Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9 і 10

Почнемо з головного поняття. Кажуть, що натуральне число a ділиться на натуральне число b, якщо існує таке натуральне число k, що a = b · k. Тоді b називають дільником числа a, а a — кратним числа b. Наприклад, 36 ділиться на 4, бо 36 = 4 · 9; отже, 4 — дільник 36, а 36 — кратне 4.

Ознака подільності — це правило, яке дає змогу відповісти, чи ділиться число на заданий дільник, не виконуючи самого ділення. Для чисел 2, 5 і 10 достатньо подивитися на останню цифру.

Чому працює остання цифра

Будь-яке натуральне число можна записати як суму десятків і одиниць: число = 10 · (кількість десятків) + остання цифра. Число 10 ділиться і на 2, і на 5, і на 10. Тому подільність усього числа залежить лише від останньої цифри — адже частина, кратна 10, уже ділиться на 2, 5 і 10.

Розгляньмо число 3 758. Запишемо його як 3 750 + 8. Тут 3 750 ділиться на 10, отже, ділиться і на 2, і на 5. Остання цифра 8 — парна, тому 3 758 ділиться на 2. Але 8 не ділиться на 5, тому 3 758 на 5 не ділиться.

Ознаки подільності

Числа, які діляться на 2, називають парними. Решту натуральних чисел називають непарними. Отже, парні числа закінчуються на 0, 2, 4, 6 або 8.

Зверни увагу: число ділиться на 10 тоді й лише тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 5. Перевір: 1 250 ділиться на 2, на 5 і на 10; 1 255 ділиться лише на 5; 1 254 ділиться лише на 2.

Для чисел 3 і 9 ознака подільності зовсім інша — вона пов'язана не з останньою цифрою, а із сумою всіх цифр числа.

Формулювання ознак

Число 7 452 має суму цифр 18, яка ділиться і на 3, і на 9. Тому 7 452 ділиться і на 3, і на 9. Число 3 612 має суму 12 — вона ділиться на 3, але не на 9. Отже, 3 612 ділиться на 3, але не на 9.

Чому це працює

Розгляньмо десятковий запис числа. Кожен степінь 10 можна подати як 9 + 1, 99 + 1, 999 + 1 і так далі: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1 000 = 999 + 1. Числа 9, 99, 999, … діляться на 9 (а отже, і на 3). Тому різниця між числом і сумою його цифр завжди кратна 9. Звідси число й сума його цифр дають однакову остачу при діленні на 3 і на 9.

Важливе розрізнення

Кожне число, кратне 9, обов'язково ділиться на 3. Але не навпаки! Наприклад, числа 21, 33, 111 діляться на 3, а на 9 — ні. Перевір суми цифр: 2 + 1 = 3 (ділиться на 3, але не на 9), 3 + 3 = 6, 1 + 1 + 1 = 3.

Якщо сума цифр вийшла великою, її цифри можна скласти ще раз. Наприклад, для числа 99 999 сума цифр 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45. 45 ділиться на 9 (4 + 5 = 9), тому 99 999 ділиться на 9.

Не плутай: остання цифра нічого не каже про подільність на 3 і 9! Число 43 закінчується на 3, але 4 + 3 = 7 — на 3 не ділиться. Число 72 закінчується на 2, але 7 + 2 = 9 — ділиться і на 3, і на 9.

Окремої ознаки подільності на 6, 15, 18 чи 45 не існує. Але ці числа є добутками взаємно простих множників, для яких ознаки вже відомі. Тому перевіряють обидві ознаки одночасно.

Комбінації для складених дільників

Множники мають бути взаємно простими. Наприклад, 24 ділиться на 3 і на 6, але не на 18, бо 18 = 2 · 9, а 24 не ділиться на 9. Якби ми перевіряли 3 і 6, то помилково вирішили б, що 24 ділиться на 18.

Алгоритм пропущеної цифри

У завданнях на подільність можуть дати запис числа з пропущеною цифрою, позначеною *, і запитати, які цифри можна поставити замість *, щоб число ділилося на задане число.

Алгоритм:

1. Запиши суму відомих цифр плюс *.

2. Перебери * від 0 до 9 і випиши всі цифри, за яких виконується ознака подільності.

3. Якщо є дві умови (наприклад, на 6), спершу перевір умову на останню цифру, потім — на суму цифр.

4. Найбільшу чи найменшу цифру вибирай лише після того, як виписано всі можливі.

Приклади

Приклад 1. Число 4*52 ділиться на 9. Сума відомих цифр: 4 + 5 + 2 = 11. Маємо 11 + *. Щоб сума ділилася на 9, * може бути лише 7 (11 + 7 = 18). Отже, число 4 752 ділиться на 9. Якби ми перевіряли подільність на 3, то підійшли б цифри 1, 4 і 7 (суми 12, 15, 18).

Приклад 2. Число 7*5 ділиться на 15. Оскільки 15 = 3 · 5, спершу перевіряємо останню цифру: вона вже 5, тому умова на 5 виконана. Тепер сума цифр: 7 + 5 + * = 12 + * має ділитися на 3. Перебір: * = 0 (12), 3 (15), 6 (18), 9 (21). Усі чотири цифри підходять: 705, 735, 765, 795.

Цифра 0 теж підходить, якщо вона не стоїть на першому місці числа. У числі 7*5 нуль стоїть у середині — це дозволено.

Ознаки подільності можна застосовувати не лише до окремих чисел, а й до сум, різниць і добутків. Це дає змогу робити висновки без обчислення результату.

Подільність суми та різниці

Правило 1. Якщо кожен доданок ділиться на m, то сума (і різниця) цих доданків теж ділиться на m.

Приклад: 999 + 459. 999 ділиться на 9 (9 + 9 + 9 = 27), 459 ділиться на 9 (4 + 5 + 9 = 18). Отже, сума 999 + 459 ділиться на 9, і ми навіть не обчислювали її.

Правило 2. Якщо один доданок ділиться на m, а другий не ділиться, то сума на m не ділиться.

Приклад: 900 + 93. 900 ділиться на 9, а 93 — ні (9 + 3 = 12). Тому 900 + 93 на 9 не ділиться.

Правило 3. Якщо жоден доданок не ділиться на m, сума може ділитися, а може й ні. Тоді треба обчислити суму або суму цифр.

Приклад: 11 + 13 = 24. Жодне з чисел 11 і 13 не ділиться на 3, але їхня сума 24 ділиться на 3. Тому не можна робити висновок «жоден не ділиться — значить, сума не ділиться».

Подільність добутку

Правило. Добуток ділиться на m, якщо хоча б один множник ділиться на m.

Приклад 1: 27 · 14. 27 ділиться на 9, 14 ділиться на 2. Отже, добуток ділиться і на 9, і на 2, а значить, і на 18.

Приклад 2: 5 · 12. Жоден множник окремо не ділиться на 10 (5 не ділиться на 10, 12 не ділиться на 10). Але 5 · 12 = 60, яке ділиться на 10. Чому? Бо 5 дає множник 5, а 12 дає множник 2 (12 = 2 · 6), і разом 5 · 2 = 10. Отже, добуток ділиться на 10, хоча жоден множник на 10 не ділиться. Це важливий нюанс: правило «хоча б один множник ділиться» достатнє, але не необхідне.

Застосування на НМТ

У завданнях можуть дати таблицю з числами або умову й запитати, чи ділиться сума на 3 або на 9. Не обчислюй усю суму — перевір подільність кожного доданка окремо. Якщо всі доданки кратні m, то й сума кратна m.

Розв'яжемо кілька типових завдань НМТ на ознаки подільності. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язком і поясненням, чому інші варіанти неправильні.

Приклад 1. Укажіть число, яке ділиться на 9

Варіанти: А) 1 239; Б) 3 612; В) 7 452; Г) 9 091; Д) 2 730.

Розв'язок. Обчислюємо суми цифр:

• 1 239: 1 + 2 + 3 + 9 = 15 — ділиться на 3, але не на 9.

• 3 612: 3 + 6 + 1 + 2 = 12 — ділиться на 3, але не на 9.

• 7 452: 7 + 4 + 5 + 2 = 18 — ділиться на 9.

• 9 091: 9 + 0 + 9 + 1 = 19 — не ділиться на 9.

• 2 730: 2 + 7 + 3 + 0 = 12 — не ділиться на 9.

Відповідь: В) 7 452.

Чому інші варіанти неправильні: 1 239 і 3 612 діляться лише на 3, але не на 9 — це типова пастка. 9 091 має цифру 9 на початку, що може ввести в оману, але сума цифр 19 на 9 не ділиться. 2 730 ділиться на 10, але сума цифр 12 не ділиться на 9.

Приклад 2. Укажіть усі цифри, які можна поставити замість * у записі 4*52, щоб число ділилося на 9

Варіанти: А) лише 7; Б) 1, 4 і 7; В) лише 1; Г) такої цифри немає; Д) 0, 3, 6, 9.

Розв'язок. Сума відомих цифр: 4 + 5 + 2 = 11. Маємо 11 + *. Щоб сума ділилася на 9, потрібно 11 + * = 18 (наступне кратне 9 після 11). Отже, * = 7. Інших варіантів немає, бо 11 + 16 = 27 дало б * = 16, що не є цифрою.

Відповідь: А) лише 7.

Чому інші варіанти неправильні: «1, 4 і 7» — це цифри, які підходять для подільності на 3, а не на 9. «0, 3, 6, 9» — теж помилка, бо суми 11, 14, 17, 20 не кратні 9. «Такої цифри немає» — неправильно, бо 7 підходить.

Приклад 3. Скільки існує цифр, які можна поставити замість * у записі 7*5, щоб число ділилося на 15?

Варіанти: А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 5; Д) 10.

Розв'язок. 15 = 3 · 5. Остання цифра вже 5 — умова на 5 виконана. Сума цифр: 7 + 5 + * = 12 + * має ділитися на 3. Перебираємо * від 0 до 9: * = 0 (12), 3 (15), 6 (18), 9 (21). Усього 4 цифри.

Відповідь: В) 4.

Чому інші варіанти неправильні: 3 — забули цифру 0 (вважають, що 0 не підходить, але в середині числа він дозволений). 10 — перевірили лише ознаку на 5 (вважають, що будь-яка цифра підходить).

Приклад 4. Замість * у записі 38* поставте цифру так, щоб число ділилося на 6. Укажіть найбільшу можливу цифру

Варіанти: А) 1; Б) 4; В) 7; Г) 8; Д) 9.

Розв'язок. 6 = 2 · 3. Спершу умова на 2: остання цифра має бути парною. Потім умова на 3: сума цифр 3 + 8 + * = 11 + * ділиться на 3. Перебираємо парні цифри: * = 0 (11 — не ділиться), 2 (13 — ні), 4 (15 — ділиться), 6 (17 — ні), 8 (19 — ні). Підходить лише 4. Найбільша можлива — 4.

Відповідь: Б) 4.

Чому інші варіанти неправильні: 7 — перевірили лише ознаку на 3, забули про парність. 8 — перевірили лише ознаку на 2, забули про суму цифр.

Приклад 5. Не обчислюючи, укажіть суму, яка ділиться на 9

Варіанти: А) 900 + 93; Б) 999 + 459; В) 3 333 + 36; Г) 181 + 81; Д) 450 + 55.

Розв'язок. Перевіряємо подільність кожного доданка на 9:

• 900 + 93: 900 ділиться на 9, а 93 — ні (9 + 3 = 12) → сума не ділиться.

• 999 + 459: 999 ділиться на 9 (9+9+9=27), 459 ділиться на 9 (4+5+9=18) → обидва кратні 9 → сума ділиться на 9.

• 3 333 + 36: 3 333 не ділиться на 9 (3+3+3+3=12), 36 ділиться на 9 → сума не ділиться.

• 181 + 81: 181 не ділиться на 9 (1+8+1=10), 81 ділиться на 9 → сума не ділиться.

• 450 + 55: 450 ділиться на 9 (4+5+0=9), 55 не ділиться (5+5=10) → сума не ділиться.

Відповідь: Б) 999 + 459.

Чому інші варіанти неправильні: у варіантах А, В, Г, Д лише один доданок кратний 9, а другий ні — тому сума на 9 не ділиться.

Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні на НМТ. Запам'ятай їх, щоб не втратити бали.

• Перевіряють подільність на 3 чи 9 за останньою цифрою. Наприклад, думають: «43 ділиться на 3, бо закінчується на 3». Правильно: сума цифр 4 + 3 = 7, на 3 не ділиться. Остання цифра не має значення для 3 і 9.

• Перевіряють подільність на 2 чи 5 за сумою цифр. Плутають дві групи ознак. Для 2 і 5 дивимося лише на останню цифру, сума цифр тут ні до чого.

• Вважають, що число, яке ділиться на 3, ділиться й на 9. Контрприклади: 21, 33, 111 — усі діляться на 3, але жодне не ділиться на 9. Кожне кратне 9 ділиться на 3, але не навпаки.

• Поєднують ознаки чисел, що не є взаємно простими. Наприклад, для подільності на 18 перевіряють 3 і 6. Число 24 ділиться і на 3, і на 6, але не на 18. Правильно: 18 = 2 · 9, тому перевіряємо парність і суму цифр, кратну 9.

• У задачі на пропущену цифру зупиняються на першій знайденій цифрі. Завжди перебирай усі цифри від 0 до 9 і виписуй усі, що підходять. Також часто пропускають 0, вважаючи, що він «не підходить», хоча в середині числа він цілком дозволений.

• Вважають, що сума не ділиться на m, якщо жоден доданок не ділиться. Контрприклад: 11 + 13 = 24. Жодне з чисел 11 і 13 не ділиться на 3, але їхня сума 24 ділиться. Якщо жоден доданок не кратний m, суму треба обчислити або перевірити суму цифр.

Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9 і 10 входять до теми 1.1 програми НМТ з математики («використовувати ознаки подільності»). У довідкових матеріалах, які видають на тестуванні, цих ознак немає — їх треба знати напам'ять.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання 3 (вибір однієї відповіді з п'яти, А–Д, 0 або 1 бал) перевіряє відношення величин разом із подільністю суми. Завдання 1–15 мають п'ять варіантів відповіді, лише один правильний.

На всю математику відведено орієнтовно 60 хвилин на 22 завдання — у середньому менше 3 хвилин на завдання. Тому важливо діяти швидко й безпомилково.

Стратегія виконання

• У чернетці випиши суму цифр числа — це допоможе не помилитися усно.

• У задачах на пропущену цифру перебери всі цифри від 0 до 9 і випиши ті, що підходять. Не зупиняйся на першій-ліпшій.

• Перевір обраний варіант діленням — це займе кілька секунд, але врятує від несподіваної помилки.

• Якщо в завданні є дві умови (наприклад, подільність на 6), спершу перевір ту, що швидша (остання цифра), а потім суму цифр.

• На 2: остання цифра парна (0, 2, 4, 6, 8). Числа, які діляться на 2, називають парними.

• На 5: остання цифра 0 або 5.

• На 10: остання цифра 0. Число ділиться на 10 тоді й лише тоді, коли ділиться і на 2, і на 5.

• На 3: сума цифр ділиться на 3.

• На 9: сума цифр ділиться на 9. Остання цифра тут нічого не вирішує.

• Кожне кратне 9 ділиться на 3, але не навпаки. 21, 33, 111 діляться на 3, а на 9 — ні.

• На 6, 15, 18, 45: перевіряємо ознаки взаємно простих множників: 6 = 2 · 3, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9, 45 = 5 · 9.

• Пропущену цифру: перебираємо від 0 до 9 і виписуємо всі, що підходять. Найбільшу чи найменшу вибираємо після повного перебору.

• Сума: ділиться на m, якщо кожен доданок ділиться на m. Якщо жоден не ділиться — суму треба обчислити.

• Добуток: ділиться на m, якщо хоча б один множник ділиться на m.