповідь: 216.

Чому не інші варіанти? 36 — це площа однієї грані (6²), але питали об'єм. 72 — хтось міг поділити 216 на 3, переплутавши з пірамідою. 216√3 — помилка: діагональ містить √3, але об'єм — це куб числа, без кореня. 648 — 6²·18, неправильна операція.

Приклад 2. Об'єм конуса

Завдання: «Твірна конуса 13, діаметр основи 10. Знайдіть об'єм конуса.»

Розв'язання:

1. Радіус: R = 10/2 = 5.

2. Висота з прямокутного трикутника: H = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

3. Об'єм: V = (πR²H)/3 = (π·25·12)/3 = 100π.

Відповідь: 100π.

Типові помилки: 300π — забули поділити на 3; 400π — взяли R = 10 замість 5; 65π — обчислили площу бічної поверхні (π·5·13); 260π — неправильна комбінація.

Приклад 3. Координати середини відрізка

Завдання: «Дано точки A(2; −1; 3) і B(−4; 5; 1). Укажіть координати середини відрізка AB.»

Розв'язання: середина M має координати — півсума відповідних координат кінців:

M = ((2 + (−4))/2; (−1 + 5)/2; (3 + 1)/2) = (−2/2; 4/2; 4/2) = (−1; 2; 2).

Відповідь: (−1; 2; 2).

Дистрактори: (−3; 3; −1) — піврізниця замість півсуми; (−2; 4; 4) — сума (забули поділити на 2); (−6; 6; −2) — вектор AB; (3; −3; 1) — півсума, але взята у зворотному порядку (B + A) з помилкою знака.

Приклад 4. Мимобіжні прямі в кубі

Завдання: «У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ укажіть пряму, мимобіжну з прямою AA₁.»

Розв'язання: AA₁ — бічне ребро, перпендикулярне до площини основи. Пряма BC лежить в основі й не перетинає AA₁, а також не паралельна їй (бо AA₁ вертикальна, а BC горизонтальна). Отже, BC мимобіжна з AA₁.

Відповідь: BC.

Чому не інші? BB₁ і CC₁ — паралельні AA₁ (усі бічні ребра паралельні). AB — перетинає AA₁ в точці A. A₁D₁ — перетинає AA₁ в точці A₁.

Приклад 5. Діагональ паралелепіпеда

Завдання: «Виміри прямокутного паралелепіпеда 3, 4 і 12. Знайдіть довжину його діагоналі.»

Розв'язання:

1. d² = a² + b² + c² = 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144 = 169.

2. d = √169 = 13.

Відповідь: 13 (коротка відповідь, число).

Пастка: діагональ грані 3×4 дорівнює √(9+16) = 5. Якщо зупинитися на цьому, відповідь буде 5 — неправильно, бо питали діагональ усього тіла, а не однієї грані.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні в завданнях зі стереометрії, — і як їх уникнути.

• Забувати множник 1/3 в об'ємі піраміди й конуса. Формули V = S_осн·H/3 (піраміда) і V = πR²H/3 (конус) містять ділення на 3. Завжди перевіряй, чи поділив на 3.

• Підставляти діаметр замість радіуса. У циліндрі, конусі й кулі в формули входить радіус, а не діаметр. Якщо в умові дано діаметр — поділи його на 2.

• Плутати діагональ грані a√2 і діагональ куба a√3. Мнемонічне правило: у куба 3 виміри (довжина, ширина, висота) — діагональ тіла a√3, а грань має 2 виміри — діагональ грані a√2.

• Рахувати повну поверхню без основ. Повна поверхня = бічна поверхня + площа всіх основ. У призми основ дві, у піраміди — одна.

• Вважати прямі, що не перетинаються, паралельними й забувати про мимобіжні. Якщо прямі не перетинаються, вони можуть бути або паралельними (лежать в одній площині), або мимобіжними (не лежать в одній площині).

• Віднімати координати в неправильному порядку. Вектор AB = B − A, а не A − B. Запам'ятай: від кінця віднімаємо початок.

• Плутати апофему з висотою піраміди. Апофема h_a — висота бічної грані (проведена з вершини піраміди до сторони основи). Висота піраміди H — перпендикуляр від вершини до площини основи. Це різні відрізки: апофема лежить у бічній грані, а висота перпендикулярна до основи. У правильній піраміді вони разом із радіусом вписаного в основу кола утворюють прямокутний трикутник.

Розділ «Стереометрія» програми НМТ охоплює теми 6.1 (прямі й площини в просторі), 6.2 (многогранники та тіла обертання) і 6.3 (координати й вектори в просторі).

Структура завдань у демоваріанті 2026

У демоваріанті НМТ-2026 стереометрія представлена трьома завданнями на 4 бали:

За аналізом вибірки тестів 2023–2024 років, розділ «Стереометрія» давав у середньому 3 завдання на тест. З них тема 6.2 (многогранники й тіла обертання) становила приблизно 2,25 завдання, а тема 6.3 (координати й вектори) — близько 0,75 завдання.

Довідкові матеріали

У довідці, яку надають на НМТ, є формули для:

• об'єму й бічної поверхні прямої призми, правильної піраміди, циліндра й конуса;

• об'єму кулі й площі сфери;

• координат вектора в просторі, довжини вектора й скалярного добутку.

Важливо: площа повної поверхні в довідці НЕ наведена — її потрібно обчислювати самостійно як суму бічної поверхні й основ.

Стратегія виконання

Перед тим як обчислювати, зроби на чернетці рисунок тіла, познач усі відомі величини й знайди в ньому прямокутний трикутник. Це допоможе вибрати правильну формулу й уникнути помилок з радіусом і діаметром або пропущеного множника 1/3.

Запам'ятай найважливіші моменти, які допоможуть не втратити бали на НМТ:

• Піраміда й конус — множник 1/3. В об'ємі цих тіл обов'язково ділимо на 3. Це найпоширеніша помилка.

• Радіус — половина діаметра: перевір, що дано. Якщо в умові вказано діаметр — поділи його на 2, перш ніж підставляти в формулу.

• Діагональ грані a√2, діагональ куба a√3. Не плутай ці дві формули: грань — квадрат (2 виміри), куб — тіло (3 виміри).

• Повна поверхня = бічна + основи. У призми основ дві, у піраміди — одна. Формули повної поверхні в довідці немає.

• Прямі в просторі: перетинаються, паралельні або мимобіжні. Якщо прямі не перетинаються, це не обов'язково паралельні — перевір, чи лежать вони в одній площині.

• Вектор AB = B − A. Від координат кінця віднімаємо координати початку, а не навпаки.