Типові завдання НМТ: функції та прогресії

На НМТ читання графіка — один із найпростіших балів, який можна взяти за 1–2 хвилини без жодних обчислень. Тут головне — не переплутати, що відкладають на осях: вісь Ox — це аргумент x, вісь Oy — значення функції f(x).

Значення в точці

Запис f(2) означає: «знайди ординату (y-координату) точки графіка, у якої абсциса x = 2». Просто проводиш уявну вертикальну лінію через x = 2, дивишся, де вона перетинає графік, і читаєш y цієї точки.

Обернене запитання: «При яких x значення функції дорівнює 3?» — це рівняння f(x) = 3. Ти шукаєш абсциси точок перетину графіка з горизонтальною прямою y = 3. Відповідь — одне або кілька чисел на осі Ox.

Запам'ятай просту мнемоніку: «x — це те, що ми питаємо (аргумент), y — те, що отримуємо (значення)». Значення f(2) — це y, а «при яких x f(x) = 3» — це x.

Нулі й проміжки знакосталості

Нулі функції — це точки, у яких графік перетинає вісь Ox (y = 0). Їх записують як x₁, x₂, … . Наприклад, для квадратичної функції, чия парабола перетинає Ox у точках $-3$ і $2$, нулі: $-3$ і $2$.

Знак функції визначають за положенням графіка відносно осі Ox:

• f(x) > 0 там, де графік лежить вище від осі Ox

• f(x) < 0 там, де графік лежить нижче від осі Ox

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 6 пропонує серед ескізів графіків вибрати квадратичну функцію, що набуває лише додатних значень на всій області визначення. Для цього треба вміти читати знак функції за графіком. Наприклад, якщо парабола вітками вгору перетинає Ox у точках $-1$ і $5$, то f(x) > 0 при $x<-1$ або $x>5$.

Монотонність і найбільше значення

Проміжки зростання та спадання завжди записують за x (абсцисами), а не за y. Якщо на графіку видно, що від x = 0 до x = 3 гілка графіка опускається, то проміжок спадання — [0; 3] (або (0; 3), залежно від того, чи включені кінці).

Найбільше значення функції — це ордината (y) найвищої точки графіка. Найменше значення — y найнижчої точки. Коли питають «найбільше значення функції на проміжку», дивись на y найвищої точки в межах цього проміжку.

Порада: уяви, що графік — це траса, ти рухаєшся вздовж осі Ox зліва направо. Якщо траса йде вгору — функція зростає, вниз — спадає. А найвища точка — це найбільше значення (y).

Область визначення: ключові обмеження

Область визначення функції — це множина всіх допустимих значень x, при яких вираз має сенс. На НМТ найчастіше трапляються три обмеження:

• Корінь парного степеня (√) — підкореневий вираз ≥ 0

• Логарифм (log, lg, ln) — аргумент > 0

• Дріб — знаменник ≠ 0

Розгляньмо кілька прикладів.

Функція $y=\sqrt{6-2x}$. Підкореневий вираз має бути невід'ємним: $6-2x\ge 0\Rightarrow -2x\ge -6\Rightarrow x\le 3$. Отже, $D(y)=(-\infty ;3]$.

Функція $y={\log }_2(x^2-9)$. Аргумент логарифма: $x^2-9>0\Rightarrow x^2>9\Rightarrow |x|>3\Rightarrow x<-3$ або $x>3$. Отже, $D(y)=(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$.

Функція $y=\frac{1}{x^2-4x}$. Знаменник: $x^2-4x\ne 0\Rightarrow x(x-4)\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne 4$. Отже, $D(y)=(-\infty ;0)\cup (0;4)\cup (4;+\infty )$.

Комбінований випадок: $y=\frac{\sqrt{x}}{x-1}$. Корінь: $x\ge 0$. Знаменник: $x\ne 1$. Разом: $D(y)=[0;1)\cup (1;+\infty )$.

Парність функції

Функцію називають парною, якщо для всіх x з області визначення виконується $f(-x)=f(x)$. Непарною — якщо $f(-x)=-f(x)$. Перш ніж досліджувати парність, обов'язково перевір, чи область визначення симетрична відносно нуля. Якщо $x=5$ належить області, а $x=-5$ — ні, то функція не може бути ні парною, ні непарною.

Розгляньмо приклади:

За графіком парність теж видно: графік парної функції симетричний відносно осі Oy (наприклад, парабола y = x²), а графік непарної — симетричний відносно початку координат (наприклад, кубічна парабола y = x³).

У задачах на перетворення графіків тобі дають графік базової функції y = f(x) і просять визначити, як з нього отримати графік функції, заданої іншою формулою. Основні перетворення зведено в таблицю нижче.

Найпоширеніша пастка — плутанина зі знаком під час зсуву вздовж Ox. Запам'ятай: «плюс — ліворуч, мінус — праворуч». Якщо в дужках написано x + 3, графік зсувається на 3 одиниці вліво; якщо x − 2 — на 2 вправо.

Розгляньмо конкретні приклади. Графік y = (x − 2)² + 3 — це парабола y = x², зсунута на 2 одиниці вправо і на 3 одиниці вгору. Вершина цієї параболи — точка (2; 3).

Графік y = 2^(x + 1) − 4 — це графік показникової функції y = 2ˣ, зсунутий на 1 одиницю вліво (x + 1) і на 4 одиниці вниз (−4).

Графік y = |f(x)| будується так: частина графіка y = f(x), що лежить вище осі Ox (або на ній), залишається без змін, а частина під віссю Ox дзеркально відбивається вгору.

Область значень після перетворень

Перетворення змінюють не лише вигляд графіка, а й область значень функції. Наприклад, функція y = sin x має область значень [−1; 1]. Застосуємо перетворення:

y = 3 − 2 sin x. Спочатку sin x ∈ [−1; 1]; множимо на −2: −2 sin x ∈ [−2; 2]; додаємо 3: 3 − 2 sin x ∈ [1; 5]. Отже, область значень — [1; 5].

Такі міркування допомагають швидко розв'язувати задачі на відповідність, де потрібно зіставити формулу з графіком або з описом перетворення.

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це послідовність, у якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину — різницю d.

Формула n-го члена: $a_n=a_1+d(n-1)$. Дуже часта помилка — писати $a_1+dn$ замість $a_1+d(n-1)$. Перевір себе: n = 1 має давати a₁.

Ключова формула для різниці за двома відомими членами: $a_m-a_k=(m-k)d$. За нею можна знайти d, навіть якщо a₁ невідомий.

Приклад: a₃ = 8, a₇ = 20. Різниця індексів: 7 − 3 = 4. Отже, 4d = 20 − 8 = 12, звідки d = 3. Знаходимо a₁: a₃ = a₁ + 2·3 = 8 ⇒ a₁ = 2. Сума перших десяти членів: $S_{10}=\frac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=\frac{4+27}{2}\cdot 10=\frac{31}{2}\cdot 10=155$. Або за формулою $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$: a₁₀ = 2 + 9·3 = 29, S₁₀ = (2 + 29)·10/2 = 31·5 = 155.

Геометрична прогресія

Геометрична прогресія — це послідовність, у якій кожен наступний член дорівнює попередньому, помноженому на сталий множник — знаменник q.

Формула n-го члена: $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$. Сума перших n членів (при q ≠ 1): $S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

Приклад: b₂ = 6, b₄ = 54. Маємо: b₄ / b₂ = q² = 54 / 6 = 9. Звідси q² = 9, тому q = 3 або q = −3. Це два різні випадки — обидва треба розглянути. Якщо q = 3, то b₁ = b₂ / q = 6 / 3 = 2. Сума перших чотирьох членів: $S_4=\frac{2(3^4-1)}{3-1}=\frac{2(81-1)}{2}=80$. Якщо q = −3, то b₁ = 6 / (−3) = −2, і S₄ = ... — інша відповідь. Уважно читай умову: іноді в задачі сказано, що прогресія зростає, тоді q > 0, і випадок q = −3 відпадає.

Характеристична властивість

Для трьох послідовних членів арифметичної прогресії виконується: середній член дорівнює середньому арифметичному сусідів: $a_k=\frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$. Для геометричної прогресії: квадрат середнього члена дорівнює добутку сусідів: $b_k^2=b_{k-1}\cdot b_{k+1}$.

Ці властивості використовують для перевірки, чи є три числа прогресією, або для знаходження невідомого члена.

Розбір типових помилок

• Неправильний індекс: у формулі n-го члена пишуть a₁ + dn замість a₁ + d(n − 1) — перевіряй на n = 1.

• Плутають різницю індексів: a₆ − a₂ = 4d, а не 5d.

• У геометричній прогресії з q² = 9 забувають про q = −3.

• Плутають осі під час читання графіка — це вже тема іншого розділу, але нагадаємо.

Приклад 1. Читання графіка (вибір однієї з п'яти)

Умова: функцію y = f(x) задано графіком-ламаною, що проходить через точки (−3; −2), (0; 4), (3; 1), (5; 3). Укажіть проміжок спадання функції.

Розв'язання: проміжок спадання — це проміжок по x, на якому графік «іде вниз» при русі зліва направо. Ламана з'єднує точки в порядку зростання x. Від x = −3 до x = 0 графік іде вгору (зростає). Від x = 0 до x = 3 графік іде вниз (спадає): y зменшується від 4 до 1. Від x = 3 до x = 5 графік знову зростає (y від 1 до 3). Отже, проміжок спадання — [0; 3].

Відповідь: [0; 3]. Дистрактори: [1; 4] — помилка, узяли значення y замість x; [−3; 0] — це проміжок зростання; [3; 5] — теж зростання; [−2; 4] — узяли проміжок за y.

Приклад 2. Область визначення (вибір однієї з п'яти)

Умова: знайдіть область визначення функції $y=\sqrt{x+2}+\lg (5-x)$.

Розв'язання: маємо дві умови. 1) Корінь: $x+2\ge 0\Rightarrow x\ge -2$. 2) Логарифм: $5-x>0\Rightarrow x<5$. Перетин цих умов: $-2\le x<5$.

Відповідь: [−2; 5). Дистрактори: (−2; 5) — забули, що корінь допускає x = −2 (під коренем 0); [−2; 5] — включили x = 5, але при x = 5 логарифм не визначений (lg 0); (−∞; 5) — не врахували корінь; [−2; +∞) — не врахували логарифм.

Приклад 3. Перетворення графіка (відповідність 1–3 → А–Д)

Умова: установіть відповідність між функцією та описом перетворення графіка y = x²:

Розв'язання: 1) y = (x + 3)² — зсув на 3 вліво (x + 3). 2) y = x² − 3 — зсув на 3 вниз. 3) y = −x² — симетрія відносно Ox, парабола перевертається. Ключ: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіант Г — пастка: його вибирають ті, хто плутає напрямок зсуву для (x + 3)².

Приклад 4. Прогресія (коротка відповідь)

Умова: в арифметичній прогресії a₂ = 7, a₆ = 19. Знайдіть суму перших десяти її членів.

Розв'язання: використовуємо формулу $a_m-a_k=(m-k)d$. $a_6-a_2=(6-2)d\Rightarrow 19-7=4d\Rightarrow 12=4d\Rightarrow d=3$. Знаходимо a₁: $a_2=a_1+d\Rightarrow 7=a_1+3\Rightarrow a_1=4$. Знаходимо a₁₀: $a_{10}=a_1+9d=4+27=31$. Сума: $S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{4+31}{2}\cdot 10=\frac{35}{2}\cdot 10=35\cdot 5=175$.

Відповідь: 175. Поширена помилка — рахувати a₆ − a₂ як 5d (n = 6 − 2 = 4 — правильна різниця індексів 4). Тоді d = 12/5 = 2,4 і сума виходить 154 — це неправильно.

• Плутають осі під час читання графіка: записують проміжок монотонності за значеннями y (наприклад, [−2; 4] замість [0; 3]) або найбільше значення називають як x замість y. Правило: проміжки — це x, а значення — це y.

• Зсувають графік y = f(x + 3) вправо замість вліво. Запам'ятай: «x + a → вліво, x − a → вправо». Операція з x у дужках — це зсув уздовж осі Ox у протилежному напрямку до знака.

• Забувають ліву межу області визначення з кореня. Наприклад, для y = √(x + 2) + lg(5 − x) часто пишуть лише x < 5, забуваючи, що x ≥ −2. Завжди перевіряй усі обмеження одночасно.

• Досліджують парність, не перевіривши симетричність області визначення. Якщо область не симетрична відносно нуля (наприклад, [0; +∞) або (−∞; 0) ∪ (1; +∞)), функція автоматично не може бути ні парною, ні непарною.

• У прогресії рахують a₆ − a₂ як 5d замість 4d. Різниця індексів: 6 − 2 = 4. Формула: aₘ − aₖ = (m − k)d.

• У геометричній прогресії з q² = 9 забувають про випадок q = −3. Завжди розглядай обидва знаки, якщо умова не вказує, що прогресія зростає або що всі члени додатні.

У демоваріанті НМТ-2026 з математики тема «Функції» представлена щонайменше двома завданнями:

• № 6 — вибір однієї з п'яти: знак квадратичної функції за ескізом графіка (тема 3.2 програми)

• № 16 — відповідність «функція ↔ властивість» (тема 3.2), оцінюється від 0 до 3 балів

• № 19 — коротка відповідь: значення кусково заданої функції та її похідної (теми 3.2 і 3.3)

За аналізом програми НМТ, тема 3.2 (властивості й графіки функцій) дає приблизно 2 завдання в кожному тесті, а тема 3.1 (прогресії) — здебільшого одне завдання. У демоваріанті 2026 прогресій немає, але у вибірці тестів 2023–2024 прогресія стояла на позиції № 19 у трьох тестах з чотирьох — у формі короткої відповіді, що оцінюється в 0 або 2 бали.

В аналізі програми читання графіків названо серед типових «втрат балів» на простих завданнях. Це означає, що варто приділити увагу саме техніці читання графіка — вона дає швидкий бал без обчислень.

У довідці, яку надають на НМТ, є формули n-го члена й суми арифметичної та геометричної прогресій. А от формул перетворення графіків або властивостей функцій у довідці немає — їх треба знати напам'ять.

• Проміжки монотонності записують за x, а значення функції (найбільше/найменше) — за y.

• f(x − a) — зсув графіка вправо, f(x + a) — вліво («плюс — ліворуч, мінус — праворуч»).

• Парність досліджують лише для симетричної відносно нуля області визначення.

• Область визначення: під коренем парного степеня ≥ 0, під логарифмом > 0, знаменник ≠ 0.

• Різниця арифметичної прогресії: aₘ − aₖ = (m − k)d.

• Геометрична прогресія: q² = 9 дає два випадки — q = 3 і q = −3, не забувай про від'ємний.