Квадратне рівняння: дискримінант і неповні рівняння

Квадратним рівнянням називають рівняння вигляду ax² + bx + c = 0, де x — змінна, а a, b, c — числа, причому a ≠ 0. Якщо a = 0, рівняння стає лінійним, а не квадратним. Коефіцієнт a називають першим (або старшим) коефіцієнтом, b — другим коефіцієнтом, а c — вільним членом.

Перш ніж розв’язувати квадратне рівняння, його обов’язково треба звести до стандартного вигляду ax² + bx + c = 0. Для цього:

• розкрий дужки (якщо вони є);

• перенеси всі доданки в ліву частину, змінюючи їхні знаки на протилежні;

• зведи подібні доданки.

Розгляньмо приклад: 3x − 2x² = 5. Переносимо 5 вліво: 3x − 2x² − 5 = 0. Записуємо в стандартному порядку: −2x² + 3x − 5 = 0. Звідси a = −2, b = 3, c = −5. Якщо незручно працювати з від’ємним a, помнож обидві частини рівняння на −1: дістанеш 2x² − 3x + 5 = 0 — корені від цього не зміняться.

Коефіцієнт завжди беруть разом зі знаком, який стоїть перед ним. У рівнянні x² − 7x + 10 = 0 маємо b = −7, а не 7. Якщо якогось доданка в рівнянні немає, відповідний коефіцієнт дорівнює нулю. Наприклад, у x² − 5 = 0 коефіцієнт b = 0, а в 3x² + 2x = 0 вільний член c = 0.

Неповні квадратні рівняння

Неповним квадратним рівнянням називають рівняння, у якому хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю. Розрізняють три випадки:

• b = 0: ax² + c = 0 (наприклад, 2x² − 18 = 0);

• c = 0: ax² + bx = 0 (наприклад, 3x² − 12x = 0);

• b = 0 і c = 0: ax² = 0 (наприклад, 5x² = 0).

Неповні рівняння можна розв’язувати без дискримінанта — про це йтиметься в окремому розділі. Але спершу навчимося працювати з повними квадратними рівняннями.

Дискримінант — це число, яке визначає, скільки коренів має квадратне рівняння. Його позначають літерою D і обчислюють за формулою:

$$D=b^2-4ac$$

За знаком дискримінанта роблять висновок про кількість коренів:

Формула коренів квадратного рівняння:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Ця формула, а також формула дискримінанта й розклад квадратного тричлена ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) є в довідкових матеріалах НМТ. Запам’ятовувати їх не потрібно — треба вміти правильно підставляти числа.

Приклад: D > 0

Розв’яжемо рівняння 2x² − 5x − 3 = 0. Коефіцієнти: a = 2, b = −5, c = −3.

• D = b² − 4ac = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49

• √D = √49 = 7

• x₁,₂ = (−(−5) ± 7) / (2·2) = (5 ± 7) / 4

• x₁ = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3; x₂ = (5 − 7)/4 = −2/4 = −0,5

Отже, рівняння має два корені: 3 і −0,5.

Приклад: D = 0

Розв’яжемо x² − 6x + 9 = 0. Тут a = 1, b = −6, c = 9.

• D = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0

• x = −b/(2a) = −(−6)/(2·1) = 6/2 = 3

Рівняння має один корінь x = 3. Зверни увагу: ліва частина — це повний квадрат (x − 3)², тому корінь лише один.

Приклад: D < 0

Розв’яжемо x² + x + 1 = 0. Тут a = 1, b = 1, c = 1.

• D = 1² − 4·1·1 = 1 − 4 = −3

• Оскільки D < 0, дійсних коренів немає.

Увага: D < 0 означає, що рівняння не має дійсних коренів. Не пиши «корені від’ємні» — це різні речі. Від’ємний дискримінант не дає жодного дійсного кореня.

Знаки під час підстановки

Найпоширеніша помилка — неправильне обчислення −b і b². Запам’ятай:

• Якщо b = −7, то −b = 7, а b² = (−7)² = 49.

• На 2a ділиться ВЕСЬ чисельник: (−b ± √D), а не тільки −b.

• Неправильно: x = −b/(2a) ± √D — так робити не можна.

Неповні квадратні рівняння можна розв’язати набагато швидше, ніж повні, — без обчислення дискримінанта. Розгляньмо два основні випадки.

Випадок 1: ax² + bx = 0 (c = 0)

Виносимо x за дужки:

$$x(ax+b)=0$$

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже:

• x = 0

• ax + b = 0 ⇒ x = −b/a

Приклад: 3x² − 12x = 0. Виносимо 3x за дужки: 3x(x − 4) = 0. Звідси x = 0 або x = 4.

Ніколи не діли обидві частини рівняння ax² + bx = 0 на x! Якщо поділити 3x² − 12x = 0 на x, дістанеш 3x − 12 = 0, звідки x = 4, і корінь 0 буде втрачено. А x = 0 — цілком законний корінь.

Випадок 2: ax² + c = 0 (b = 0)

Переносимо вільний член у праву частину:

$$x^2=-\frac{c}{a}$$

Далі можливі три ситуації:

Чому x² = 9 має два корені, а не один? Бо √(x²) = |x| (ця формула є в довідкових матеріалах НМТ). Рівняння |x| = 3 дає x = 3 або x = −3. Те саме стосується x² = 7: корені x = ±√7.

Рівняння виду (x − m)² = n

Таке рівняння теж розв’язують без дискримінанта — добуванням кореня. Наприклад, (x − 2)² = 16. Дістаємо:

• x − 2 = 4 або x − 2 = −4

• x = 6 або x = −2

Це швидше, ніж розкривати дужки, зводити до стандартного вигляду й рахувати дискримінант.

У завданнях можуть попросити знайти не просто корені, а більший чи менший корінь, їх суму або добуток. Алгоритм простий: спершу знаходимо обидва корені, потім відповідаємо саме на поставлене запитання.

Приклад із раціональними коренями

Розв’яжемо 2x² − 5x − 3 = 0 (ми вже робили це вище). Корені: x₁ = 3, x₂ = −0,5. Тепер відповідаємо:

• більший корінь: 3

• менший корінь: −0,5

• сума коренів: 3 + (−0,5) = 2,5

• добуток коренів: 3 · (−0,5) = −1,5

Приклад з ірраціональними коренями

Розв’яжемо x² − 2x − 1 = 0. Коефіцієнти: a = 1, b = −2, c = −1.

• D = (−2)² − 4·1·(−1) = 4 + 4 = 8

• √D = √8 = 2√2

• x₁,₂ = (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2

• x₁ = 1 + √2, x₂ = 1 − √2

Сума коренів: (1 + √2) + (1 − √2) = 2. Добуток: (1 + √2)(1 − √2) = 1 − 2 = −1. Як бачиш, корені ірраціональні, а сума й добуток — раціональні числа.

Як визначити більший корінь без обчислень

Якщо a > 0, більший корінь — той, у формулі якого стоїть «+√D»: x₁ = (−b + √D)/(2a). Менший — зі знаком «−». Якщо a < 0, спершу помнож рівняння на −1, щоб a став додатним, а потім застосовуй це правило.

Запис відповіді в бланк НМТ

У завданнях із короткою відповіддю (№ 19–22) число записують десятковим дробом. Звичайні дроби не приймаються:

• корінь −1/2 записують як −0,5

• корінь 5/2 записують як 2,5

• корінь 1/3 не можна записати скінченним десятковим дробом — у НМТ такі числа не вимагають у короткій відповіді

Розгляньмо п’ять типових завдань НМТ на квадратні рівняння — із покроковим розв’язанням і поясненням пасток.

Приклад 1. Менший корінь повного квадратного рівняння

Завдання (коротка відповідь): Знайдіть менший корінь рівняння 2x² + 3x − 5 = 0.

Розв’язання:

• Коефіцієнти: a = 2, b = 3, c = −5.

• D = b² − 4ac = 3² − 4·2·(−5) = 9 + 40 = 49.

• √D = 7.

• x₁,₂ = (−3 ± 7) / (2·2) = (−3 ± 7) / 4.

• x₁ = (−3 + 7)/4 = 4/4 = 1; x₂ = (−3 − 7)/4 = −10/4 = −2,5.

• Менший корінь — −2,5.

Відповідь: −2,5.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо помилково взяти −b = 3 (хоча насправді −b = −3), дістанемо корені 2,5 і −1, а меншим буде −1. Якщо поділити чисельник лише на 2, а не на 2a = 4, дістанемо −5.

Приклад 2. Неповне рівняння ax² + bx = 0

Завдання (вибір однієї відповіді): Розв’яжіть рівняння 5x² = 20x.

Варіанти відповідей: «4», «0; 4», «−4; 4», «0; −4», «коренів немає».

Розв’язання:

• Переносимо все в ліву частину: 5x² − 20x = 0.

• Виносимо 5x за дужки: 5x(x − 4) = 0.

• x = 0 або x = 4.

Відповідь: «0; 4».

Пастка: варіант «4» — це результат ділення обох частин на x, через що втрачається корінь 0.

Приклад 3. Рівняння без дійсних коренів

Завдання (вибір однієї відповіді): Укажіть рівняння, яке не має дійсних коренів.

Варіанти: x² − 9 = 0; 3x² = 0; x² − 6x + 9 = 0; 2x² − 3x + 5 = 0; −x² + 3x + 5 = 0.

Розв’язання: обчислюємо дискримінант для кожного:

• x² − 9 = 0: D = 0² − 4·1·(−9) = 36 > 0 — два корені.

• 3x² = 0: D = 0 − 0 = 0 — один корінь (x = 0).

• x² − 6x + 9 = 0: D = 36 − 36 = 0 — один корінь.

• 2x² − 3x + 5 = 0: D = 9 − 40 = −31 < 0 — коренів немає.

• −x² + 3x + 5 = 0: D = 9 + 20 = 29 > 0 — два корені.

Відповідь: 2x² − 3x + 5 = 0.

Пастка: рівняння −x² + 3x + 5 = 0 має від’ємний старший коефіцієнт, але дискримінант додатний — корені існують.

Приклад 4. Неповне рівняння ax² + c = 0

Завдання (коротка відповідь): Знайдіть менший корінь рівняння 3x² − 27 = 0.

Розв’язання:

• 3x² = 27 ⇒ x² = 9.

• x = ±3.

• Менший корінь — −3.

Відповідь: −3.

Пастки: відповідь 3 — втрата від’ємного кореня; відповідь 9 — записали x² замість x.

Приклад 5. Рівняння, що зводиться до квадратного

Завдання (вибір однієї відповіді): Розв’яжіть рівняння x(x + 3) = 10.

Варіанти: «10; 7», «5; −2», «−5; 2», «2», «коренів немає».

Розв’язання:

• Розкриваємо дужки: x² + 3x = 10.

• Зводимо до стандартного вигляду: x² + 3x − 10 = 0.

• D = 9 + 40 = 49; √D = 7.

• x₁,₂ = (−3 ± 7) / 2 = 2 або −5.

Відповідь: «−5; 2».

Дистрактори: «10; 7» — хибне прирівнювання кожного множника до 10; «5; −2» — помилка в знаку −b; «2» — втрата кореня −5; «коренів немає» — ігнорування додатного дискримінанта.

Зібрали найчастіші помилки, яких припускаються учні під час розв’язування квадратних рівнянь. Уникай їх — і бали будуть твоїми.

• У рівнянні x² = 9 записують лише x = 3 і втрачають корінь −3. Правильно: x² = 9 ⇒ x = ±3, бо √(x²) = |x|.

• Ділять ax² + bx = 0 на x і втрачають корінь 0. Правильно: виносити x за дужки, а не ділити.

• Помиляються в знаках: для x² − 7x + 10 = 0 беруть −b = −7 (а має бути 7) або (−7)² = −49 (а має бути 49). Правильно: −b = −(−7) = 7; b² = (−7)² = 49.

• Ділять на 2a лише −b, а √D залишають осторонь: x = −b/(2a) ± √D. Правильно: x = (−b ± √D) / (2a) — увесь чисельник ділиться на 2a.

• Рівняння x(x + 3) = 10 розв’язують як «x = 10 або x + 3 = 10». Правильно: множники прирівнюють до нуля лише тоді, коли в правій частині 0. Тут треба спершу звести до вигляду ax² + bx + c = 0.

• Визначають коефіцієнти до зведення рівняння до стандартного вигляду. Наприклад, у 3x − 2x² = 5 вважають a = 3. Правильно: спершу звести: −2x² + 3x − 5 = 0, звідки a = −2.

• Вважають, що x² + 4 = 0 має корені ±2, або що при D < 0 корені «від’ємні». Правильно: x² = −4 не має дійсних коренів, бо квадрат числа не буває від’ємним. D < 0 означає відсутність дійсних коренів, а не те, що корені від’ємні.

Розв’язування квадратних рівнянь — обов’язкова вимога теми 2.1 програми НМТ («рівняння й нерівності першого та другого степенів і ті, що зводяться до них»). Тому вміння знаходити корені квадратного рівняння — базове для всього розділу «Рівняння, нерівності та їх системи».

У довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, є три ключові формули:

• дискримінант: D = b² − 4ac;

• формула коренів: x = (−b ± √D) / (2a);

• розклад квадратного тричлена: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Їх не треба запам’ятовувати — треба вміти застосовувати. Підставляй коефіцієнти уважно, особливо стеж за знаками.

Формати завдань

• Вибір однієї відповіді з п’яти (завдання № 1–15): 0 або 1 бал. Тобі пропонують п’ять варіантів, з яких лише один правильний.

• Коротка відповідь (завдання № 19–22): 0 або 2 бали, без часткових балів. Відповідь — лише число у вигляді десяткового дробу. Знак «мінус» ставлять перед першою цифрою, наприклад −2,5.

Стратегія

• Знайдений корінь обов’язково підстав у вихідне рівняння — це миттєво покаже, чи не помилився.

• У завданні з варіантами відповідей підстав кожен варіант у рівняння. Це часто швидше, ніж розв’язувати заново.

• Якщо рівняння неповне, не витрачай час на дискримінант — скористайся винесенням за дужки або добуванням кореня.

• Квадратне рівняння: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0. Спершу зведи його до цього вигляду.

• Дискримінант: D = b² − 4ac. D > 0 — два корені; D = 0 — один корінь; D < 0 — дійсних коренів немає.

• Формула коренів: x = (−b ± √D) / (2a). Вона є в довідкових матеріалах НМТ. Стеж за знаками −b і b².

• Неповне рівняння ax² + bx = 0: винось x за дужки. Корені: x = 0 або x = −b/a. Не діли на x!

• Неповне рівняння ax² + c = 0: x² = −c/a. Якщо −c/a > 0 — два протилежні корені; якщо −c/a < 0 — коренів немає.

• x² = 9 ⇒ x = ±3. Не забувай про від’ємний корінь.

• У короткій відповіді НМТ число записують десятковим дробом: −0,5; 2,5.

• Знайдений корінь завжди перевіряй підстановкою у вихідне рівняння.