Практичні задачі на ціни, тарифи й покупки

Уся «магазинна» математика тримається на одній рівності:

Вартість = ціна за одиницю · кількість.

Звідси ціна за одиницю — це вартість, поділена на кількість: гривні за 1 кг, за 1 л, за 1 штуку, за 1 м². Саме її порівнюють, коли вирішують, яка покупка вигідніша. Ціни самих упаковок порівнювати не можна: упаковки різного розміру.

Приклад: пачка макаронів 400 г коштує 38 грн, пачка 500 г — 46 грн, пачка 1 кг — 89 грн. Переводимо в ціну за кілограм (400 г = 0,4 кг, 500 г = 0,5 кг):

Найвигідніша тут найбільша пачка, але так буває не завжди: інколи велика упаковка має вищу ціну за кілограм, і саме на цьому будують пастки в задачах на вибір вигідної покупки.

Одиниці мають бути однакові. Перш ніж ділити, переведи грами в кілограми чи мілілітри в літри: 250 г = 0,25 кг, 750 мл = 0,75 л. Якщо одна ціна вказана за кілограм, а інша — за 100 г, порівнювати їх можна лише після переведення: 18 грн за 100 г — це 180 грн за кілограм.

Другий спосіб — порівняти однакову кількість. Сік продають пакетами по 0,9 л за 54 грн і по 1,5 л за 87 грн. Спільна кількість — 4,5 л: це 5 малих пакетів ($5\cdot 54=270$ грн) або 3 великі ($3\cdot 87=261$ грн). Великі вигідніші. Той самий висновок дає ціна за літр: 60 грн проти 58 грн.

Уважно читай, що саме питають. «Яка упаковка найвигідніша» — це про ціну за одиницю. «Яка найменша сума потрібна, щоб купити 5,4 л» — це вже про комбінацію цілих упаковок, і тут може виграти не найдешевша за літр упаковка, бо зайвий об’єм теж коштує грошей.

Акцію зручно перевести в ефективну знижку: скільки відсотків від звичайної ціни заощаджуєш на повному комплекті.

Ефективна знижка діє лише на повні комплекти. Якщо йогурт коштує 32 грн і діє акція «3 за ціною 2», то за 8 йогуртів рахуємо так: $8=3\cdot 2+2$, тобто два повні комплекти й ще 2 йогурти. Платимо за $2\cdot 2+2=6$ йогуртів: $6\cdot 32=192$ грн. Множити всю вартість на $\frac{2}{3}$ не можна: вийде 170,67 грн, а неповний комплект такої знижки не отримує.

Загальний алгоритм для «$n$ за ціною $m$»: поділи кількість товарів на $n$ з остачею; кількість повних комплектів помнож на $m$ і додай остачу — це кількість товарів, за які платиш.

Умовні знижки. «Знижка 10 % на покупку від 1000 грн» діє лише тоді, коли сума досягла порогу. Звідси парадокс: кошик на 950 грн без знижки дорожчий, ніж кошик на 1010 грн зі знижкою, бо $1010\cdot 0,9=909$ грн. Докупивши товар за 60 грн, покупець заплатить менше.

Знижка у відсотках чи в гривнях. Що вигідніше: «−10 %» чи «−150 грн при покупці від 1500 грн»? Для покупки на 1800 грн перша дає $1800\cdot 0,9=1620$ грн, друга — 1650 грн. Відсоткова знижка зростає разом із сумою, а фіксована — ні. Вони рівні, коли 10 % від суми дорівнюють 150 грн, тобто при сумі 1500 грн; для дорожчих покупок вигідніші відсотки.

Кількість упаковок, рулонів, банок чи автобусів — ціле число, а розрахунок часто дає дріб. Округлюють не за правилами арифметики, а за змістом задачі:

Навіть 7,01 рулону — це 8 рулонів: семи рулонів не вистачить на останній шматок стіни. А на 500 грн не купиш 7 квитків по 72 грн, хоча $500:72\approx 6,94$ — лише 6.

Шпалери. Треба обклеїти стіни загальною площею 38,16 м² (вікно й двері вже віднято). Рулон завдовжки 10 м і завширшки 0,53 м покриває $10\cdot 0,53=5,3$ м². Потрібно $38,16:5,3=7,2$ рулону, тож купуємо 8.

Фарба в кілька шарів. Витрату множать на кількість шарів: стіна 18 м², два шари, 0,15 л на 1 м² за шар — це $18\cdot 2\cdot 0,15=5,4$ л фарби.

Запас. Плитку купують із запасом на підрізання, наприклад 10 %: для підлоги 12 м² потрібно $12\cdot 1,1=13,2$ м². Якщо в пачці 1,44 м², то $13,2:1,44\approx 9,17$, тобто 10 пачок.

Кілька розмірів упаковок. Якщо фарбу продають банками по 2,5 л і по 0,9 л, найменшу суму за потрібні 5,4 л шукають перебором кількох комбінацій: 3 великі банки, 2 великі й 1 мала, 1 велика й 4 малі, 6 малих. Серед них обирають найдешевшу з тих, де фарби не менше за потрібне. Правила округлення цілих чисел і десяткових дробів докладно розібрано в юніті про ділення з остачею й округлення.

Більшість тарифів — мобільний зв’язок, таксі, доставка, прокат — влаштовані однаково: сталий платіж (абонплата, посадка) плюс ціна за кожну одиницю понад те, що вже включено. Тому вартість тарифу рахують за правилом:

Вартість = абонплата + ціна одиниці · (обсяг − пакет), якщо обсяг більший за пакет.

Якщо обсяг не перевищує пакет, платиш лише абонплату. Розглянемо три тарифи мобільного зв’язку:

Для 420 хвилин на місяць: «Старт» — $120+320\cdot 1,5=600$ грн, «Оптимум» — $200+120\cdot 1=320$ грн, «Безліміт» — 350 грн. Найвигідніший «Оптимум». Для 500 хвилин: «Старт» — 720 грн, «Оптимум» — 400 грн, «Безліміт» — 350 грн, і тепер вигідніший «Безліміт».

Межа вигідності. З якого обсягу один тариф стає кращим за інший? Прирівняй вартості: $200+(x-300)\cdot 1=350$, звідки $x=450$ хв. До 450 хвилин вигідніший «Оптимум», понад 450 — «Безліміт», а рівно 450 хвилин коштують однаково.

Так само порівнюють служби таксі. Якщо одна бере 50 грн за посадку й 12 грн за кілометр, а інша — 80 грн і 9 грн, то друга щокілометра економить 3 грн і має «відробити» різницю в посадці, 30 грн. Це станеться за 10 км: на 10 км ціни рівні (170 грн), а від 11 км друга служба дешевша.

Чотири «життєві» задачі — саме такі зазвичай стоять на перших позиціях тесту.

Приклад 1. Який сік вигідніший

Сік продають пакетами по 0,9 л за 54 грн і по 1,5 л за 87 грн. Яка покупка вигідніша?

1. Ціна 1 л у малому пакеті: $54:0,9=60$ грн.

2. Ціна 1 л у великому пакеті: $87:1,5=58$ грн.

3. $58<60$, отже, вигідніший великий пакет.

Відповідь: пакет 1,5 л. Хто порівнює ціни пакетів ($54<87$), обирає малий — це найпоширеніша помилка. А хто ділить навпаки, кількість на ціну ($0,9:54$ і $1,5:87$), отримує літри за гривню: там більше число означає вигідніше, і легко заплутатися в напрямку порівняння.

Приклад 2. Акція «3 за ціною 2»

Йогурт коштує 32 грн, діє акція «3 за ціною 2». Скільки гривень коштують 8 йогуртів?

1. $8=3\cdot 2+2$: два повні комплекти по 3 йогурти й ще 2 йогурти.

2. Платимо за $2\cdot 2+2=6$ йогуртів.

3. $6\cdot 32=192$ грн.

Відповідь: 192 грн. Хибні варіанти: 256 грн (акцію не враховано), $256\cdot \frac{2}{3}\approx 170,67$ грн (знижку третини застосовано й до неповного комплекту), 128 грн (оплачено лише 4 йогурти з двох комплектів, а решту 2 «забули»).

Приклад 3. Скільки рулонів шпалер

Площа стін кімнати без вікна й дверей — 38,16 м². Рулон шпалер завдовжки 10 м має ширину 0,53 м. Скільки рулонів треба купити?

1. Площа одного рулону: $10\cdot 0,53=5,3$ м².

2. Кількість: $38,16:5,3=7,2$.

3. Округлюємо вгору: 8 рулонів.

Відповідь: 8. Відповідь 7 з’являється при звичайному арифметичному округленні: 7 рулонів покриють лише 37,1 м², і частина стіни залишиться голою.

Приклад 4. Найвигідніший тариф

За таблицею тарифів з розділу про тарифи визнач, скільки гривень на місяць заплатить абонент, який розмовляє 420 хв і обирає найвигідніший тариф.

1. «Старт»: $120+(420-100)\cdot 1,5=600$ грн.

2. «Оптимум»: $200+(420-300)\cdot 1=320$ грн.

3. «Безліміт»: 350 грн.

4. Найменша вартість — 320 грн.

Відповідь: 320 грн. Пастка — помножити ціну хвилини на всі 420 хвилин: для «Оптимуму» вийшло б $200+420=620$ грн, і тариф помилково здався б гіршим за «Безліміт». Друга пастка — порівняти лише абонплати й обрати «Старт» як найдешевший.

Типові помилки в практичних задачах на ціни й тарифи:

• Порівняли ціни упаковок, а не ціну за одиницю. Пакет за 54 грн здається дешевшим за пакет за 87 грн. Правильно: поділи ціну на об’єм і порівнюй гривні за літр.

• Округлили кількість упаковок униз. 7,2 рулону записують як 7. Правильно: якщо матеріалу має вистачити, округлюй угору, навіть 7,01 — до 8.

• Застосували акцію до неповного комплекту. За 8 товарів з акцією «3 за ціною 2» платять $\frac{2}{3}$ повної ціни. Правильно: знижку отримують лише повні трійки, решта товарів — за повною ціною.

• Помножили ціну хвилини на весь обсяг. Хвилини в пакеті вже оплачені абонплатою. Правильно: доплачують лише за хвилини понад пакет, тобто за різницю між обсягом і пакетом.

• Змішали одиниці вимірювання. Ціну за 250 г порівнюють з ціною за 1 кг. Правильно: переведи все в одні одиниці, 250 г = 0,25 кг.

• Проігнорували умову акції. Знижку «від 1000 грн» застосовують до кошика на 950 грн. Правильно: спершу перевір, чи виконано умову.

Практичні задачі на ціни, тарифи й покупки належать до теми 1.2 програми («розв’язувати текстові задачі арифметичним способом») і дають одні з найпростіших балів тесту.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–15, 1 бал). На перших позиціях тесту (№ 1–3) зазвичай стоять дані з таблиці чи діаграми й арифметична «життєва» задача: одна-дві дії з числами з таблиці чи тексту — ціни в магазинах, тарифи, кількість упаковок. У демоваріанті НМТ-2026 до теми 1.2 належать завдання 3 (відношення величин) і 7 (текстова задача на відсотки), а завдання 1 — читання стовпчастої діаграми — теж вимагає уважно вибрати потрібні числа. Орієнтир — 1–2 хвилини на завдання.

• Завдання з короткою відповіддю (№ 19–22, 2 бали). У демоваріанті 2026 і розібраних тестах ці позиції займали прогресія чи похідна, комбінаторика, стереометрія й параметр, тож окремої задачі на ціни й тарифи тут не чекай. Якщо ж відповідь — сума чи кількість, у поле вносять лише число десятковим дробом, без «грн»; часткових балів немає.

Як діяти на тесті:

1. Підкресли одиниці вимірювання й переведи їх до однакових.

2. Рахуй ціну за одиницю чи вартість кожного варіанта окремо, у стовпчик на чернетці.

3. Перед округленням спитай себе: «має вистачити» (вгору) чи «скільки можна купити» (вниз)?

4. Перевір умови акцій і пакетів.

Для таких задач довідкові матеріали НМТ не потрібні: формул тут немає, потрібна лише уважність. Саме тому це одні з найдешевших балів — з них варто починати тест, щоб швидко набрати порогові 5 тестових балів з 32 і залишити час на складні завдання.

• Вигідність порівнюй за ціною за одиницю: вартість : кількість в однакових одиницях.

• Акцію «$n$ за ціною $m$» застосовуй лише до повних комплектів: решта товарів — за повною ціною.

• «3 за ціною 2» — це знижка $33,3\%$ на комплект, «друга за півціни» — 25 %.

• Кількість упаковок, яких має вистачити, округлюй угору; кількість того, що можна купити за гроші, — униз.

• Вартість тарифу = абонплата + ціна одиниці · обсяг понад пакет.

• Межу вигідності двох тарифів знаходять, прирівнюючи їхні вартості.

• Перевіряй умови акцій: поріг суми, кількість товарів, одиниці вимірювання.