Графічний метод у задачах з параметром

Графічний метод розв'язування рівнянь із параметром — це потужний інструмент, який дозволяє перетворити алгебричну задачу на геометричну. Основна ідея полягає в тому, щоб відокремити параметр і записати рівняння у вигляді $f(x)=a$. Тоді ліва частина — це звичайна функція від $x$, а права — стала величина (параметр). Розв'язками рівняння є ті значення $x$, за яких значення функції $f(x)$ дорівнює $a$.

Відокремлення параметра

Розгляньмо рівняння $x^2-4x+3-a=0$. Перенесемо все, що містить $a$, в одну частину, а решту — в іншу:

$x^2-4x+3=a$

Тепер маємо функцію $f(x)=x^2-4x+3$ і параметр $a$. Рівняння $f(x)=a$ означає: знайди всі $x$, для яких графік функції $y=f(x)$ перетинає горизонтальну пряму $y=a$ на висоті $a$.

Геометрична інтерпретація

Кількість коренів рівняння $f(x)=a$ дорівнює кількості точок, у яких графік $y=f(x)$ перетинається з горизонтальною прямою $y=a$. Уяви, що ти повільно рухаєш горизонтальну пряму знизу вгору (тобто змінюєш $a$ від $-\infty$ до $+\infty$) і спостерігаєш, у скількох точках вона перетинає графік. Щоразу, коли пряма проходить через ключову точку графіка — вершину, точку зламу, край області визначення чи виколоту точку — кількість перетинів може змінитися.

Ключові рівні параметра $a$ — це ординати таких точок. Між сусідніми ключовими рівнями кількість коренів залишається сталою.

Приклад: квадратний тричлен $x^2-4x+3$

Побудуємо графік $y=x^2-4x+3$ — це парабола, вітки якої напрямлені вгору. Знайдемо вершину: $x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$, $y_0=f(2)=4-8+3=-1$. Вершина має координати $(2;-1)$. Нулі функції: $x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1$, $x=3$.

Тепер дослідимо, як кількість коренів рівняння $x^2-4x+3=a$ залежить від $a$:

З таблиці одразу читаємо відповідь: при $a<-1$ коренів немає, при $a=-1$ рівно один корінь, при $a>-1$ два корені. У цьому й полягає сила графічного методу — ти не розв'язуєш рівняння, а просто спостерігаєш за перетином графіків.

Важливо: коли пряма дотикається до вершини параболи, кількість коренів дорівнює 1, а не 2. Не плутай це з випадком, коли пряма перетинає графік у двох точках.

Модуль — одна з типових «пасток» у задачах з параметром. Графіки з модулем змінюють форму функції, і це принципово впливає на кількість коренів рівняння з параметром. Розгляньмо два основні типи перетворень.

Графік $y=|f(x)|$

Правило просте: уся частина графіка $y=f(x)$, яка лежить нижче осі $Ox$ (тобто де $f(x)<0$), відбивається симетрично вгору. Те, що було вище осі, залишається без змін.

Приклад: $|x^2-4|=a$

Побудуймо графік $y=|x^2-4|$. Спочатку малюємо параболу $y=x^2-4$ з вершиною $(0;-4)$ і нулями в точках $x=\pm 2$. Частина параболи під віссю $Ox$ (від $x=-2$ до $x=2$) відбивається вгору. У результаті отримуємо графік, який має нулі в точках $\pm 2$ і локальний максимум у точці $(0;4)$.

При $a=4$ коренів три, бо пряма дотикається до графіка в точці $(0;4)$ і перетинає його ще в $x=\pm 2\sqrt{2}$.

Графік $y=f(|x|)$

Тут правило інакше: будуємо графік функції $y=f(x)$ лише для $x\ge 0$, а потім відбиваємо його симетрично відносно осі $Oy$ вліво. Графік стає парним.

Приклад: $x^2-4|x|=a$

Для $x\ge 0$ маємо $y=x^2-4x$, параболу з вершиною $(2;-4)$. Після відбиття отримуємо мінімуми $(\pm 2;-4)$ і локальний максимум $(0;0)$.

Сума модулів: $|x-1|+|x+3|=a$

Це кусково-лінійна функція. На відрізку $[-3;1]$ сума дорівнює $4$. Ліворуч від $-3$ функція спадає ($y=-2x-2$), праворуч від $1$ — зростає ($y=2x+2$), тож поза відрізком її значення більші за $4$. Отже: $a<4$ — коренів немає, $a=4$ — безліч коренів, $a>4$ — два корені.

Різниця між $y=|f(x)|$ і $y=f(|x|)$ принципова: перше перетворення відбиває нижню частину вгору, друге — праву половину вліво. Навіть для однієї функції результати різні.

Кусково задана функція — це функція, яка на різних проміжках області визначення задається різними формулами. Кусково задана функція трапилася в демоваріанті НМТ-2026 (завдання 19); у задачах із параметром вони вимагають особливої уваги до точок стику.

Як будувати графік кусково заданої функції

Кожну частину функції будуй лише на її проміжку. На стику проміжків обчисли значення обох частин. Якщо точка належить проміжку (нестрога нерівність), вона зафарбована; якщо не належить (строга нерівність), вона виколота.

Приклад: $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+3,& x<0\\ x^2-4x+3,& x\ge 0\end{array}$

Ліва частина ($x<0$): пряма $y=x+3$. Наближаючись до нуля зліва, маємо $f(0^{-})=3$, але точка $(0;3)$ виколота. Права частина ($x\ge 0$): парабола $y=x^2-4x+3$, $f(0)=3$ (зафарбована), вершина $(2;-1)$, нулі $x=1$, $x=3$.

Дослідження рівняння $f(x)=a$

Уважно: при $a=3$ графік має виколоту точку зліва і зафарбовану справа, які збігаються за координатами. Пряма $y=3$ перетинає праву гілку параболи в точці $x=0$ (зафарбована) і ще в точці $x=4$. Отже, коренів два, а не три, хоч візуально здається, що має бути три. Виколота точка кореня не дає!

Точність ескізу — запорука правильного розв'язку. Обов'язково обчисли координати вершин, нулів і точок стику. «На око» легко переплутати, яка з ключових точок вища — це коштує 2 бали на НМТ.

Не завжди зручно відокремлювати параметр у вигляді $f(x)=a$. Наприклад, рівняння $|x-1|=x+b$ можна записати як $|x-1|-x=b$, але часто простіше залишити праву частину як пряму $y=x+b$ і досліджувати сімейство паралельних прямих. У таких випадках розглядають сімейство прямих і досліджують його перетин із графіком функції.

Сімейство паралельних прямих $y=x+b$

Тут $b$ — параметр, кутовий коефіцієнт $k=1$ фіксований. Зміна $b$ зсуває пряму вгору або вниз. Усі прямі сімейства паралельні. Граничні положення — пряма проходить через точку зламу графіка функції дотикається до нього або збігається з однією з його віток.

Приклад: $|x-1|=x+b$

Графік лівої частини $y=|x-1|$ — галочка з вершиною $(1;0)$. Ліва вітка: $y=-x+1$ при $x<1$, права вітка: $y=x-1$ при $x\ge 1$. Сімейство правих частин — прямі $y=x+b$. Права вітка графіка $y=|x-1|$ сама є прямою $y=x-1$. Якщо $b=-1$, то пряма $y=x-1$ збігається з правою віткою.

Сімейство прямих через початок координат $y=kx$

Тут параметр $k$ — кутовий коефіцієнт. Зміна $k$ обертає пряму навколо початку координат. Граничні положення — пряма проходить через точку зламу графіка, дотикається до графіка або стає паралельною одній з його віток. У прикладі нижче пряма $y=kx$ через точку зламу $(0;1)$ пройти не може: граничні значення $k=1$ і $k=-1$ — це прямі, паралельні віткам.

Приклад: $|x|+1=kx$

Графік лівої частини $y=|x|+1$ — галочка з вершиною $(0;1)$. Ліва вітка: $y=-x+1$ (при $x<0$), права вітка: $y=x+1$ (при $x\ge 0$). Сімейство прямих $y=kx$ проходить через початок координат.

У загальному випадку, коли параметр не відокремлюється, діємо так: визначаємо тип сімейства прямих, будуємо графік функції, знаходимо граничні положення прямої, а потім визначаємо кількість спільних точок на кожному проміжку.

Розгляньмо чотири типові задачі з параметром, які потребують графічного методу. Кожен приклад — це крок до 2 балів на НМТ.

Приклад 1. Знаходження значення a

Умова: Знайдіть значення $a$, при якому рівняння $|x^2-2x-3|=a$ має рівно три корені.

Розв'язання: Відокремлюємо параметр: $|x^2-2x-3|=a$. Будуємо графік $y=|x^2-2x-3|$. Спочатку парабола $y=x^2-2x-3$. Вершина: $x_0=1$, $y_0=-4$. Нулі: $x=-1$, $x=3$. Після відбиття вершина $(1;-4)$ стає локальним максимумом $(1;4)$. Три корені — коли пряма проходить через максимум, тобто $a=4$.

Відповідь: $4$.

Пастки: $-4$ (ордината вершини без відбиття — коренів немає), $3$ (значення в точці $x=0$, не критичне).

Приклад 2. Кількість цілих значень a

Умова: Знайдіть кількість цілих значень $a$, при яких рівняння $x^2-6|x|+5=a$ має рівно чотири корені.

Розв'язання: Відокремлюємо: $x^2-6|x|+5=a$. Графік $y=x^2-6|x|+5$ — $y=f(|x|)$. Для $x\ge 0$: $y=x^2-6x+5$, вершина $(3;-4)$, нулі $x=1$, $x=5$. Після відбиття — мінімуми $(\pm 3;-4)$, максимум $(0;5)$.

Чотири корені при $-4<a<5$. Цілі $a$: $-3,-2,-1,0,1,2,3,4$ — усього $8$.

Відповідь: $8$.

Пастка: $10$ — якщо включити кінці (при $a=5$ три корені, при $a=-4$ два).

Приклад 3. Кусково задана функція

Умова: $f(x)=x+3$ при $x<0$, $f(x)=x^2-4x+3$ при $x\ge 0$. Знайдіть суму цілих $a$, при яких $f(x)=a$ має три корені.

Розв'язання: Ліва частина — пряма $y=x+3$ при $x<0$, точка $(0;3)$ виколота. Права — парабола, $f(0)=3$ (зафарбована), вершина $(2;-1)$. Три корені при $-1<a<3$. Цілі: $0,1,2$. Сума: $3$.

Відповідь: $3$.

Пастка: $6$ — зарахували $a=3$, але коренів два, бо виколота точка не дає кореня.

Приклад 4. Сімейство похилих прямих

Умова: Знайдіть найменше ціле значення $b$, при якому $|x-3|=0,5x+b$ має два корені.

Розв'язання: Ліва частина — галочка $y=|x-3|$, вершина $(3;0)$. Права — сімейство прямих $y=0,5x+b$. Граничне положення — пряма через вершину: $0=0,5\cdot 3+b$, $b=-1,5$. Два корені при $b>-1,5$. Найменше ціле: $-1$.

Відповідь: $-1$.

Пастка: $-2$ — округлили $-1,5$ вниз, але при $b=-2$ коренів немає.

• Будують ескіз неточно біля точок зламу й вершин: неправильна ордината вершини змінює всю відповідь. Завжди обчислюй координати вершин, нулів і точок стику.

• Не відокремлюють параметр і намагаються будувати графік, що містить $a$. Пам'ятай: спочатку запиши рівняння у вигляді $f(x)=a$.

• На рівні вершини чи локального максимуму не помічають, що пряма дотикається до графіка лише в одній точці, а не перетинає у двох.

• Зараховують виколоту точку кусково заданої функції як корінь. Виколота точка не належить графіку, тому кореня не дає.

• Плутають графіки $y=|f(x)|$ і $y=f(|x|)$. Перший відбиває нижню частину вгору, другий — праву частину вліво.

• Рахують цілі значення $a$ на відкритому проміжку разом з його кінцями. Якщо проміжок $-4<a<5$, то $-4$ і $5$ не входять.

«Графічний метод» і «рівняння, нерівності та системи з параметрами» — лише профільний рівень (П) теми 2.1 програми НМТ з математики.

На НМТ це позиція 22: коротка відповідь, 0 або 2 бали без часткових балів. Відповідь — значення параметра, сума чи кількість цілих значень, записані десятковим дробом.

У демоваріанті 2026 кусково задана функція трапилася в № 19 (значення функції та її похідної), тож уміння будувати її ескіз знадобиться й там.

Стратегія: у чернетці будуй графік за ключовими точками й складай таблицю «рівень a — кількість коренів». Граничні значення a перевіряй підстановкою.

• Відокрем параметр: $f(x)=a$.

• Кількість коренів = кількість точок перетину графіка $y=f(x)$ з прямою $y=a$.

• Критичні рівні — ординати вершин, точок зламу, стиків і виколотих точок.

• $y=|f(x)|$ — нижню частину відбиваємо вгору; $y=f(|x|)$ — праву частину відбиваємо вліво.

• Виколота точка кореня не дає.

• Якщо параметр не відокремлюється — сімейство прямих і його граничні положення.