Порівняння дійсних чисел: дроби, корені й степені

Порівняння дійсних чисел — це вміння визначити, яке з двох чисел більше, менше, або чи вони рівні. Усі правила випливають з одного наочного критерію: на координатній прямій більше число лежить правіше. Якщо ти уявляєш пряму, де ліворуч — від'ємні числа, праворуч — додатні, а посередині нуль, то порівняння стає майже очевидним.

Основні правила порівняння

На координатній прямій: будь-яке додатне число більше за нуль і за будь-яке від'ємне число. Наприклад, $5>0$ і $5>-100$. Від'ємні числа: з двох від'ємних чисел більшим є те, модуль якого менший, тобто те, що розташоване ближче до нуля. Чому? Поглянь на пряму: $-5$ лежить ліворуч від $-3$, отже $-5<-3$. А їхні модулі: $|-5|=5>3=|-3|$.

Приклади: $-0,3>-0,5$, бо $|-0,3|=0,3<0,5=|-0,5|$; $-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$, бо $\sqrt{2}<\sqrt{3}$. Запам'ятай: для від'ємних чисел напрям порівняння модулів протилежний напряму порівняння самих чисел.

Порівняння звичайних дробів

Є кілька зручних способів порівняти дроби, не обчислюючи їхнє десяткове наближення:

• Спільний знаменник — зведи дроби до однакового знаменника й порівняй чисельники: $5/7=50/70>49/70=7/10$.

• Спільний чисельник — якщо чисельники рівні, більшим є дріб з меншим знаменником: $3/7>3/8$.

• Десятковий запис — перетвори дріб у десятковий і порівняй розряди: $4/9=0,\mathrm{444...}<0,45$.

• Проміжне число — знайди число, яке лежить між двома дробами: $5/11<1/2<6/11$, тому $5/11<6/11$.

Особливо елегантним є прийом доповнення до 1. Якщо два дроби менші за 1, то більшим є той, доповнення якого до одиниці менше. Наприклад, $11/12$ і $12/13$: $1-11/12=1/12$, $1-12/13=1/13$. Оскільки $1/12>1/13$, доповнення першого дробу більше, отже сам він менший: $11/12<12/13$.

Від'ємні дроби

Тут працює те саме правило модуля. Порівняй модулі додатних дробів, а потім зміни знак нерівності на протилежний. Наприклад, $5/7>7/10$ (спільний знаменник: $50/70>49/70$). Отже $-5/7<-7/10$. Чим більший модуль від'ємного числа, тим воно менше — воно лежить лівіше на прямій.

Ці правила — основа для впевненого порівняння будь-яких дійсних чисел. Далі ти побачиш, як їх застосовують до коренів і степенів.

Корені — це теж числа, тому всі правила координатної прямої працюють і для них. Але щоб порівняти два корені, не обов'язково обчислювати їхні наближені значення — достатньо скористатися властивістю монотонності.

Порівняння через квадрати

Для невід'ємних чисел $a$ і $b$ справджується ланцюжок рівносильних тверджень:

$$a<b⟺\sqrt{a}<\sqrt{b}⟺a^2<b^2.$$

Це означає, що замість порівняння двох коренів або числа з коренем можна порівняти їхні квадрати. Наприклад: $4=\sqrt{16}>\sqrt{15}$, бо $16>15$. Або $3\sqrt{2}$ і $2\sqrt{5}$: піднеси до квадрата — $(3\sqrt{2}{)}^2=9\cdot 2=18$, $(2\sqrt{5}{)}^2=4\cdot 5=20$. Оскільки $18<20$, маємо $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$.

Важливо: порівнювати квадрати можна лише для невід'ємних чисел! Якщо хоч одне число від'ємне, цей спосіб не працює. Наприклад, $-3<2$, але $(-3{)}^2=9>4=2^2$. Квадрат «з'їдає» знак.

Внесення множника під знак кореня

Цей прийом зручний, коли треба порівняти числа вигляду $a\sqrt{b}$. Внеси множник під корінь: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$. Тоді маєш два квадратні корені й порівнюєш підкореневі вирази. Приклад: $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}$, $3\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{27}$. Оскільки $28>27$, то $2\sqrt{7}>3\sqrt{3}$.

Суми й різниці з коренями

Як порівняти $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ і $\sqrt{2}+\sqrt{6}$? Обидві частини додатні — можна піднести до квадрата:

$$(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15},$$

$$(\sqrt{2}+\sqrt{6}{)}^2=2+2\sqrt{12}+6=8+2\sqrt{12}.$$

Оскільки $2\sqrt{15}>2\sqrt{12}$, перший квадрат більший, отже $\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}$.

Корені різних степенів

Коли показники коренів різні (наприклад, $\sqrt[3]{3}$ і $\sqrt{2}$), зведи їх до кореня одного степеня. Для цього знайди НСК показників і скористайся властивістю: $\sqrt[n]{a}=\sqrt[nk]{a^k}$.

• $\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}$, $\sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}$. Оскільки $9>8$, то $\sqrt[3]{3}>\sqrt{2}$.

• $\sqrt{5}=\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{125}$, $\sqrt[3]{11}=\sqrt[6]{11^2}=\sqrt[6]{121}$. Оскільки $125>121$, то $\sqrt{5}>\sqrt[3]{11}$.

Властивості коренів, які тут використовуються, детально розібрано в юніті «Корінь n-го степеня та його властивості».

Від'ємні числа з коренем

Порівнюючи $-2\sqrt{3}$ і $-3\sqrt{2}$, спершу порівняй додатні частини: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$, $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$. Оскільки $12<18$, то $2\sqrt{3}<3\sqrt{2}$. Тому для від'ємних чисел знак змінюється: $-2\sqrt{3}>-3\sqrt{2}$.

Степені — це компактний запис добутку однакових множників. Порівнювати їх можна кількома способами, залежно від того, які в них основи й показники.

Однакова основа

Якщо основи однакові, то все залежить від того, чи основа $a>1$, чи $0<a<1$:

• Для $a>1$ (наприклад, $2$, $10$, $5/3$): більший показник дає більше число. $2^{50}>2^{48}$.

• Для $0<a<1$ (наприклад, $0,5$, $2/3$, $0,1$): більший показник дає менше число, бо основа менша за 1 і кожне множення зменшує результат. $0,5^3=0,125<0,25=0,5^2$.

Зведення до однієї основи

Коли основи різні, але є степенем одного числа (наприклад, $4$ і $8$ — це степені двійки), зведи їх до спільної основи:

• $4^{15}=(2^2{)}^{15}=2^{30}$, $8^9=(2^3{)}^9=2^{27}$. Маємо $2^{30}>2^{27}$, отже $4^{15}>8^9$.

• $27^4=(3^3{)}^4=3^{12}$, $9^5=(3^2{)}^5=3^{10}$. $3^{12}>3^{10}$, отже $27^4>9^5$.

Зведення до одного показника

Якщо основи різні й не зводяться до спільної, спробуй зробити однаковими показники. Наприклад, порівняй $2^{30}$ і $3^{20}$. Показники 30 і 20 мають спільний дільник 10:

$$2^{30}=(2^3{)}^{10}=8^{10},3^{20}=(3^2{)}^{10}=9^{10}.$$

Оскільки $8<9$, то $8^{10}<9^{10}$, отже $2^{30}<3^{20}$. Зверни увагу: хоч $30>20$, число $2^{30}$ виявилося меншим! Не дай себе обдурити — показники без урахування основ нічого не значать.

Від'ємна основа й дробові степені

Коли основа від'ємна, знак результату визначає парність показника:

• $(-2{)}^5=-32<0$ — непарний показник дає від'ємне число.

• $(-3{)}^4=81>0$ — парний показник дає додатне число.

• Отже, $(-2{)}^5<0<(-3{)}^4$.

Дробова основа з від'ємним показником — це теж степінь: $0,5^{-3}=(1/2{)}^{-3}=2^3=8$. Тут варто пам'ятати властивість $a^{-n}=1/a^n$ з юніта «Степінь з цілим показником і його властивості».

На НМТ може знадобитися не просто порівняти два числа, а визначити, між якими цілими числами лежить корінь, або вказати точку координатної прямої, що йому відповідає.

Як оцінити квадратний корінь

Квадратний корінь $\sqrt{n}$ (для $n>0$, що не є точним квадратом) лежить між двома послідовними цілими числами $k$ і $k+1$, якщо $k^2<n<(k+1{)}^2$. Наприклад, $5^2=25<30<36=6^2$, тому $5<\sqrt{30}<6$. Можна уточнити: $5,5^2=30,25>30$, отже $\sqrt{30}<5,5$.

У довідкових матеріалах НМТ є таблиця квадратів чисел від 10 до 49. Нею зручно користуватися для чисел до $49^2=2401$:

• $22^2=484<500<529=23^2$, тож $22<\sqrt{500}<23$.

• $31^2=961<1000<1024=32^2$, тож $31<\sqrt{1000}<32$.

Для невеликих чисел (до 100) достатньо пам'ятати квадрати чисел від 1 до 10: $1,4,9,16,25,36,49,64,81,100$.

Положення на координатній прямій

Щоб визначити, між якими цілими лежить число, діємо за схемою:

• $\sqrt{30}$ — між 5 і 6, бо $5^2<30<6^2$.

• $-\sqrt{10}$ — між $-4$ і $-3$, бо $3^2=9<10<16=4^2$, а зі знаком мінус число лежить симетрично ліворуч від нуля.

• $2\sqrt{7}=\sqrt{28}$ — між 5 і 6, бо $5^2=25<28<36=6^2$.

• $\sqrt[3]{30}$ — між 3 і 4, бо $3^3=27<30<64=4^3$.

Упорядкування кількох чисел

Коли треба впорядкувати числа різного вигляду ($\sqrt{30}$, $2\pi$, $3\sqrt{3}$, $11/2$), дій у два кроки:

1. Грубо оціни кожне число до десятих: $\sqrt{30}\approx 5,48$, $2\pi \approx 6,28$, $3\sqrt{3}=\sqrt{27}\approx 5,2$, $11/2=5,5$.

2. Близькі числа порівняй точно — через квадрати або спільний знаменник. Наприклад, $\sqrt{30}$ і $11/2$: $(\sqrt{30}{)}^2=30$, $(11/2{)}^2=121/4=30,25$. Оскільки $30<30,25$, то $\sqrt{30}<11/2$.

Розгляньмо типові завдання НМТ на порівняння дійсних чисел. Кожен приклад містить покрокове розв'язання й пояснення, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Яке з чисел найбільше?

Варіанти: $\sqrt{30}$, $5,4$, $2\sqrt{7}$, $3\sqrt{3}$, $11/2$.

Розв'язання. Піднеси кожне число до квадрата (усі додатні):

Найбільший квадрат — $30,25$, отже найбільше число — $11/2$.

Чому інші неправильні? $\sqrt{30}\approx 5,48$ — здається великим «на око», але $11/2=5,5$ трішки більше. $5,4$ і $3\sqrt{3}\approx 5,2$ менші. $2\sqrt{7}\approx 5,29$ теж менше.

Приклад 2. Якій точці координатної прямої відповідає число $\sqrt{30}$?

На прямій позначено точки в проміжках: між 2 і 3, між 4 і 5, між 5 і 6, між 6 і 7, між 15 і 16.

Розв'язання. Визначаємо сусідні точні квадрати: $5^2=25<30<36=6^2$. Отже $5<\sqrt{30}<6$. Правильний проміжок — між 5 і 6.

Пастки: проміжок між 4 і 5 (учень помилково порівнює з $4^2=16$ і $5^2=25$, не помічаючи, що $30>25$); проміжок між 15 і 16 (число 30 плутають із $30/2=15$, не співвідносячи з квадратами).

Приклад 3. Установіть відповідність між числом і проміжком

Числа: 1) $\sqrt{500}$; 2) $-\sqrt{10}$; 3) $2\sqrt{7}$. Проміжки: А) $(-4;-3)$; Б) $(-3;-2)$; В) $(5;6)$; Г) $(22;23)$; Д) $(23;24)$.

Розв'язання.

• Для $\sqrt{500}$: за таблицею квадратів $22^2=484<500<529=23^2$, отже $22<\sqrt{500}<23$ — проміжок Г.

• Для $-\sqrt{10}$: $3^2=9<10<16=4^2$, тому $3<\sqrt{10}<4$, а $-4<-\sqrt{10}<-3$ — проміжок А.

• Для $2\sqrt{7}=\sqrt{28}$: $5^2=25<28<36=6^2$, тому $5<2\sqrt{7}<6$ — проміжок В.

Відповідь: 1 — Г, 2 — А, 3 — В. Пастки: проміжок Б ($-3;-2$) — для $-\sqrt{10}$ його могла би обрати людина, яка неточно оцінила $\sqrt{10}\approx 3,16$ і подумала «десь між 2 і 3»; проміжок Д ($23;24$) — для $\sqrt{500}$ його обирають, помилково взявши $23^2$ за верхню межу, не помітивши, що $500<529$.

Приклад 4. Укажіть правильну нерівність

Варіанти:

• $\sqrt[3]{3}>\sqrt{2}$

• $2^{30}>3^{20}$

• $3\sqrt{2}>2\sqrt{5}$

• $-\sqrt{2}<-\sqrt{3}$

• $4/9>0,45$

Розв'язання. Перевіряємо кожну:

• $\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}$ — правильна нерівність.

• $2^{30}=8^{10}<9^{10}=3^{20}$ — насправді $2^{30}<3^{20}$, тому твердження хибне.

• $3\sqrt{2}=\sqrt{18}<\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ — насправді $3\sqrt{2}<2\sqrt{5}$, твердження хибне.

• $-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$ — бо $\sqrt{2}<\sqrt{3}$, а для від'ємних чисел напрям змінюється. Твердження $-\sqrt{2}<-\sqrt{3}$ хибне.

• $4/9=0,\mathrm{444...}<0,45$, тому твердження хибне.

Відповідь: правильна нерівність — $\sqrt[3]{3}>\sqrt{2}$.

Приклад 5. Розташуйте в порядку зростання числа $a=4^{15}$, $b=8^9$, $c=16^7$

Розв'язання. Зведемо всі числа до основи 2:

$$a=4^{15}=(2^2{)}^{15}=2^{30},b=8^9=(2^3{)}^9=2^{27},c=16^7=(2^4{)}^7=2^{28}.$$

Оскільки основа $2>1$, більший показник означає більше число. Тому $2^{27}<2^{28}<2^{30}$, отже $b<c<a$.

Пастка: упорядкувати числа за показниками 7, 9, 15 ($c<b<a$). Це помилка, бо показники $15$, $9$, $7$ стоять при різних основах і їх не можна порівнювати безпосередньо. Потрібно звести до спільної основи.

Навіть добре підготовлені учні роблять на НМТ помилки в порівнянні чисел — найчастіше через поспіх або механічне перенесення правил з однієї ситуації на іншу.

• Порівнюють від'ємні числа як додатні. Помилка: $-\sqrt{3}>-\sqrt{2}$, «бо $\sqrt{3}>\sqrt{2}$». Правильно: $-\sqrt{3}<-\sqrt{2}$, бо модуль $-\sqrt{3}$ більший, а з двох від'ємних чисел менше те, чий модуль більший.

• Порівнюють корені різних степенів за підкореневими числами. Помилка: $\sqrt[3]{5}>\sqrt{3}$, «бо $5>3$». Правильно: $\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{25}<\sqrt[6]{27}=\sqrt{3}$ — потрібно зводити до кореня одного степеня.

• Підносять до квадрата числа різних знаків. Помилка: з $-3<2$ роблять висновок $9<4$. Порівнювати квадрати можна лише для невід'ємних чисел — квадрат «втрачає» знак.

• Порівнюють степені з різними основами за показниками. Помилка: $2^{30}>3^{20}$, «бо $30>20$». Правильно: зведи до одного показника — $2^{30}=8^{10}$, $3^{20}=9^{10}$, і тоді $8^{10}<9^{10}$.

• Помиляються із сусідніми квадратами. Помилка: $\sqrt{30}$ «між 4 і 5» (бо $4^2=16$, $5^2=25$, але $30>25$!) або «приблизно 15» (плутають корінь з діленням на 2). Правильно: $5^2=25<30<36=6^2$, отже $5<\sqrt{30}<6$.

• Вважають, що для основи між 0 і 1 більший показник дає більше число. Помилка: $0,5^3>0,5^2$. Насправді $0,5^3=0,125<0,25=0,5^2$, бо множення на число, менше за 1, зменшує результат.

• Порівнюють дроби за знаменником. Помилка: $3/8>3/7$, «бо $8>7$». Правильно: з однаковими чисельниками більший той дріб, знаменник якого менший: $3/7>3/8$.

Запам'ятай ці пастки — і на тесті не потрапиш у них!

Порівняння дійсних чисел входить до теми 1.1 програми НМТ з математики («Правила порівняння дійсних чисел», «Порівнювати дійсні числа й виконувати з ними дії»). На тесті це вміння можуть перевіряти у двох форматах.

Формат 1: вибір однієї відповіді з п'яти

Завдання 1–15 тесту — це завдання з вибором однієї правильної відповіді з п'яти (А–Д). За кожне нараховують 0 або 1 бал. Типові формулювання: «Яке з чисел найбільше?», «Якій точці координатної прямої відповідає число?», «Укажіть правильну нерівність».

Формат 2: відповідність («логічні пари»)

Завдання 16–18 — це встановлення відповідності. Дають три позиції (1, 2, 3) і п'ять варіантів (А–Д), з яких дві літери зайві. Завдання оцінюють у 0–3 бали — по 1 балу за кожну правильно встановлену пару. Наприклад, потрібно вказати, якому проміжку належить кожне число.

Довідкові матеріали

На тесті тобі нададуть таблицю квадратів чисел від 10 до 49. Нею можна оцінювати корені з чисел до $49^2=2401$. Правил порівняння дробів, коренів або степенів у довідці немає — їх треба знати.

Стратегія на тесті

• Спочатку грубо оціни кожне число до десятих — це допоможе відкинути явно неправильні варіанти.

• Точне порівняння (через квадрати, спільний показник або спільний знаменник) залиш для близьких чисел, які не вдалося розрізнити на око.

• На весь тест із математики (22 завдання) відведено орієнтовно 60 хвилин, тому на одне завдання витрачай не більше 2–3 хвилин.

• На координатній прямій більше число лежить правіше. Будь-яке додатне число більше за нуль і за будь-яке від'ємне.

• З двох від'ємних чисел більше те, модуль якого менший: $-0,3>-0,5$, $-\sqrt{2}>-\sqrt{3}$.

• Дроби порівнюй через спільний знаменник, спільний чисельник, десятковий запис або проміжне число. Для дробів, менших за 1, зручне доповнення до 1.

• Невід'ємні числа порівнюй через квадрати: $3\sqrt{2}=\sqrt{18}<\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

• Корені різних степенів зводь до кореня одного степеня (НСК показників): $\sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{9}>\sqrt[6]{8}=\sqrt{2}$.

• Степені зводь до однієї основи або одного показника: $2^{30}=8^{10}<9^{10}=3^{20}$.

• $\sqrt{n}$ лежить між $k$ і $k+1$, якщо $k^2<n<(k+1{)}^2$. Таблиця квадратів чисел від 10 до 49 є в довідкових матеріалах НМТ.

• Для впорядкування кількох чисел спершу грубо оціни кожне (до десятих), потім близькі числа порівняй точно.