Класична ймовірність випадкової події

Теорія ймовірностей вивчає випадкові події — ті, що в однакових умовах можуть відбутися, а можуть і не відбутися. Уявімо дослід (експеримент): підкидаєш монету, кидаєш гральний кубик, навмання витягаєш кульку з урни або обираєш картку з набору. Кожен такий дослід дає один наслідок з-поміж кількох можливих. Подія A — це твердження, яке може виконуватися для частини наслідків. Наприклад, «на кубику випало парне число» — це подія, якій сприяють наслідки 2, 4, 6.

Чому наслідки мають бути рівноможливими?

Класичне означення ймовірності працює лише тоді, коли жоден наслідок експерименту не має переваги перед іншими. Такі наслідки називають рівноможливими. У задачах НМТ рівноможливість забезпечується тим, що монета симетрична (герб і число випадають однаково часто), гральний кубик правильний (усі грані однакові), кульки в урні однакові на дотик, а картки перемішано. Слово «навмання» (або «випадково») в умові задачі якраз і вказує, що всі наслідки рівноможливі.

Класичне означення ймовірності

Ймовірністю події A називають відношення кількості сприятливих для A наслідків до кількості всіх рівноможливих наслідків експерименту. Формула має вигляд:

$$P(A)=\frac{m}{n}$$

де n — кількість усіх рівноможливих наслідків, а m — кількість наслідків, сприятливих для події A. У довідкових матеріалах НМТ використовують позначення P(A) = k / n, але суть та сама: чисельник — те, що «підходить», знаменник — усе, що може статися.

Вірогідні й неможливі події

Якщо подія трапляється за будь-якого наслідку, вона називається вірогідною — її ймовірність дорівнює 1. Приклад: «на гральному кубику випало менше ніж 7 очок» — це станеться завжди, бо на кубику лише числа 1–6, тож P = 6/6 = 1. Якщо подія ніколи не трапляється, вона називається неможливою — її ймовірність дорівнює 0. Наприклад: «на кубику випало 7 очок» — цього не може бути, тож P = 0/6 = 0.

Для будь-якої випадкової події виконується нерівність:

$$0\le P(A)\le 1$$

Якщо в розв'язку отримав число, більше за 1 (наприклад, 1,2) або від'ємне (наприклад, −0,3), це означає помилку: ти, найімовірніше, переплутав місцями чисельник і знаменник або неправильно підрахував наслідки.

Як записувати відповідь

Ймовірність можна подати звичайним дробом (скоротивши, якщо можна), десятковим дробом або у відсотках. Наприклад: $4/10=2/5=0,4=40\%$. У завданнях НМТ з вибором відповіді варіанти можуть бути подані звичайними дробами, а у завданнях 19–22 (коротка відповідь) потрібно записати лише десятковий дріб — без риски дробу й без знака відсотка. Тому тренуйся подавати результат як 0,4, а не як 2/5 чи 40%.

Чотири типові сюжети задач на класичну ймовірність: підкидання монети, кидання грального кубика, витягання кульок з урни (коробки) та вибір картки з набору. Розгляньмо їх послідовно.

Гральний кубик

Правильний гральний кубик має 6 граней, позначених числами від 1 до 6. Отже, n = 6 — це кількість усіх рівноможливих наслідків. Тепер кілька прикладів:

• P(парне число) — сприятливі наслідки: 2, 4, 6 — їх три. Отже, $P=3/6=0,5$.

• P(число, кратне 3) — сприятливі наслідки: 3, 6 — їх два. $P=2/6=1/3$.

• P(більше за 4) — сприятливі наслідки: 5, 6 — їх два. $P=2/6=1/3$.

Кульки в урні

В урні лежить 4 сині й 6 червоних кульок, однакових на дотик. Навмання виймають одну кульку. Усіх кульок 4 + 6 = 10, тож n = 10. Ймовірність вийняти синю кульку:

$$P(\text{синя})=\frac{4}{10}=0,4$$

Якщо в урну додати 2 зелені кульки, то загальна кількість стане 12, а синіх залишиться 4. Тоді ймовірність синьої зменшиться:

$$P(\text{синя})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\approx 0,333$$

Зверни увагу: знаменник змінився, бо змінилася загальна кількість кульок. n — це кількість усіх предметів, а не кількість кольорів! Якби в коробці були кульки трьох кольорів, це не означало б, що n = 3.

Картки з числами

У наборі картки з числами від 1 до 30. Навмання витягають одну картку. Усього карток 30, отже n = 30.

• P(число ділиться на 3) — числа, кратні 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 — їх 10. $P=10/30=1/3$.

• P(число двоцифрове) — числа від 10 до 30: їх 21. $P=21/30=0,7$.

Лотерейні квитки

Це той самий принцип: маємо 200 лотерейних квитків, з яких 15 виграшних. Ймовірність купити виграшний квиток:

$$P(\text{виграш})=\frac{15}{200}=0,075$$

Тут n = 200 (усі квитки), а не 2 (виграш / не виграш). Запам'ятай: кількість наслідків n рахують як загальну кількість об'єктів, з яких відбувається вибір.

Коли в досліді беруть участь два об'єкти (дві монети, два кубики), кількість наслідків знаходять за правилом добутку. Це не просто сума, а добуток кількостей наслідків для кожного об'єкта.

Дві монети

Підкидають дві монети. Для першої монети можливі 2 наслідки: герб (Г) або число (Ч). Для другої — теж 2. За правилом добутку загальна кількість наслідків:

$$n=2\cdot 2=4$$

Випишемо їх окремо: ГГ (обидва герби), ГЧ (перший герб, друге число), ЧГ (перше число, другий герб), ЧЧ (обидва числа). Чому n = 4, а не 3? Тому що ГЧ і ЧГ — різні наслідки: монети розрізняють (перша й друга).

Приклад: подія «випали один герб і одне число» — сприятливі ГЧ і ЧГ. Їх два, тож:

$$P(\text{один герб і одне число})=\frac{2}{4}=0,5$$

Якщо підкидають три монети, кількість наслідків дорівнює $2^3=8$. Ймовірність випадання трьох гербів: P = 1/8 = 0,125.

Два гральні кубики

Кидають два кубики. Перший має 6 наслідків, другий — 6, тому за правилом добутку:

$$n=6\cdot 6=36$$

Це зручно подати у вигляді таблиці 6 × 6, де рядки — значення першого кубика, а стовпці — другого:

Розгляньмо кілька подій:

• Сума очок дорівнює 7. Сприятливі пари: (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) — усього 6. $P=6/36=1/6$.

• Сума очок дорівнює 10. Пари: (4;6), (5;5), (6;4) — 3 наслідки. $P=3/36=1/12$.

• На обох кубиках випали однакові числа: (1;1), (2;2), …, (6;6) — 6 наслідків. $P=6/36=1/6$.

Чому (1;2) і (2;1) — різні наслідки?

Навіть якщо кинути два кубики одночасно, ми все одно можемо уявити їх як «перший» і «другий» (наприклад, один червоний, другий синій). Тому пари (1;2) і (2;1) — різні наслідки. Якби ми їх не розрізняли, то отримали б 21 наслідок замість 36 — але це було б неправильно, адже насправді ці пари трапляються з однаковою частотою, і кожна з них має свою клітинку в таблиці 6 × 6.

Протилежною до події A називають подію Ā (читають «A з рискою»), яка полягає в тому, що A не відбулася. Якщо події A сприяє m наслідків з n, то події Ā сприяють решта n − m наслідків. Звідси випливає формула:

$$P(\bar{A})=1-P(A)$$

Це випливає з того, що A і Ā разом покривають усі наслідки, і сума їхніх імовірностей дорівнює 1. Перевіримо: якщо P(синя кулька) = 0,4, то P(не синя кулька) = 1 − 0,4 = 0,6.

Коли вигідніше рахувати протилежну подію?

Іноді сприятливих наслідків для події A багато, а для протилежної Ā — мало. Тоді простіше знайти P(Ā) і відняти від 1. Найхарактерніший випадок — подія «хоча б один».

Приклад 1. Кидають два гральні кубики. Яка ймовірність того, що хоча б на одному випала шістка?

Сприятливих наслідків багато: (1;6), (2;6), (3;6), (4;6), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6) — 11 наслідків. Але простіше порахувати протилежну подію — «жодної шістки». Для першого кубика підходять 5 чисел (1–5), для другого теж 5. За правилом добутку: $5\cdot 5=25$ наслідків.

$$P(\text{жодної шістки})=\frac{25}{36}$$

Отже:

$$P(\text{хоча б одна шістка})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$$

Приклад 2. Підкидають три монети. Знайти ймовірність того, що випаде хоча б один герб.

Простіше знайти ймовірність протилежної події — «жодного герба», тобто три числа (ЧЧЧ). Для трьох монет n = 8, сприятливий наслідок один. Тому:

$$P(\text{хоча б один герб})=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0,875$$

Увага: типова пастка

Дехто помилково вважає протилежною до «хоча б одна шістка» подію «дві шістки». Але це не так. Якщо випала одна шістка, подія «хоча б одна шістка» вже відбулася. «Дві шістки» — лише один із наслідків події A, а не її заперечення. Правильна протилежна до «хоча б один» — «жодного».

Завжди перевіряй: P(A) + P(Ā) = 1. Якщо сума не дорівнює одиниці, шукай помилку в підрахунку наслідків.

Приклад 1. Кульки в коробці

У коробці 5 білих, 8 чорних і 7 червоних кульок, однакових на дотик. Навмання виймають одну кульку. Яка ймовірність того, що вона чорна?

Розв'язання

Крок 1. Знаходимо n — загальну кількість усіх кульок: $5+8+7=20$.

Крок 2. Знаходимо m — кількість чорних кульок: m = 8.

Крок 3. Обчислюємо ймовірність: $P=8/20=2/5=0,4$.

Відповідь

Правильна відповідь: 0,4 (або $2/5$). У завданні з вибором відповіді це буде варіант 0,4.

Чому інші варіанти неправильні?

• 1/3 — якщо взяти n = 3 (кількість кольорів) замість 20. Це найпоширеніша помилка: рахують не предмети, а види.

• 2/3 — якщо чорні кульки поділити на решту ($8/12$), а не на всі ($8/20$). Це не ймовірність, а відношення сприятливих до несприятливих.

• 1/8 — якщо взяти n = 8 (лише чорні), переплутавши чисельник і знаменник.

• 0,8 — якщо взяти $8/10$ (поділити чорні на білі й червоні разом: $5+7=10$). Забули додати самі чорні кульки.

Приклад 2. Числа від 1 до 40

Навмання вибирають натуральне число від 1 до 40. Знайдіть ймовірність того, що воно ділиться на 5, але не ділиться на 10.

Розв'язання

Крок 1. Усього чисел n = 40.

Крок 2. Числа, що діляться на 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 — усього 8. Але серед них ті, що діляться на 10 (10, 20, 30, 40), треба вилучити, бо за умовою число не повинне ділитися на 10. Залишаються: 5, 15, 25, 35 — усього m = 4.

Крок 3. $P=4/40=1/10=0,1$.

Відповідь

0,1. Пастка — дати 0,2 ($8/40$), не вилучивши числа, що діляться на 10.

Приклад 3. Два гральні кубики

Кидають два гральні кубики. Яка ймовірність того, що сума очок дорівнює 9?

Розв'язання

Крок 1. Усіх рівноможливих наслідків: n = 36.

Крок 2. Сприятливі наслідки — пари, що дають суму 9: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3). Усього m = 4.

Крок 3. $P=4/36=1/9$.

Відповідь

1/9. Дистрактори: 1/18 (якщо не розрізняти (3;6) і (6;3) — тоді пари лише (3;6), (4;5) — 2/36 = 1/18), 1/3 (n = 12 замість 36), 1/6, 1/4.

Приклад 4. Лотерейні квитки

Серед 250 лотерейних квитків 30 виграшних. Яка ймовірність, що навмання куплений квиток не виграє?

Розв'язання

Крок 1. n = 250, кількість виграшних квитків: 30.

Крок 2. Ймовірність виграшу: $P(\text{виграш})=30/250=0,12$.

Крок 3. Подія «не виграє» — протилежна до «виграш». Отже:

$$P(\text{не виграє})=1-0,12=0,88$$

Відповідь

0,88. Найпоширеніша пастка — відповісти 0,12 (ймовірність виграшу, а в задачі питають «не виграє»).

• За n беруть кількість кольорів чи видів, а не всіх предметів. Приклад: у коробці 5 білих, 8 чорних і 7 червоних кульок — дехто пише n = 3, звідки P = 1/3 замість правильної 8/20 = 0,4. Правильно: n = 20 (усі кульки).

• Для двох кубиків рахують 12 наслідків замість 36. Запам'ятай: 6 · 6 = 36, а не 6 + 6 = 12. Те саме з двома монетами: 2 · 2 = 4, а не 2 + 2 = 4 (тут збіг, але для трьох монет 2³ = 8, а не 6).

• Не розрізняють наслідки (3; 6) і (6; 3) для двох кубиків. Тоді сприятливих пар для суми 9 рахують лише 2 замість 4 і отримують 2/36 = 1/18 замість 4/36 = 1/9 (а якщо ще й узяти n = 21, то 2/21).

• Ділять сприятливі наслідки на несприятливі (m / (n − m)) замість на всі (m / n). Наприклад: 8 чорних кульок ділять на 12 нечорних, отримують 2/3 замість 8/20 = 0,4. Таке відношення не є ймовірністю.

• Отримують ймовірність, більшу за 1, бо переплутали m і n місцями. Наприклад: P = 20/8 = 2,5. Пам'ятай: 0 ≤ P ≤ 1 — якщо вийшло більше за 1, перестав чисельник із знаменником.

• Протилежною до «хоча б одна шістка» вважають «дві шістки». Це неправильно: подія «хоча б одна шістка» настає і за однієї шістки, і за двох. Правильна протилежна — «жодної шістки».

Класичне означення ймовірності події входить до розділу програми НМТ з математики «Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей та елементи математичної статистики». Від тебе вимагається вміння «обчислювати ймовірності випадкових подій за означенням». Формула P(A) = k / n є в довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, — отже, знати її напам'ять не обов'язково. Але кількість наслідків n доведеться рахувати самому.

Формат завдань

• У завданнях 1–15 (вибір однієї відповіді з п'яти, 0 або 1 бал) варіанти можуть бути подані звичайними дробами; серед них бувають дистрактори з неправильним знаменником n.

• У завданнях 19–22 (коротка відповідь, 0 або 2 бали без часткових) ймовірність потрібно записати лише десятковим дробом: 0,4; 0,125; 0,875. Жодних звичайних дробів, жодних відсотків.

Стратегія розв'язування

1. Спочатку визнач n — загальну кількість усіх рівноможливих наслідків.

2. Потім визнач m — кількість сприятливих наслідків.

3. Обчисли P = m / n.

4. Наприкінці обов'язково перевір: 0 ≤ P ≤ 1.

Задача на кубик, монету чи урну потребує всього однієї-двох дій, але дає реальний внесок у поріг 5 тестових балів з 32. Це «легкі» бали, які не можна втрачати.

• P(A) = m / n: m — сприятливі наслідки, n — усі рівноможливі наслідки.

• 0 ≤ P(A) ≤ 1; вірогідна подія — 1, неможлива — 0.

• Монета — 2 наслідки, дві монети — 4, три монети — 8.

• Кубик — 6 наслідків, два кубики — 36.

• (3; 6) і (6; 3) — різні наслідки, їх треба розрізняти.

• P(Ā) = 1 − P(A). «Хоча б один» — зручно рахувати через протилежну подію.

• У короткій відповіді НМТ ймовірність — десятковий дріб (0,4; 0,125 тощо).