Тригонометричні формули з довідки НМТ

У довідкових матеріалах НМТ тригонометрія починається з одиничного кола. Це коло радіуса 1 із центром у початку координат. Точка M(x; y) на цьому колі — це точка, у яку переходить точка (1; 0) після повороту на кут α. Саме з цього означення випливають усі тригонометричні функції.

Означення з довідки: sin α = y (ордината точки M), cos α = x (абсциса точки M), tg α = sin α / cos α. Запам'ятай: синус — це вертикальна координата, косинус — горизонтальна. Звідси легко визначити знаки функцій за чвертями.

У II чверті, наприклад, sin α > 0, cos α < 0, тому tg α = sin α / cos α < 0. Це стане в пригоді, коли доведеться вибирати знак після застосування основної тотожності.

Таблиця значень тригонометричних функцій

У довідці НМТ є таблиця значень sin, cos і tg для восьми кутів: 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), π (180°), 3π/2 (270°), 2π (360°). Ось ці значення:

Зверни увагу: tg 90° і tg 270° не існують, тому що cos 90° = 0 і cos 270° = 0, а ділити на нуль не можна. У довідці на місці тангенса для цих кутів стоїть прочерк або напис «не існує».

Радіани й градуси

У довідці всі кути подано і в градусах, і в радіанах. Співвідношення просте: $180^{\circ }=\pi$ рад. Звідси $1^{\circ }=\pi /180$ рад, а $1$ рад = $180^{\circ }/\pi$. Наприклад, $120^{\circ }=2\pi /3$, $150^{\circ }=5\pi /6$, $210^{\circ }=7\pi /6$. Кутів $120^{\circ }$, $135^{\circ }$, $150^{\circ }$ у таблиці значень немає — їх обчислюють через формули зведення.

Котангенса (ctg α = cos α / sin α) у довідці НМТ немає. Означення котангенса в програмі НМТ позначено як матеріал профільного рівня (П). Якщо котангенс трапиться в завданні, користуйся тим, що ctg α = cos α / sin α.

У довідці НМТ є три основні тригонометричні тотожності, які пов'язують функції одного й того самого аргументу. Розгляньмо їх по черзі.

Основна тригонометрична тотожність

Перша й найважливіша тотожність: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$. Вона випливає з теореми Піфагора для одиничного кола: координати (x; y) точки на колі задовольняють $x^2+y^2=1$, а $x=\cos \alpha$, $y=\sin \alpha$.

Як застосовувати? Якщо відомо, наприклад, $\cos \alpha =-0,6$ і сказано, що кут α лежить у II чверті ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$), то:

• Підставляємо в тотожність: ${\sin }^2\alpha +(-0,6{)}^2=1$

• ${\sin }^2\alpha =1-0,36=0,64$

• $\sin \alpha =\pm \sqrt{0,64}=\pm 0,8$

• У II чверті sin α > 0, тому $\sin \alpha =0,8$.

Довідка не підказує знак — його завжди вибирають за чвертю, у якій лежить кут α.

Тотожність tg α і 1 + tg²α = 1/cos²α

Друга тотожність — це означення тангенса: $\mathrm{tg}\alpha =\sin \alpha /\cos \alpha$. Третя: $1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =1/{\cos }^2\alpha$. Вона теж у довідці.

Приклад: нехай $\mathrm{tg}\alpha =2$ і α — кут I чверті. Тоді $1+2^2=1/{\cos }^2\alpha$, тобто $5=1/{\cos }^2\alpha$, звідки ${\cos }^2\alpha =1/5$. У I чверті cos α > 0, тому $\cos \alpha =1/\sqrt{5}$. Далі $\sin \alpha =\mathrm{tg}\alpha \cdot \cos \alpha =2\cdot 1/\sqrt{5}=2/\sqrt{5}$.

Формули подвійного кута

У довідці є дві формули подвійного кута:

• $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

Приклад 1: $2\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\sin 30^{\circ }=1/2$. Тут ми впізнали ліву частину формули sin 2α.

Приклад 2: якщо $\sin \alpha =0,6$ і $\cos \alpha =-0,8$, то $\sin 2\alpha =2\cdot 0,6\cdot (-0,8)=-0,96$.

Приклад 3: ${\cos }^{2}22,5^{\circ }-{\sin }^{2}22,5^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\sqrt{2}/2$.

Зверни увагу: у довідці подано лише одну формулу для cos 2α — через різницю квадратів. Інші дві форми ($1-2{\sin }^2\alpha$ і $2{\cos }^2\alpha -1$) можна отримати, якщо замінити ${\cos }^2\alpha$ на $1-{\sin }^2\alpha$ або ${\sin }^2\alpha$ на $1-{\cos }^2\alpha$ за допомогою основної тотожності. Їх у довідці немає, але на НМТ вони можуть знадобитися.

У довідці НМТ є шість формул зведення, які дають змогу обчислити тригонометричні функції кутів II чверті (від 90° до 180°) через функції гострого кута. Ось вони:

Зверни увагу: у довідці ці формули записано в градусах. У радіанах вони виглядають так само: $\sin (\pi /2+\alpha )=\cos \alpha$, $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$, $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ тощо.

Як застосовувати: приклади

Кут 135° лежить у II чверті. Його можна звести двома способами:

• За формулою sin(180° − α): $\sin 135^{\circ }=\sin (180^{\circ }-45^{\circ })=\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}/2$.

• За формулою sin(90° + α): $\sin 135^{\circ }=\sin (90^{\circ }+45^{\circ })=\cos 45^{\circ }=\sqrt{2}/2$.

Обидва способи дають однаковий результат — це гарна перевірка.

Кут 120°: $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-1/2$.

Кут 150°: $\mathrm{tg}150^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-30^{\circ })=-\mathrm{tg}30^{\circ }=-\sqrt{3}/3$.

У радіанах: $\cos (5\pi /6)=\cos (\pi -\pi /6)=-\cos (\pi /6)=-\sqrt{3}/2$.

Межі застосування

Формулами зведення з довідки можна скористатися лише для кутів II чверті — від 90° до 180°. Для кутів III чверті (180° – 270°) і IV чверті (270° – 360°) формул у довідці немає. Наприклад, cos 210° або sin 300° за самою довідкою не знайти — для цього потрібно знати додаткові формули зведення напам'ять.

Довідка НМТ з тригонометрії містить лише базові формули. Багато важливих співвідношень у ній відсутні — їх треба знати напам'ять. Розгляньмо, чого саме немає.

Формули додавання

У довідці немає формул додавання:

• $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

• $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

• $\mathrm{tg}(\alpha \pm \beta )=(\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\beta )/(1\mp \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta )$

Хоча програма НМТ (тема 1.3) ці формули вимагає, у довідці їх немає. Без них не обчислити, наприклад, sin 75° = sin(45° + 30°) або cos 15° = cos(45° − 30°).

Формули зведення для інших чвертей

Довідка дає формули зведення лише для 90° + α і 180° − α, тобто для II чверті. А ось чого в ній немає:

• Для 180° + α (III чверть): sin(180° + α) = −sin α, cos(180° + α) = −cos α

• Для 270° ± α (III–IV чверті): sin(270° − α) = −cos α, cos(270° + α) = sin α

• Для 360° − α (IV чверть): sin(360° − α) = −sin α, cos(360° − α) = cos α

• Для від'ємного кута −α: sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α

Наприклад, cos 210° або sin 300° за самою довідкою не знайти. Для цього потрібно або знати відповідні формули зведення напам'ять, або скористатися одиничним колом.

Загальні формули розв'язків рівнянь

У довідці є таблиця значень, але немає загальних формул для розв'язування тригонометричних рівнянь:

• $\sin x=a$: $x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$

• $\cos x=a$: $x=\pm \arccos a+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$

• $\mathrm{tg}x=a$: $x=\mathrm{arctg}a+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$

Також відсутні формули пониження степеня (${\sin }^2\alpha =(1-\cos 2\alpha )/2$, ${\cos }^2\alpha =(1+\cos 2\alpha )/2$) і котангенс. Усе це вивчають напам'ять у юніті «Формули алгебри й тригонометрії, яких немає в довідці НМТ».

Приклад 1. Обчислення виразу з кутами II чверті

Завдання: Обчисліть $2\sin 150^{\circ }+\mathrm{tg}135^{\circ }$.

Розв'язання крок за кроком:

• Кут 150° лежить у II чверті. За формулою зведення sin(180° − α): $\sin 150^{\circ }=\sin (180^{\circ }-30^{\circ })=\sin 30^{\circ }=1/2$.

• Кут 135° лежить у II чверті. За формулою tg(180° − α): $\mathrm{tg}135^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }-45^{\circ })=-\mathrm{tg}45^{\circ }=-1$.

• Підставляємо: $2\cdot 1/2+(-1)=1-1=0$.

Відповідь: 0.

Чому інші варіанти неправильні:

• Варіант 2 — якщо помилково взяти tg 135° = 1 (забути мінус): 2·1/2 + 1 = 2.

• Варіант √3 − 1 — якщо помилково взяти sin 150° = √3/2 (переплутати з sin 60°).

• Варіант −2 — якщо взяти sin 150° = −1/2 (хибний знак: у II чверті синус додатний): 2·(−1/2) + (−1) = −2.

• Варіант 1 — якщо пропустити доданок tg 135° або взяти його рівним 0: 2·1/2 = 1.

Приклад 2. Відповідність виразів і значень

Завдання: Установіть відповідність між виразом (1–3) і його значенням (А–Д).

Вираз 1: ${\cos }^{2}15^{\circ }-{\sin }^{2}15^{\circ }$

Вираз 2: $2\sin 22,5^{\circ }\cos 22,5^{\circ }$

Вираз 3: ${\sin }^2(\pi /7)+{\cos }^2(\pi /7)$

Варіанти значень: А) 1/2; Б) √2/2; В) √3/2; Г) 1; Д) 0.

Розв'язання:

• Вираз 1 — це $\cos 2\cdot 15^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}/2$. Відповідає варіанту В.

• Вираз 2 — це $\sin 2\cdot 22,5^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\sqrt{2}/2$. Відповідає варіанту Б.

• Вираз 3 — це основна тригонометрична тотожність, значення 1. Відповідає варіанту Г.

Відповідь: 1 → В, 2 → Б, 3 → Г.

Приклад 3. Знаходження tg α за cos α і чвертю

Завдання: Відомо, що $\cos \alpha =-5/13$ і $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$. Знайдіть tg α.

Розв'язання крок за кроком:

• Кут α лежить у II чверті, тому sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0.

• За основною тотожністю: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-(5/13{)}^2=1-25/169=144/169$.

• $\sin \alpha =\sqrt{144/169}=12/13$ (беремо +, бо в II чверті sin > 0).

• $\mathrm{tg}\alpha =\sin \alpha /\cos \alpha =(12/13)/(-5/13)=-12/5=-2,4$.

Відповідь: −2,4.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2,4 — забули знак мінус (не врахували, що cos α від'ємний).

• −5/12 — перевернули дріб (обчислили cos α / sin α замість sin α / cos α).

• 12/13 — це значення sin α, а не tg α.

• −12/13 — теж sin α, але з мінусом (хоча sin у II чверті додатний).

Приклад 4. Спрощення виразу з формулами зведення

Завдання: Спростіть $\sin (90^{\circ }+\alpha )+\cos (180^{\circ }-\alpha )$.

Розв'язання крок за кроком:

• За формулою зведення: $\sin (90^{\circ }+\alpha )=\cos \alpha$.

• За формулою зведення: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$.

• Сума: $\cos \alpha +(-\cos \alpha )=0$.

Відповідь: 0.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2cos α — якщо забути мінус у cos(180° − α) і взяти його як cos α.

• −2cos α — якщо помилково взяти sin(90° + α) = −cos α.

• sin α − cos α — якщо переплутати формули зведення.

• 2sin α — якщо неправильно застосувати обидві формули.

• Плутають sin і cos на одиничному колі: sin α — ордината y, cos α — абсциса x. Запам'ятай: синус «вертикальний», косинус «горизонтальний».

• Із sin²α + cos²α = 1 беруть корінь лише зі знаком «+», не дивлячись на чверть. Насправді знак вибирають за чвертю: у II чверті sin > 0, cos < 0; у III чверті обидва від'ємні.

• Гублять мінус у формулах зведення: пишуть cos(180° − α) = cos α замість −cos α. Перевіряй себе за одиничним колом: у II чверті cos від'ємний, тому результат має бути з мінусом.

• tg(90° + α) записують як tg α, хоча в довідці −1/tg α. Це не те саме! Наприклад, для α = 45°: правильно tg 135° = −1/tg 45° = −1, а хибна формула дала б tg 45° = 1 — інший знак.

• Плутають формули подвійного кута: пишуть cos 2α = 2cos α або sin 2α = 2sin α. Насправді cos 2α = cos²α − sin²α, а sin 2α = 2 sin α cos α.

• tg 90° вважають рівним 0 або 1 — у таблиці записано «не існує». cos 90° = 0, а ділити на нуль не можна.

• Шукають у довідці cos(α + β) чи формулу для 270° − α і витрачають час. Цих формул у довідці немає — їх треба знати напам'ять або виводити з одиничного кола.

Означення синуса, косинуса й тангенса числового аргументу, основні співвідношення, формули зведення, формули додавання та наслідки з них — це тема 1.3 програми НМТ з математики. Усі ці питання можуть з'явитися в тесті.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 11 перевіряє вміння знаходити корені найпростішого тригонометричного рівняння на заданому проміжку. Це завдання з вибором однієї відповіді з п'яти, оцінюється в 0 або 1 бал. У довідці є таблиця значень, але загальних формул розв'язків тригонометричних рівнянь немає — їх треба знати напам'ять.

Завдання № 16 демоваріанта — це відповідність «логічні пари» про властивості функцій, серед яких може бути й тригонометрична. Кожна правильна пара дає 1 бал, максимум 3 бали.

Довідка в електронній формі дає одиничне коло, три тотожності (sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α, 1 + tg²α = 1/cos²α), формули подвійного кута (sin 2α і cos 2α), шість формул зведення й таблицю значень для восьми кутів.

Стратегія на тесті

Якщо в завданні трапляється кут II чверті (від 90° до 180°), твоя стратегія:

1. Визнач, чи є цей кут у таблиці значень. Якщо ні (наприклад, 120°, 135°, 150°), перейди до кроку 2.

2. Зведи кут до гострого за формулою 180° − α (або 90° + α) — ці формули є в довідці.

3. Знайди значення тригонометричної функції для гострого кута в таблиці.

4. Постав знак «+» або «−» залежно від чверті: у II чверті sin > 0, cos < 0, tg < 0.

Для кутів III та IV чвертей довідка не допомагає формулами зведення — тут знадобляться знання, вивчені напам'ять.

• На одиничному колі sin α = y, cos α = x, tg α = sin α / cos α.

• Таблиця дає значення для 0, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°; tg 90° і tg 270° не існує.

• Знак після sin²α + cos²α = 1 вибирай за чвертю, у якій лежить кут.

• У довідці sin 2α = 2 sin α cos α і лише одна форма cos 2α = cos²α − sin²α.

• Формули зведення довідки — лише для 90° + α і 180° − α, тобто для кутів II чверті.

• Формули додавання, інші формули зведення й розв'язки рівнянь — напам'ять.