Геометричний зміст похідної й дотична

Уяви, що ти їдеш на велосипеді з гори. Дорога звивається, і в кожній точці траси ти можеш визначити, куди саме дивиться переднє колесо — це напрям руху в цю мить. У математиці таким «напрямом» графіка функції в заданій точці є дотична.

Дотичною до графіка функції y = f(x) у точці (x₀; f(x₀)) називають граничне положення січної, яка проходить через цю точку та сусідню точку графіка, коли сусідня точка необмежено наближається до точки дотику. Іншими словами, якщо провести пряму через дві точки графіка й почати зсувати другу точку до першої, січна повертатиметься й у границі стане дотичною.

Геометричний зміст похідної

Найважливіше твердження цього юніта звучить так:

Значення похідної функції в точці x₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою x₀: f′(x₀) = k = tg α, де k — кутовий коефіцієнт дотичної, а α — кут між дотичною та додатним напрямом осі Ox (0° ≤ α < 180°, α ≠ 90°).

Це й називають геометричним змістом похідної. Запам'ятай: кутовий коефіцієнт дотичної — це не значення функції, а значення її похідної в точці дотику.

Знак похідної та напрям дотичної

За знаком f′(x₀) можна визначити, як розташована дотична:

• f′(x₀) > 0 — дотична утворює гострий кут з додатним напрямом осі Ox і йде вгору зліва направо.

• f′(x₀) < 0 — дотична утворює тупий кут з додатним напрямом осі Ox і йде вниз зліва направо.

• f′(x₀) = 0 — дотична горизонтальна, паралельна осі Ox.

Зауваж: якщо похідна f′(x₀) існує, дотична не вертикальна (для α = 90° значення tg α не існує). Вертикальна дотична, як у y = ∛x у точці 0, означає, що похідної в цій точці немає.

Приклад: знаходимо кутовий коефіцієнт

Розглянемо функцію f(x) = x² − 3x і точку x₀ = 2.

1. Знаходимо похідну: f′(x) = 2x − 3.

2. Обчислюємо значення похідної в точці: f′(2) = 2·2 − 3 = 1.

3. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної k = 1, а кут нахилу α = 45°, оскільки tg 45° = 1.

Обчислення f(2) = 4 − 6 = −2 дає ординату точки дотику (2; −2), але це зовсім не кутовий коефіцієнт. Не плутай значення функції зі значенням похідної!

Чи може дотична перетинати графік?

Так, дотична може мати з графіком функції інші спільні точки, крім точки дотику. Наприклад, дотична y = 3x − 2 до графіка y = x³ у точці (1; 1) перетинає графік також у точці x = −2. Переконайся: x³ − 3x + 2 = (x − 1)²(x + 2) — корінь x = 1 подвійний (точка дотику), а x = −2 — звичайне перетинання.

Кут нахилу дотичної α — це кут між дотичною прямою та додатним напрямом осі Ox. Він завжди вимірюється від осі Ox до дотичної проти годинникової стрілки. Оскільки f′(x₀) = tg α, то за відомим значенням похідної можна визначити кут нахилу, користуючись таблицею значень тангенса.

Таблиця відповідності: похідна → кут

Для НМТ достатньо знати сім ключових значень:

Для тупих кутів (α > 90°) використовуй формулу зведення: tg(180° − β) = −tg β. Вона є в довідкових матеріалах НМТ. Наприклад, tg 135° = tg(180° − 45°) = −tg 45° = −1.

Покрокові приклади

Розглянемо три приклади — від від'ємної похідної до додатної.

Приклад А. f(x) = (1/3)x³ − 2x, x₀ = 1. Знаходимо похідну: f′(x) = x² − 2. Тоді f′(1) = 1 − 2 = −1. Оскільки tg α = −1, то α = 135° (тупий кут).

Приклад Б. f(x) = √3 · ln x, x₀ = 1. Похідна: f′(x) = √3 · (1/x). f′(1) = √3 · 1 = √3. Отже, tg α = √3, тому α = 60° (гострий кут).

Приклад В. f(x) = 2√x, x₀ = 3. Запишемо f(x) = 2x^(1/2). Похідна: f′(x) = 2 · (1/2)x^(−1/2) = 1/√x. f′(3) = 1/√3 = √3/3. Отже, α = 30°.

Важливі застереження

• Кут не дорівнює похідній. З f′(x₀) = 1 випливає α = 45°, а не «α = 1». Похідна — число, кут — градуси.

• Нетабличне значення. Якщо f′(x₀) = 2, то кут гострий, але точне його значення за таблицею не визначити — кажемо: «гострий кут, тангенс якого дорівнює 2».

• Кут нахилу 45° дає f′(x₀) = 1, кут 0° — f′(x₀) = 0, кут 30° — f′(x₀) = √3/3 тощо. Завжди йди від похідної до кута через рівність tg α = f′(x₀).

Окремо нагадаємо: значення tg 0°, tg 30°, tg 45°, tg 60° та формула tg(180° − α) є в довідкових матеріалах НМТ, а от сам геометричний зміст похідної f′(x₀) = tg α — ні. Його треба знати напам'ять.

Один із типів завдань на геометричний зміст похідної: на рисунку зображено графік функції y = f(x) та дотичну до нього в точці з абсцисою x₀. Треба знайти f′(x₀). Формула функції при цьому не дається — вона й не потрібна.

Алгоритм дій

1. Знайди на дотичній дві точки, що потрапляють у вузли сітки. Вузол сітки — це перетин ліній координатної сітки, де координати — цілі числа або легко визначувані дроби. Чим далі одна від одної розташовані ці точки, тим точніший результат.

2. Обчисли кутовий коефіцієнт за формулою: k = Δy/Δx = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

3. Перевір знак: якщо дотична йде вгору зліва направо — k > 0; якщо дотична йде вниз зліва направо — k < 0.

Результат k і є шуканим значенням f′(x₀).

Приклад 1: дотична йде вгору

На рисунку дотична проходить через точки (−1; −2) і (3; 4). Обидві точки — вузли сітки.

Δy = 4 − (−2) = 6; Δx = 3 − (−1) = 4.

k = 6/4 = 1,5 = 3/2. Дотична йде вгору, тож знак додатний. Отже, f′(x₀) = 1,5.

Приклад 2: дотична йде вниз

Дотична проходить через точки (0; 5) і (2; 1).

Δy = 1 − 5 = −4; Δx = 2 − 0 = 2.

k = −4/2 = −2. Дотична йде вниз — знак від'ємний. Отже, f′(x₀) = −2.

Важливо: формула функції не потрібна. f′(x₀) визначає лише нахил дотичної. Точки графіка, що не лежать на дотичній, не використовуй — вони можуть збити з правильного шляху.

Прямокутний трикутник під дотичною

Можна міркувати й геометрично. Уяви прямокутний трикутник, гіпотенуза якого — відрізок дотичної між двома вибраними точками, а катети паралельні осям. Довжина горизонтального катета — це |Δx|, вертикального — |Δy|. Тоді тангенс гострого кута між дотичною та віссю Ox дорівнює |Δy|/|Δx|. Знак (плюс чи мінус) додаємо за напрямом дотичної: вгору — плюс, униз — мінус.

Перевір масштаб клітинок на осях! Іноді одна клітинка по осі Ox відповідає 1, а по осі Oy — 2. Тоді Δy треба рахувати з урахуванням ціни поділки.

У цьому розділі ти навчишся знаходити точку, у якій дотична має заданий нахил, а також складати рівняння дотичної.

Паралельні прямі — рівні кутові коефіцієнти

Якщо дві прямі паралельні, то їхні кутові коефіцієнти рівні. Тому, щоб дотична до графіка f(x) була паралельна заданій прямій y = kx + b, потрібно, щоб f′(x₀) = k. Число b (вільний член) у цій умові не бере участі!

Приклад. Дотична до графіка f(x) = x² + x паралельна прямій y = 5x − 1. Знайдемо абсцису точки дотику. Похідна: f′(x) = 2x + 1. Прирівнюємо до кутового коефіцієнта прямої (k = 5): 2x₀ + 1 = 5, звідки x₀ = 2.

Якщо дотична має бути паралельною осі Ox, то її кутовий коефіцієнт дорівнює 0, отже f′(x₀) = 0.

Увага: таких точок може бути кілька. Для функції f(x) = x³ − 3x дотична паралельна осі Ox при 3x² − 3 = 0, тобто x₀ = ±1. Дотична з кутовим коефіцієнтом 9: 3x² − 3 = 9, звідки x₀ = ±2. Обидві відповіді правильні.

Рівняння дотичної

Рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою x₀ має вигляд:

y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀)

Це профільний рівень програми (позначений літерою П) — у довідкових матеріалах НМТ його немає, тому формулу треба запам'ятати.

Приклад: складаємо рівняння дотичної

Складемо рівняння дотичної до графіка f(x) = x² − 3x у точці x₀ = 2.

1. Знаходимо значення функції: f(2) = 2² − 3·2 = 4 − 6 = −2.

2. Знаходимо похідну: f′(x) = 2x − 3; f′(2) = 1.

3. Підставляємо у формулу: y = −2 + 1·(x − 2) = −2 + x − 2 = x − 4.

Перевірка. Точка дотику (2; −2) має задовольняти рівняння дотичної: 2 − 4 = −2. Усе вірно. Дотична y = x − 4 перетинає осі координат у точках (0; −4) і (4; 0).

У цьому розділі розв'яжемо чотири типові задачі НМТ на геометричний зміст похідної. Кожна супроводжується покроковим розв'язанням і поясненням, чому інші варіанти відповіді неправильні.

Приклад 1. Кут нахилу дотичної

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Під яким кутом до додатного напряму осі Ox нахилена дотична до графіка f(x) = (1/3)x³ − 2x у точці x₀ = 1?

Розв'язання. Знаходимо похідну: f′(x) = x² − 2. Обчислюємо значення в точці: f′(1) = 1 − 2 = −1. Отже, tg α = −1. За таблицею значень тангенса, tg 135° = −1. Відповідь: 135°.

Чому інші варіанти неправильні:

• 45° — учень забув знак мінус і взяв α = 45° для tg α = 1, не врахувавши, що похідна від'ємна.

• 120° — відповідає tg α = −√3, а не −1.

• 60° — відповідає tg α = √3 (додатне значення).

• 30° — відповідає tg α = √3/3 (додатне значення).

Приклад 2. Значення похідної за рисунком

Завдання (коротка відповідь — десятковий дріб). На рисунку зображено графік функції y = f(x) і дотичну до нього в точці з абсцисою x₀. Дотична проходить через вузли сітки (−3; 4) і (1; −2). Знайдіть f′(x₀).

Розв'язання. Беремо дві точки на дотичній: A(−3; 4) і B(1; −2). Обчислюємо: Δy = −2 − 4 = −6; Δx = 1 − (−3) = 4. Кутовий коефіцієнт: k = −6/4 = −1,5. Дотична йде вниз зліва направо, що підтверджує від'ємний знак. Отже, f′(x₀) = −1,5.

Типові пастки:

• 1,5 — учень узяв модуль, не звернувши уваги на напрям дотичної (забув знак мінус).

• −2/3 — учень переплутав Δy і Δx, обчисливши Δx/Δy замість Δy/Δx.

Приклад 3. Точка дотику із заданим нахилом

Завдання (коротка відповідь). Знайдіть абсцису точки графіка f(x) = x² − 5x + 3, у якій дотична паралельна прямій y = 3x + 7.

Розв'язання. Кутовий коефіцієнт заданої прямої k = 3. Умова паралельності: f′(x₀) = k. Знаходимо похідну: f′(x) = 2x − 5. Прирівнюємо: 2x₀ − 5 = 3, звідки 2x₀ = 8, x₀ = 4.

Типова пастка: учень прирівнює похідну не до k = 3, а до вільного члена b = 7: 2x₀ − 5 = 7 дає x₀ = 6. Пам'ятай: паралельність означає рівність кутових коефіцієнтів, а не вільних членів.

Приклад 4. Рівняння дотичної

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Укажіть рівняння дотичної до графіка f(x) = x³ − 2x у точці x₀ = 1.

Розв'язання. Знаходимо значення функції: f(1) = 1³ − 2·1 = 1 − 2 = −1. Знаходимо похідну: f′(x) = 3x² − 2; f′(1) = 3·1² − 2 = 3 − 2 = 1. Підставляємо у формулу y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀): y = −1 + 1·(x − 1) = −1 + x − 1 = x − 2.

Чому інші варіанти неправильні:

• y = x − 1 — пропущено доданок f(x₀): взяли лише f′(x₀)(x − x₀) = 1·(x − 1) = x − 1.

• y = −x + 2 — переплутали f(x₀) і f′(x₀): підставили f(x₀) = −1 як кутовий коефіцієнт, а f′(x₀) = 1 як значення функції.

• y = x — замість (x − x₀) написали (x + x₀): −1 + 1·(x + 1) = x.

• y = 3x − 4 — неправильно знайдено похідну: f′(x) = 3x² (забули похідну від −2x), тоді f′(1) = 3, і рівняння y = −1 + 3(x − 1) = 3x − 4.

Розглянемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на геометричний зміст похідної. Кожну з них варто запам'ятати, щоб не втратити бали на НМТ.

• Плутають f(x₀) і f′(x₀). Найчастіша помилка: за кутовий коефіцієнт дотичної беруть значення функції f(x₀) замість значення похідної f′(x₀). Наприклад, для f(x) = x² − 3x у точці x₀ = 2 помилково пишуть k = f(2) = −2 замість правильного k = f′(2) = 1.

• Ототожнюють кут із похідною. Пишуть «α = 1», коли f′(x₀) = 1. Насправді f′(x₀) = tg α, тому з f′(x₀) = 1 випливає α = 45°, а не «α = 1». Для f′(x₀) = −1 часто пишуть 45° або −45° замість правильного 135°.

• За рисунком рахують Δx/Δy замість Δy/Δx. Або втрачають мінус для спадної дотичної. Якщо дотична йде вниз зліва направо, Δy від'ємне, і це треба враховувати.

• Не враховують масштаб сітки на рисунку. Одна клітинка по осі Ox може дорівнювати 1, а по осі Oy — 2 або 0,5. Завжди перевіряй ціну поділки на осях, перш ніж обчислювати Δy і Δx.

• Для дотичної, паралельної прямій y = kx + b, прирівнюють f′(x₀) до b. Або шукають точку перетину графіка з прямою. Правильно: паралельність означає рівність кутових коефіцієнтів, тобто f′(x₀) = k. Вільний член b не впливає на паралельність.

• У рівнянні дотичної пропускають доданок f(x₀) або пишуть (x + x₀). Правильна формула: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). Забути f(x₀) — означає отримати пряму, яка не проходить через точку дотику. А знак «плюс» замість «мінус» у дужках зміщує дотичну в інший бік.

Тема «Геометричний зміст похідної» належить до розділу 3.3 програми НМТ з математики. У ній зазначено: «знаходити кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в точці» та «розв'язувати задачі з використанням геометричного … змісту похідної». Рівняння дотичної належить до профільного рівня (позначка П).

Геометричного змісту похідної f′(x₀) = tg α в довідкових матеріалах НМТ немає — його треба знати напам'ять. Натомість у довідці є таблиця значень тангенса для кутів 0°, 30°, 45°, 60° і формула зведення tg(180° − α) = −tg α. Рівняння дотичної також відсутнє в довідці.

У демоваріанті НМТ-2026 окремого завдання на дотичну немає. Похідна з'являється в завданні 19 (коротка відповідь, 0 або 2 бали). Уміння цього юніта тренуємо у формах:

• вибір однієї відповіді з п'яти (0 або 1 бал);

• коротка відповідь десятковим дробом (0 або 2 бали).

Аналіз програми (експертна оцінка, не дані УЦОЯО) відносить похідну та її застосування до найважчих позицій тесту. Тому варто приділити цій темі особливу увагу під час підготовки.

Стратегія для рисунка

Якщо в завданні дано рисунок дотичної:

1. Знайди на дотичній два вузли сітки (точки з цілими координатами).

2. Обчисли Δy/Δx — це і є f′(x₀).

3. Звіри знак з напрямом дотичної: вгору — плюс, униз — мінус.

• f′(x₀) = k = tg α — нахил дотичної в точці x₀.

• f′(x₀) > 0 — гострий кут, дотична йде вгору; f′(x₀) < 0 — тупий кут, дотична йде вниз; f′(x₀) = 0 — дотична горизонтальна.

• За рисунком дотичної: знайди дві точки на дотичній, обчисли k = Δy/Δx зі знаком.

• Дотична паралельна прямій y = kx + b ⇒ f′(x₀) = k.

• Рівняння дотичної: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).

• Геометричного змісту похідної й рівняння дотичної в довідці НМТ немає — вивчи напам'ять.