Формули зведення

Формули зведення — це інструмент, який дає змогу виразити тригонометричну функцію будь-якого кута через функцію гострого кута α (від 0° до 90°). Вони працюють для аргументів виду π/2 ± α, π ± α, 3π/2 ± α, 2π − α (у градусах — 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α, 360° − α). Головне — щоразу відповісти на два запитання: чи змінюється назва функції, і який знак має результат.

Правило «кивка головою»

Уявімо одиничне коло. Кути π (180°) і 2π (360°) лежать на горизонтальній осі (вісь Ox). Кути π/2 (90°) і 3π/2 (270°) — на вертикальній осі (Oy). Мнемонічне правило звучить так: якщо аргумент починається з точки на вертикальній осі (π/2, 3π/2), то назва функції змінюється — синус переходить у косинус і навпаки, тангенс у котангенс і навпаки. Це наче «кивок головою» вздовж вертикалі: «так, змінюємо». Якщо ж аргумент починається з точки на горизонтальній осі (π, 2π), назва залишається тією самою — «голова хитає вбік: ні».

Що таке кофункція

Кофункція — це функція, з якою початкова утворює пару: для синуса кофункцією є косинус, для косинуса — синус, для тангенса — котангенс. У межах рівня стандарту НМТ тангенс і котангенс з формулами зведення використовують обмежено, тому найважливіша пара — sin ↔ cos.

Формули зведення в довідці НМТ

У довідці, яку видають на НМТ, є формули зведення лише для аргументів 90° + α і 180° − α: sin(90° + α) = cos α, cos(90° + α) = −sin α, tg(90° + α) = −1/tg α, sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, tg(180° − α) = −tg α. Решту виводять самостійно за мнемонічним правилом. Тому важливо не зазубрити таблицю, а навчитися міркувати: визначити, чи змінюється назва, а потім — знак.

Коли ми визначили, чи змінюється назва функції, наступний крок — установити знак результату. Для цього завжди вважають, що кут α — гострий (від 0° до 90°). Тоді аргумент формули зведення потрапляє в одну з чотирьох чвертей, і знак результату збігається зі знаком вихідної (початкової) функції в цій чверті.

Чверті аргументів

Ось як розташовуються аргументи за гострого α:

Важливо: Знак беремо від вихідної функції, а не від тієї, яка вийшла після зміни назви. Наприклад, у cos(π + α) вихідна функція — косинус. Косинус у III чверті від'ємний, тому cos(π + α) = −cos α.

Основні формули зведення

Застосувавши обидва кроки (назва й знак), отримуємо найважливіші формули:

Формула tg(π/2 + α) = −ctg α містить котангенс. У довідці НМТ її подано без котангенса: tg(90° + α) = −1/tg α, тож її теж варто вміти застосовувати. Проте якщо в завданні трапиться котангенс, діє те саме правило: для π/2 і 3π/2 назва змінюється (tg ↔ ctg), а знак визначають за чвертю.

Покроковий алгоритм

1. Визнач, чи містить аргумент π/2 або 3π/2 — якщо так, зміни назву на кофункцію. Якщо π або 2π — залиш назву без змін.

2. Уяви α гострим (0° < α < 90°) і визнач, у яку чверть потрапляє аргумент.

3. Згадай знак вихідної функції в цій чверті та постав його перед результатом.

Зведення кутів, більших за 90°

Кут, більший за прямий, подають як 180° ± α, 360° − α (або 90° + α, 270° ± α), де α — гострий кут. Після цього застосовують формули зведення.

Той самий кут — різні способи

Один і той самий кут можна подати по-різному, і результат має збігатися. Для sin 120°:

• sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2

• sin(90° + 30°) = cos 30° = √3/2

Обидва способи дають √3/2 — це добра перевірка правильності.

Великі й від'ємні кути

Якщо кут більший за 360° або від'ємний, спершу використовують періодичність тригонометричних функцій. Синус і косинус мають період 360° (2π), тангенс — 180° (π).

• Кут 750°: Відкидаємо повні оберти: 750° = 360°·2 + 30°. Отже, sin 750° = sin 30° = 1/2.

• Від'ємний аргумент: sin(α − π) = −sin(π − α) = −sin α. Спочатку виносимо мінус через непарність синуса: sin(α − π) = −sin(π − α), потім зводимо sin(π − α) = sin α. Підсумок: sin(α − π) = −sin α.

Спрощення виразів

Коли вираз містить кілька доданків із формулами зведення, кожен зводять окремо, а потім спрощують.

• Приклад А: sin(π + α) + cos(π/2 − α) = −sin α + sin α = 0

• Приклад Б: cos(π − α) · cos(2π − α) = (−cos α) · (cos α) = −cos²α

• Приклад В: sin(π/2 + α) − cos(π + α) = cos α − (−cos α) = cos α + cos α = 2 cos α

Порада: Записуй проміжний результат для кожного доданка окремо. Це дасть змогу не заплутатися в знаках.

Розгляньмо типові завдання НМТ, які перевіряють уміння застосовувати формули зведення.

Приклад 1. Спрощення суми

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Спростити вираз: sin(π + α) + cos(π/2 − α).

Розв'язання

1. sin(π + α): π — горизонтальна вісь, назва не змінюється. Аргумент π + α — III чверть, синус там від'ємний. Отже, sin(π + α) = −sin α.

2. cos(π/2 − α): π/2 — вертикальна вісь, назва змінюється: cos → sin. Аргумент π/2 − α — I чверть, косинус там додатний. Отже, cos(π/2 − α) = sin α.

3. Додаємо: −sin α + sin α = 0.

Відповідь: 0.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2 sin α — не змінено знак у sin(π + α) (має бути −sin α, а взято +sin α).

• −2 sin α — перший доданок зведено правильно (−sin α), а другому помилково приписано знак «−»: cos(π/2 − α) = sin α, а не −sin α.

• cos α − sin α — не змінено назву для другого доданка (cos(π/2 − α) = sin α, а не cos α).

• 1 — не відповідає жодному проміжному обчисленню.

Приклад 2. Обчислення cos 300°

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Обчислити cos 300°.

Розв'язання

1. Подаємо кут як 300° = 360° − 60°. Аргумент 360° − α — IV чверть.

2. Формула: cos(2π − α) = cos α (назва не змінюється, у IV чверті cos > 0).

3. Отже, cos 300° = cos 60° = 1/2.

Відповідь: 1/2.

Чому інші варіанти неправильні:

• −1/2 — помилково взято знак синуса в IV чверті (sin < 0), а треба знак косинуса (cos > 0).

• √3/2 — це cos 30°, а не cos 60° (неправильно вибрано гострий кут).

• −√3/2 — подвійна помилка: неправильний кут і неправильний знак.

• 0 — не відповідає жодному зведенню.

Приклад 3. Логічні пари

Завдання (логічні пари 1–3 → А–Д). Установи відповідність між виразом (1–3) і тотожним йому виразом (А–Д):

Розв'язання

1. cos(π + α): π — назва та сама. III чверть, cos < 0 → cos(π + α) = −cos α. Отже, 1 → А.

2. cos(3π/2 − α): 3π/2 — назва змінюється cos → sin. III чверть, cos < 0 → cos(3π/2 − α) = −sin α. Отже, 2 → Б.

3. tg(π − α): π — назва та сама. II чверть, tg < 0 → tg(π − α) = −tg α. Отже, 3 → В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В.

Приклад 4. Добуток значень

Завдання (вибір однієї відповіді з п'яти). Обчислити sin 150° · cos 240°.

Розв'язання

1. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2.

2. cos 240° = cos(180° + 60°) = −cos 60° = −1/2.

3. Добуток: (1/2) · (−1/2) = −1/4.

Відповідь: −1/4.

Чому інші варіанти неправильні:

• 1/4 — пропущено знак «мінус» у cos 240°.

• −3/4 — для обох множників узято значення не того гострого кута: (√3/2) · (−√3/2) = −3/4.

• −√3/4 — узято cos 240° = −√3/2 замість −1/2: (1/2) · (−√3/2) = −√3/4.

• √3/4 — подвійна помилка в cos 240°: хибне значення (√3/2 замість 1/2) і пропущений знак «мінус».

• Узято знак нової функції замість вихідної. Наприклад, cos(π/2 + α) = sin α. Тут помилка: π/2 — назва змінюється (cos→sin), але аргумент π/2 + α — II чверть, cos там від'ємний. Правильно: cos(π/2 + α) = −sin α. Завжди став знак тієї функції, яка була на початку (у цьому прикладі — косинуса), а вже потім записуй кофункцію.

• Змінено назву функції для π чи 2π. Наприклад, sin(π − α) = cos α. Правило: π і 2π — горизонтальна вісь, назва залишається. Правильно: sin(π − α) = sin α.

• Не змінено назву для π/2 чи 3π/2. Наприклад, sin(3π/2 − α) = −sin α. Тут π/2 і 3π/2 — вертикальна вісь, назва мусить змінитися. Правильно: sin(3π/2 − α) = −cos α.

• Чверть аргументу визначено, вважаючи α тупим кутом. Правило «α — гострий кут» діє завжди, навіть якщо в умові α = 150°. Ми уявляємо α гострим (наприклад, 30°), визначаємо чверть аргументу, а формула працює для будь-якого α.

• У cos(−α) змінено знак. Наприклад, cos(−60°) = −1/2. Помилка: косинус — парна функція, cos(−α) = cos α. Отже, cos(−60°) = cos 60° = 1/2. Формули зведення тут не працюють — це властивість парності.

• Великий кут зведено без відкидання повних обертів 360°k. Наприклад, відкидають лише один оберт (sin 750° = sin 390°) і далі намагаються застосувати формули зведення до кута 390°. Спочатку треба відкинути всі повні оберти: 750° = 2·360° + 30°, тож sin 750° = sin 30° = 1/2. Лише якщо лишився кут > 90°, застосовують формули зведення.

Формули зведення належать до теми 1.3 програми НМТ — «Раціональні, ірраціональні, степеневі, показникові, логарифмічні, тригонометричні вирази та їх перетворення». Вони можуть зустрітися в завданнях різних форматів.

Формати завдань

• Завдання № 4–15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д). 0 або 1 бал. Пропонують спростити вираз або обчислити значення тригонометричної функції. Типові приклади: sin(π + α) + cos(π/2 − α), cos 300°, sin 150° · cos 240°.

• Завдання № 17 — логічні пари. Три вирази (1–3) потрібно зіставити з тотожними виразами або числовими значеннями (А–Д, дві букви зайві). 0–3 бали. Наприклад, cos(π + α), cos(3π/2 − α), tg(π − α) та їхні спрощені форми.

Довідкові матеріали

У довідці, яку ти отримаєш на НМТ, є формули зведення лише для 90° + α і 180° − α:

• sin(90° + α) = cos α

• cos(90° + α) = −sin α

• tg(90° + α) = −1/tg α

• sin(180° − α) = sin α

• cos(180° − α) = −cos α

• tg(180° − α) = −tg α

Таблиця значень тригонометричних функцій містить кути 0, π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°), π (180°), 3π/2 (270°) і 2π (360°). Тому значення для кутів 120°, 225°, 300°, 330° тощо доведеться щоразу отримувати через формули зведення.

Стратегія виконання

1. Кожен доданок (або множник) опрацьовуй окремо: спочатку визнач, чи змінюється назва, потім — знак за чвертю.

2. Запиши проміжний результат після зведення для кожної частини.

3. Тільки після цього виконуй додавання, віднімання або множення отриманих одночленів.

4. Для великих кутів (> 360°) спершу відкинь всі повні оберти 360°k, потім зводь залишок.

5. Якщо не впевнений у відповіді, перевір її, обравши конкретне значення α (наприклад, α = 30°) і порівнявши числові результати обох частин.

• Назва функції: для π і 2π (горизонтальна вісь) назва залишається sin→sin, cos→cos; для π/2 і 3π/2 (вертикальна вісь) змінюється на кофункцію: sin↔cos, tg↔ctg.

• Знак: визначається за знаком вихідної функції в тій чверті, куди потрапляє аргумент. α завжди вважають гострим кутом.

• Великі кути (>360°): спершу відкинути всі повні оберти 360°k, потім, якщо потрібно, застосувати формули зведення до залишку.

• Довідка НМТ: містить формули зведення лише для 90° + α і 180° − α (sin, cos, tg). Усі інші формули зведення виводять за мнемонічним правилом.

• Спрощення: кожен доданок зводять окремо, записують проміжний результат, потім виконують додавання/множення.

• Перевірка: обери конкретне значення α, наприклад 30°, та обчисли числове значення вихідного виразу й отриманого — вони мають збігтися.