Текстові задачі на спільну роботу

У задачах на спільну роботу ключовим є поняття продуктивності — це обсяг роботи, виконаний за одиницю часу. Уявімо, що ти вже знаєш, як задачі на рух описуються формулою s = v · t. Тут усе дуже схоже: обсяг роботи A дорівнює добутку продуктивності p на час t:

$$A=p\cdot t$$

Звідси легко отримати дві похідні формули:

• продуктивність: p = A : t

• час: t = A : p

Це повна аналогія з формулою шляху: швидкість — це відстань, поділена на час, а продуктивність — це робота, поділена на час.

Коли обсяг роботи не задано

У більшості задач на спільну роботу обсяг роботи не вказано в конкретних одиницях (деталях, літрах, сторінках). У таких випадках усю роботу приймають за 1 (одне ціле). Тоді продуктивність учасника, який виконує всю роботу за t одиниць часу, дорівнює:

$$p=\frac{1}{t}$$

Наприклад, якщо маляр фарбує паркан за 5 год, то за 1 год він фарбує 1/5 паркану. Якщо оператор набирає текст за 8 год, то за 1 год він набирає 1/8 тексту. Якщо кран наповнює басейн за 3 год, то за 1 год він наповнює 1/3 басейну.

Коли обсяг роботи задано

Іноді обсяг роботи вказано в конкретних одиницях: деталях, сторінках, літрах, гектарах. Тоді продуктивність вимірюють у цих самих одиницях за одиницю часу. Наприклад:

• За 8 год робітник виготовляє 120 деталей. Його продуктивність: 120 : 8 = 15 деталей за годину.

• За 6 год трактор оре 18 га поля. Його продуктивність: 18 : 6 = 3 га за годину.

• За 4 год насос викачує 200 л води. Його продуктивність: 200 : 4 = 50 л за годину.

Частина виконаної роботи

Якщо учасник працює не весь час, а лише t годин із продуктивністю p, то виконана частина роботи дорівнює p · t. Наприклад, якщо продуктивність робітника становить 1/12 роботи за годину, то за 3 год він виконає:

$$\frac{1}{12}\cdot 3=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Отже, виконано 1/4 усієї роботи, а лишилося виконати 1 − 1/4 = 3/4 роботи. Це дуже важливо для задач, де роботу виконують етапами — про це йтиметься далі.

Запам'ятай: основна ідея в тому, що продуктивність — це «швидкість» роботи. Якщо ти навчишся правильно її визначати, решта задачі зводиться до простого рівняння.

Коли двоє або більше учасників працюють разом, їхні продуктивності додаються. Це природно: якщо один робітник за годину фарбує 1/4 паркану, а другий — 1/12 паркану, то разом за годину вони пофарбують:

$$p_1+p_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$

Отже, спільна продуктивність — 1/3 паркану за годину. Тоді час, за який вони пофарбують увесь паркан разом:

$$t=\frac{1}{p_1+p_2}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3\text{ год}$$

Ніколи не додавай час роботи учасників! Якщо перший виконує роботу за 4 год, а другий — за 12 год, то разом вони виконають її не за 4 + 12 = 16 год, а набагато швидше — за 3 год. Спільна робота завжди триває менше, ніж робота найшвидшого учасника самотужки (3 год < 4 год).

Як знайти невідомого учасника

Буває, що відомі спільний час і час одного учасника, а час другого треба знайти. Тоді від спільної продуктивності віднімають відому продуктивність:

$$p_2=p_{\text{спільна}}-p_1$$

Приклад: два робітники разом виконують замовлення за 4 год, а перший сам — за 6 год. Спільна продуктивність: 1/4. Продуктивність першого: 1/6. Тоді продуктивність другого:

$$p_2=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{3}{12}-\frac{2}{12}=\frac{1}{12}$$

Отже, другий робітник сам виконає всю роботу за 12 год.

Два невідомі часи: складаємо дробове рівняння

Найскладніший випадок — коли невідомі часи обох учасників, але відоме співвідношення між ними. Наприклад: другий робітник виконує роботу на 3 год довше, ніж перший, а разом вони виконують її за 2 год. Позначимо час першого за x год. Тоді час другого — (x + 3) год. Складаємо рівняння:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}$$

Множимо обидві частини на спільний знаменник 2x(x + 3):

$$2(x+3)+2x=x(x+3)$$

$$2x+6+2x=x^2+3x$$

$$4x+6=x^2+3x$$

$$x^2-x-6=0$$

Розв'язуємо квадратне рівняння: x₁ = 3, x₂ = −2. Від'ємний корінь відкидаємо, бо час не може бути від'ємним. Отже, перший робітник виконує роботу за 3 год, другий — за 3 + 3 = 6 год.

Щоб розв'язувати такі задачі, варто добре відпрацювати техніку складання й розв'язування дробових рівнянь.

Задачі про труби й басейн — це варіація задач на спільну роботу, але з однією важливою особливістю: одна з труб може не наповнювати, а спорожнювати басейн. Її продуктивність беруть зі знаком «мінус».

Одна наповнювальна й одна зливна труба

Нехай наповнювальна труба заповнює порожній басейн за 3 год, а зливна труба спорожнює повний басейн за 5 год. Якщо відкрити обидві труби одночасно, то за 1 год:

$$p=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}$$

Отже, за годину басейн наповнюється на 2/15. Час наповнення порожнього басейну:

$$t=1:\frac{2}{15}=\frac{15}{2}=7,5\text{ год}$$

Найпоширеніша помилка — додати продуктивність зливної труби зі знаком «+», отримавши 1/3 + 1/5 = 8/15, що дало б час 15/8 = 1,875 год. Але це неправильно: зливна труба працює в протилежному напрямку, тому її продуктивність віднімають.

Три труби

Коли труб більше, принцип той самий: продуктивності наповнювальних труб додають, а зливних — віднімають. Наприклад, дві труби наповнюють басейн за 2 год і 3 год відповідно, а третя спорожнює за 6 год. Спільна продуктивність:

$$p=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$

Час наповнення порожнього басейну:

$$t=1:\frac{2}{3}=\frac{3}{2}=1,5\text{ год}$$

Коли басейн не наповниться ніколи

Якщо сумарна продуктивність дорівнює нулю або є від'ємною, басейн не наповниться ніколи. Наприклад, наповнювальна труба заповнює басейн за 4 год, а зливна спорожнює за 4 год. Тоді:

$$p=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$$

Вода надходить і витікає з однаковою швидкістю — рівень не змінюється. Якщо зливна труба спорожнює швидше, ніж наповнювальна наповнює, то сумарна продуктивність від'ємна, і басейн спорожнятиметься, а не наповнюватиметься.

У задачах зазвичай передбачено, що басейн наповниться, тобто сумарна продуктивність додатна. Але розуміти цю логіку варто, щоб не отримати абсурдної відповіді.

У деяких задачах роботу виконують не одночасно, а етапами: спочатку один учасник працює сам, а потім до нього приєднується інший, і вони доробляють решту разом. Тут потрібно вміти обчислювати виконану частину роботи й залишок.

Приклад: спочатку сам, потім разом

Перший робітник може виконати всю роботу за 12 год, другий — за 6 год. Перший працював сам 3 год, а потім до нього приєднався другий, і вони доробили решту разом. Скільки всього часу тривала робота?

Крок 1. Обчислюємо, скільки роботи виконав перший за 3 год. Його продуктивність — 1/12 роботи за годину. За 3 год він виконав:

$$\frac{1}{12}\cdot 3=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Крок 2. Залишилося виконати:

$$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Крок 3. Разом їхня спільна продуктивність:

$$\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=\frac{1}{12}+\frac{2}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Крок 4. Час, за який вони разом дороблять решту:

$$t=\frac{3}{4}:\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\cdot 4=3\text{ год}$$

Крок 5. Загальний час: 3 год (сам) + 3 год (разом) = 6 год.

Частина роботи у відсотках

Іноді в умові сказано: «виконали 40 % замовлення». Це означає, що виконано 0,4 усієї роботи, а лишилося 0,6. Далі розв'язок такий самий: знаходимо продуктивність, множимо на час, обчислюємо залишок.

Уважно читай питання

У відповідь записуй саме те, про що питають. Якщо питають «за скільки годин виконає роботу другий оператор?», відповідь — 15 год, а не 1/15. Якщо питають «скільки годин тривала спільна робота?», відповідь — лише час спільної роботи, а не загальний час. Якщо питають «скільки всього часу тривала робота?», додай час самостійної роботи до часу спільної.

Розгляньмо чотири типові задачі, які можуть трапитися на НМТ. Кожну розв'яжемо покроково.

Приклад 1. Другий оператор

Умова: Два оператори разом виконують замовлення за 6 год, а перший сам — за 10 год. За скільки годин виконає це замовлення другий оператор?

Розв'язання. Спільна продуктивність: 1/6. Продуктивність першого: 1/10. Продуктивність другого:

$$p_2=\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5}{30}-\frac{3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$$

Час другого: t = 1 : (1/15) = 15 год.

Відповідь: 15.

Чому інші відповіді неправильні? 4 (10 − 6) — це різниця часів, але час не віднімають. 16 (10 + 6) — це сума часів, але час не додають.

Приклад 2. Два крани

Умова: Перший кран наповнює бак за 20 хв, другий — за 30 хв. За скільки хвилин наповнять бак обидва крани разом?

Розв'язання. Продуктивність першого: 1/20 бака за хвилину. Продуктивність другого: 1/30 бака за хвилину. Спільна продуктивність:

$$\frac{1}{20}+\frac{1}{30}=\frac{3}{60}+\frac{2}{60}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}$$

Спільний час: t = 1 : (1/12) = 12 хв.

Відповідь: 12.

Розбір дистракторів: 50 — додали час (20 + 30); 25 — середнє арифметичне часів ((20 + 30) : 2); 10 — різниця часів (30 − 20); 60 — спільний знаменник дробів 1/20 і 1/30 (НСК чисел 20 і 30), а не час спільної роботи.

Приклад 3. Труби й басейн

Умова: Труба наповнює басейн за 3 год, а зливна труба спорожнює повний басейн за 12 год. За скільки годин наповниться порожній басейн, якщо відкрити обидві труби?

Розв'язання. Продуктивність наповнювальної труби: 1/3. Продуктивність зливної труби: −1/12. Спільна продуктивність:

$$\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{4}{12}-\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

Час наповнення: t = 1 : (1/4) = 4 год.

Відповідь: 4.

Поширені помилки: 2,4 — отримують, якщо додати продуктивності (1/3 + 1/12 = 5/12, тоді 12/5 = 2,4), але зливну трубу треба віднімати. 9 — різниця часів (12 − 3), але час не віднімають.

Приклад 4. Дві бригади з різницею в часі

Умова: Перша бригада може виконати роботу на 5 днів швидше, ніж друга, а разом вони виконують її за 6 днів. За скільки днів виконає роботу перша бригада, працюючи сама?

Розв'язання. Нехай перша бригада виконує роботу за x днів. Тоді друга — за (x + 5) днів. Складаємо рівняння:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Множимо на 6x(x + 5):

$$6(x+5)+6x=x(x+5)$$

$$6x+30+6x=x^2+5x$$

$$12x+30=x^2+5x$$

$$x^2-7x-30=0$$

Розв'язуємо: x₁ = 10, x₂ = −3. Від'ємний корінь відкидаємо. Отже, перша бригада виконує роботу за 10 днів.

Відповідь: 10.

Пастка: 15 — це час другої бригади (x + 5 = 15), а питали про першу. Уважно читай, яку саме величину просять знайти.

Ось типові помилки в задачах на спільну роботу і як їх уникнути.

• Помилка: додають час роботи замість продуктивностей. Наприклад, якщо один кран наповнює бак за 20 хв, а другий — за 30 хв, то помилково вважають, що разом вони наповнять за 20 + 30 = 50 хв. Насправді продуктивності додаються, а час зменшується: 1/20 + 1/30 = 1/12, тобто 12 хв.

• Помилка: віднімають час замість продуктивності. Якщо разом виконують за 6 год, а перший сам — за 10 год, то помилково обчислюють 10 − 6 = 4 год. Правильно: 1/6 − 1/10 = 1/15, тобто 15 год.

• Помилка: продуктивність зливної труби додають зі знаком «+». Якщо наповнювальна труба — за 3 год, а зливна — за 5 год, то неправильно рахують 1/3 + 1/5 = 8/15. Правильно: 1/3 − 1/5 = 2/15.

• Помилка: у відповідь записують продуктивність замість часу. Знайшли, що продуктивність другого оператора — 1/15, і пишуть у відповідь 1/15. Але питали «за скільки годин», тобто час: 15 год.

• Помилка: множать дробове рівняння на спільний знаменник, але забувають помножити праву частину. Наприклад, у рівнянні 1/x + 1/(x + 3) = 1/2 множать ліву частину на x(x + 3), а праву — ні. Крім того, забувають відкинути від'ємний корінь, який не має змісту.

• Помилка: змішують хвилини й години. Якщо один учасник працює 20 хв, а другий — 2 год, то продуктивності треба виразити в однакових одиницях часу. Переведи все в хвилини або все в години, інакше результат буде неправильним.

Завдання на спільну роботу входять до теми 2.1 програми НМТ з математики. У програмі зазначено вимогу: «застосовувати рівняння, нерівності й системи до текстових задач», а сама тема називається «розв'язування текстових задач за допомогою рівнянь та їх систем».

Формат завдань

Задачі на спільну роботу на НМТ трапляються серед завдань з вибором однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 0 або 1 бал). Тобі пропонують варіанти А–Д, і ти обираєш правильний.

Як записувати відповідь

У завданнях із короткою відповіддю (як-от у тренувальних завданнях до цього уроку) записують лише число — ціле або десятковий дріб. Наприклад, якщо час дорівнює 2,4 год, пиши «2,4», а не «2 год 24 хв». Якщо час — 7,5 год, пиши «7,5». Якщо час — ціле число, наприклад 12, пиши «12».

Довідкові матеріали

Формул спільної роботи в довідкових матеріалах НМТ немає. Тобі доведеться пам'ятати, що вся робота = 1, продуктивність = 1/t, а при спільній роботі продуктивності додаються.

Стратегія розв'язування

На чернетці зручно креслити таблицю «продуктивність — час — робота»:

Після розв'язання обов'язково перевір відповідь за умовою: підстав знайдений час у рівняння й переконайся, що воно виконується.

• Уся робота = 1, продуктивність = 1 : час (якщо обсяг не задано). Якщо обсяг задано, продуктивність = обсяг : час.

• Разом продуктивності додаються: p₁ + p₂. Час спільної роботи: t = 1 : (p₁ + p₂). Час не додають і не усереднюють.

• Невідомий учасник: від спільної продуктивності віднімаємо відому продуктивність: p₂ = p(спільна) − p₁.

• Зливна труба — продуктивність зі знаком «−». Якщо сумарна продуктивність ≤ 0, басейн не наповниться.

• Частина роботи = продуктивність · час. Решта = 1 − виконане (або обсяг − виконаний обсяг).

• У відповідь записуй час, а не продуктивність. Якщо питають «за скільки годин», відповідь — час (наприклад, 15 чи 7,5), а не продуктивність (1/15).

• У дробових рівняннях обов'язково множ на спільний знаменник обидві частини, а не лише ліву. Від'ємні корені відкидай.