Радіанна міра кута й одиничне коло

Досі ти міряв кути в градусах: повний оберт — 360°, прямий кут — 90°. У математиці, особливо в тригонометрії, кути зручніше вимірювати в радіанах. Радіанна міра робить формули природнішими й тісно пов'язує кут із довжиною дуги.

Що таке радіан?

Радіан — це центральний кут кола, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу цього кола. Іншими словами: візьми коло радіуса R; якщо по колу відкласти дугу завдовжки R, то центральний кут, що її стягує, дорівнює одному радіану (1 рад).

Оскільки довжина всього кола дорівнює 2πR, то повний кут (360°) містить 2π радіанів. Звідси головне співвідношення:

$$\pi \text{рад}=180°$$

А отже:

• повний кут: 2π рад = 360°

• прямий кут: π/2 рад = 90°

• один радіан: 1 рад = 180°/π ≈ 57°

Як перевести градуси в радіани

Щоб перевести градуси в радіани, помнож кут у градусах на π/180. Чому? Бо 1° = π/180 рад.

Формула:

$$\alpha \text{рад}=\alpha °\cdot \frac{\pi }{180}$$

Приклади:

• $150°=150\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{150\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}$

• $45°=45\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{45\pi }{180}=\frac{\pi }{4}$

• $240°=240\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{240\pi }{180}=\frac{4\pi }{3}$

• $-30°=-30\cdot \frac{\pi }{180}=-\frac{\pi }{6}$

Як перевести радіани в градуси

Тут діємо навпаки: заміни π на 180° і, якщо потрібно, помнож на 180/π.

Формула:

$$\alpha °=\alpha \text{рад}\cdot \frac{180}{\pi }$$

Приклади:

• $\frac{5\pi }{3}=\frac{5\cdot 180°}{3}=300°$

• $\frac{7\pi }{6}=\frac{7\cdot 180°}{6}=210°$

• $\frac{3\pi }{4}=\frac{3\cdot 180°}{4}=135°$

Основні кути, які варто запам'ятати

У тригонометрії часто трапляються такі відповідності:

Ці кути утворюють «кістяк» одиничного кола, з яким ти працюватимеш далі.

Одиничне коло — це коло з центром у початку координат (0; 0) і радіусом 1. Воно є основою для означення тригонометричних функцій довільного кута.

Як відкладають кут на одиничному колі

Кут починають відкладати від точки (1; 0) — це права крайня точка кола на осі Ox. Звідти:

• додатний кут (α > 0) — рухаємося проти годинникової стрілки;

• від'ємний кут (α < 0) — рухаємося за годинниковою стрілкою.

Кут α задає на колі єдину точку Pα. Її координати — це й будуть косинус і синус цього кута:

$$P_{\alpha }(\cos \alpha ;\sin \alpha )$$

Абсциса точки — косинус кута, ордината — синус кута. Це й є означення синуса й косинуса числового аргументу.

Точки на осях координат

Найпростіші кути дають точки на осях. Їх варто знати напам'ять:

Зверни увагу: cos 0 = 1, sin 0 = 0; cos π/2 = 0, sin π/2 = 1; cos π = −1, sin π = 0; cos 3π/2 = 0, sin 3π/2 = −1.

Періодичність: кути, що відрізняються на повний оберт

Якщо до кута α додати або відняти повний оберт 2π (тобто 360°), то точка на колі не зміниться. Те саме для будь-якої кількості повних обертів 2πk, де k — ціле число:

$$\alpha \text{і}\alpha +2\pi k\text{задають ту саму точку кола}$$

Приклади:

• $390°=360°+30°$ — та сама точка, що й $30°$

• $-\pi /2$ — та сама точка, що й $3\pi /2$ (бо $-\pi /2+2\pi =3\pi /2$)

• $13\pi /6=2\pi +\pi /6$ — та сама точка, що й $\pi /6$

Це властивість називають періодичністю тригонометричних функцій: sin(α + 2πk) = sin α і cos(α + 2πk) = cos α.

Одиничне коло поділяють на чотири чверті (квадранти). Кожна чверть — це проміжок кутів, у межах якого знаки синуса й косинуса не змінюються.

Межі чвертей

Чверті нумерують від I до IV проти годинникової стрілки, починаючи з додатного напрямку осі Ox:

Кути 0, π/2, π, 3π/2 (тобто 0°, 90°, 180°, 270°) лежать на осях координат і не належать жодній чверті.

Від'ємні кути

Від'ємний кут відкладають за годинниковою стрілкою. Щоб визначити його чверть, можна додати 2π (або 360°) і отримати додатний кут, що лежить у тій самій точці кола.

• $-\pi /3$ — додамо $2\pi$: $-\pi /3+2\pi =5\pi /3$ — IV чверть

• $-\pi /2$ — додамо $2\pi$: $-\pi /2+2\pi =3\pi /2$ — на осі, не в чверті

• $-150°$ — додамо $360°$: $-150°+360°=210°$ — III чверть

Кути, більші за 2π

Якщо кут більший за 2π (або 360°), відкинь повні оберти — ціле число разів по 2π — і працюй із залишком.

• $460°=360°+100°$ — залишок $100°$ — II чверть

• $7\pi /3=2\pi +\pi /3$ — залишок $\pi /3$ — I чверть

• $11\pi /6$ — менше за $2\pi$ ($11\pi /6<12\pi /6$), тому нічого не відкидаємо — IV чверть

Кут, заданий числом без π

На НМТ можуть дати кут у радіанах, записаний просто числом: 1, 2, 3, 4, 5, 6 рад. Тут π — це приблизно 3,14, а не 180°. Щоб визначити чверть, порівняй число з половиною π, самим π і півтора π:

Тепер визнач чверть:

• 1 рад — між 0 і 1,57 — I чверть

• 2 рад — між 1,57 і 3,14 — II чверть

• 3 рад — між 1,57 і 3,14 — II чверть

• 4 рад — між 3,14 і 4,71 — III чверть

• 5 рад — між 4,71 і 6,28 — IV чверть

• 6 рад — між 4,71 і 6,28 — IV чверть

Не плутай: 4 рад — це не 4°! 4 рад ≈ 229°, а 4° — це зовсім інший кут. Число без π — це завжди радіани, і порівнювати його треба з наближеними значеннями π/2, π, 3π/2, а не з градусами.

Запам'ятай: π ≈ 3,14 — це число. Рівність «π = 180°» стосується лише мір кутів, а не самого числа π. Тому кут 3 рад ≈ 172°, а кут 3° — це лише 3 градуси.

Розгляньмо чотири типові задачі з НМТ на тему радіанної міри кута й одиничного кола. Кожну розв'яжемо покроково.

Приклад 1. Переведення градусів у радіани

Завдання: Переведіть 150° у радіани.

Варіанти відповіді:

• А) $5\pi /3$

• Б) $5\pi /6$

• В) $6\pi /5$

• Г) $5/6$

• Д) $150\pi$

Розв'язання:

1. Застосовуємо формулу: градуси × π/180.

2. $150°\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{150\pi }{180}$.

3. Скорочуємо дріб: ділимо чисельник і знаменник на 30: $\frac{150\pi }{180}=\frac{5\pi }{6}$.

Відповідь: Б) $5\pi /6$.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) $5\pi /3$ — неправильно скорочено дріб: 150/180 скорочено як 5/3 замість 5/6.

• В) $6\pi /5$ — дріб 5/6 перевернуто: 6/5 замість 5/6.

• Г) $5/6$ — забули π у чисельнику.

• Д) $150\pi$ — просто дописали π до градусів, не поділивши на 180.

Приклад 2. Визначення чверті за кутом у радіанах

Завдання: У якій чверті лежить точка одиничного кола, що відповідає куту $5\pi /3$?

Варіанти відповіді:

• А) I чверть

• Б) II чверть

• В) III чверть

• Г) IV чверть

• Д) на осі Oy

Розв'язання:

1. Переведемо $5\pi /3$ у градуси: $\frac{5\pi }{3}=\frac{5\cdot 180°}{3}=300°$.

2. Кут 300° лежить між 270° і 360°.

3. За таблицею чвертей: 270°–360° — це IV чверть.

Відповідь: Г) IV чверть.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) I чверть — можливо, подумали, що 5π/3 < 2π і тому I чверть, але 5π/3 > 3π/2.

• Б) II чверть — плутанина: 5π/3 ≈ 5·3,14/3 ≈ 5,23, що більше за 4,71 (3π/2).

• В) III чверть — помилка: 5π/3 = 300°, а III чверть — це 180°–270°.

• Д) на осі Oy — на осі Oy лежить точка кута π/2 або 3π/2, а не 5π/3.

Приклад 3. Точка одиничного кола для від'ємного кута

Завдання: Яка точка одиничного кола відповідає куту $-\pi /2$?

Варіанти відповіді:

• А) (0; 1)

• Б) (−1; 0)

• В) (1; 0)

• Г) (0; −1)

• Д) (−1; −1)

Розв'язання:

1. Від'ємний кут відкладаємо за годинниковою стрілкою від точки (1; 0).

2. $-\pi /2$ — це чверть оберту за годинниковою стрілкою. Приходимо в точку (0; −1).

3. Перевірка: додамо $2\pi$: $-\pi /2+2\pi =3\pi /2$, а точка кута $3\pi /2$ — це (0; −1).

Відповідь: Г) (0; −1).

Чому інші варіанти неправильні:

• А) (0; 1) — це точка кута π/2, тобто кут відкладено проти годинникової стрілки, а не за нею.

• Б) (−1; 0) — точка кута π, зовсім інший напрям.

• В) (1; 0) — початкова точка, кут 0.

• Д) (−1; −1) — такої точки на одиничному колі немає (радіус 1, а √((−1)²+(−1)²) = √2 ≠ 1).

Приклад 4. Чверть кута, заданого числом без π

Завдання: У якій чверті лежить кут 4 рад?

Варіанти відповіді:

• А) I чверть

• Б) II чверть

• В) III чверть

• Г) IV чверть

• Д) на осі Ox

Розв'язання:

1. Запам'ятай орієнтири: π/2 ≈ 1,57; π ≈ 3,14; 3π/2 ≈ 4,71; 2π ≈ 6,28.

2. Порівнюємо: 3,14 < 4 < 4,71, тобто π < 4 < 3π/2.

3. Проміжок від π до 3π/2 — це III чверть.

Відповідь: В) III чверть.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) I чверть — сплутали 4 рад з 4° (4° — це I чверть, але 4 рад ≈ 229°).

• Б) II чверть — помилка: 4 > 3,14 (π), тому це вже не II чверть.

• Г) IV чверть — 4 < 4,71 (3π/2), тому це ще не IV чверть.

• Д) на осі Ox — на осі Ox лежать кути 0 і π, а 4 не дорівнює ні 0, ні π.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ під час роботи з радіанною мірою та одиничним колом.

• Кут, записаний числом без π, плутають із градусами: кут 3 рад сприймають як 3°. Насправді π ≈ 3,14 — це число, а π рад = 180° — це співвідношення мір кутів, тому кут 3 рад ≈ 172°.

• Переводячи 150° у радіани, множать на 180/π замість π/180. Запам'ятай: число радіанів приблизно в 57 разів менше за число градусів (180° = π ≈ 3,14), тому множити треба на мале число π/180, а не на 180/π.

• Від'ємний кут відкладають проти годинникової стрілки. Насправді від'ємний кут (α < 0) відкладають за годинниковою стрілкою. Наприклад, −π/2 — це не (0; 1), а (0; −1).

• Плутають координати: точка кута α — це (cos α; sin α), а не (sin α; cos α). Абсциса — косинус, ордината — синус. Запам'ятай: «Косинус — коло, синус — стрілка»: cos — по горизонталі (x), sin — по вертикалі (y).

• Кути π/2, π, 3π/2 відносять до якоїсь чверті. Ці кути лежать на осях координат, тому вони не належать жодній чверті. Чверті — це проміжки між осями.

• Не відкидають повні оберти. Кут 13π/6 більший за 2π (12π/6). Дехто шукає його «після» 2π і помиляється з чвертю. Насправді 13π/6 = 2π + π/6, тому це та сама точка, що й π/6 — I чверть.

Тема «Радіанна міра кута й одиничне коло» входить до двох розділів програми НМТ з математики:

• тема 1.3 — означення синуса, косинуса й тангенса числового аргументу через одиничне коло;

• тема 5.6 — градусні й радіанні міри кутів.

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є означення тригонометричних функцій через одиничне коло й таблиця значень для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π. Якщо кут у завданні задано в градусах, його спершу переводять у радіани, а потім користуються таблицею.

Формат завдань:

• у завданнях № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал;

• одиничне коло потрібне й для тригонометричних рівнянь — у демоваріанті 2026 року це завдання № 11 (корені рівняння на проміжку).

Стратегія виконання:

Схематично намалюй одиничне коло в чернетці й познач на ньому заданий кут. Чверть буде видно одразу. Для кутів, заданих числом без π, підпиши наближені значення π/2 ≈ 1,57, π ≈ 3,14, 3π/2 ≈ 4,71, 2π ≈ 6,28 — це допоможе не помилитися.

• π рад = 180°, 1 рад ≈ 57°

• градуси → радіани: × π/180; радіани → градуси: π замінити на 180°

• точка кута α на одиничному колі — (cos α; sin α)

• додатний напрям — проти годинникової стрілки

• межі чвертей: π/2 ≈ 1,57, π ≈ 3,14, 3π/2 ≈ 4,71, 2π ≈ 6,28

• кути, що відрізняються на 2πk, задають ту саму точку