Формули трикутника з довідки НМТ

У довідці НМТ з математики є окремий блок «Трикутник». Щоб ним користуватися, треба розуміти позначення, які там використано. Сторони трикутника позначено малими літерами a, b, c — кожна лежить навпроти відповідного кута: сторона a — проти кута α при вершині A, сторона b — проти кута β при вершині B, сторона c — проти кута γ при вершині C. Висота, проведена до сторони a, позначається hₐ. Півпериметр — це половина суми всіх сторін: p = (a + b + c)/2. Літерою R позначено радіус кола, описаного навколо трикутника. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює 180°: α + β + γ = 180°.

Теорема косинусів

У довідці теорема косинусів записана тільки для сторони a: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$. Це означає, що квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Якщо тобі потрібно знайти іншу сторону, просто перестав букви за тим самим зразком. Наприклад, для сторони c маємо $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$, а для сторони b — $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$.

Теорему косинусів застосовують у двох типових ситуаціях. По-перше, коли відомі дві сторони й кут між ними — тоді знаходять третю сторону. По-друге, коли відомі всі три сторони — тоді з тієї самої формули виражають косинус кута: $\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

Приклади застосування теореми косинусів

Нехай у трикутнику $b=5$, $c=8$, $\alpha =60^{\circ }$. Тоді $a^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=89-80\cdot 0,5=89-40=49$, отже $a=7$.

Інший приклад: сторони трикутника дорівнюють 3, 5, 7. Знайдемо кут проти сторони 7 (позначимо його $\gamma$). За формулою $\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{9+25-49}{2\cdot 3\cdot 5}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$. Отже $\gamma =120^{\circ }$.

Теорема синусів

У довідці теорема синусів має вигляд $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$. Відношення сторони до синуса протилежного кута є сталим і дорівнює подвоєному радіусу описаного кола. Цю теорему використовують, коли відома сторона й два кути (тоді знаходять іншу сторону) або коли відома сторона й протилежний кут (тоді знаходять радіус описаного кола). Наприклад, якщо $a=6$, $\alpha =30^{\circ }$, то $2R=\frac{6}{\sin 30^{\circ }}=\frac{6}{0,5}=12$, звідки $R=6$.

Прямокутний трикутник — окремий випадок довільного трикутника, для якого в довідці є окремий блок формул. Гіпотенуза (найдовша сторона, що лежить проти прямого кута) позначається літерою c, а катети — a і b. Основним співвідношенням є теорема Піфагора: $a^2+b^2=c^2$.

Тригонометричні співвідношення

У довідці для гострого кута α прямокутного трикутника записано: $\frac{b}{c}=\cos \alpha$, $\frac{a}{c}=\sin \alpha$, $\frac{a}{b}=\mathrm{tg}\alpha$. Тут a — катет, протилежний куту α, а b — прилеглий катет. Запам'ятай: синус — це відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус — прилеглого катета до гіпотенузи, тангенс — протилежного катета до прилеглого.

Як вибрати формулу

Якщо відомі два катети або катет і гіпотенуза, застосовуй теорему Піфагора. Якщо відомі гострий кут і одна сторона, використовуй синус, косинус або тангенс залежно від того, який елемент треба знайти. Значення синуса, косинуса й тангенса для кутів 30°, 45° і 60° бери з тригонометричної таблиці довідки.

Приклади

1. Гіпотенуза дорівнює 10, кут $\alpha =30^{\circ }$. Катет, протилежний куту $\alpha$: $a=c\cdot \sin \alpha =10\cdot \sin 30^{\circ }=10\cdot 0,5=5$. Прилеглий катет: $b=c\cdot \cos \alpha =10\cdot \cos 30^{\circ }=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

2. Прилеглий катет дорівнює 12, $\mathrm{tg}\alpha =0,75$. Тоді протилежний катет $a=b\cdot \mathrm{tg}\alpha =12\cdot 0,75=9$. Гіпотенузу знаходимо за теоремою Піфагора: $c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.

Прямокутний трикутник як окремий випадок довільного

Якщо в довільному трикутнику кут $\gamma =90^{\circ }$, то теорема косинусів для сторони c дає $c^2=a^2+b^2-2ab\cos 90^{\circ }=a^2+b^2$, оскільки $\cos 90^{\circ }=0$. Це й є теорема Піфагора. А з теореми синусів маємо $\frac{c}{\sin 90^{\circ }}=2R$, тобто $c=2R$, звідки $R=\frac{c}{2}$ — радіус описаного кола прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи.

У довідці НМТ є три формули для площі трикутника. Кожна з них зручна в певній ситуації. Розгляньмо їх по черзі.

Формули з довідки

Перша формула: $S=\frac{1}{2}a\cdot h_a$ — площа дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони. Друга формула: $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$ — площа дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними. Третя формула (Герона): $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, де $p$ — півпериметр.

Алгоритм вибору

Відома висота → бери $S=\frac{1}{2}a\cdot h_a$. Відомі дві сторони й кут між ними → бери $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$. Відомі три сторони → бери формулу Герона. Якщо кут не лежить між двома відомими сторонами, спершу знайди потрібний кут або сторону за теоремою синусів чи косинусів.

Вправи

1. Сторона $a=12$, висота до неї $h_a=5$. Тоді $S=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5=30$.

1. Сторони $b=6$, $c=10$, кут між ними $\alpha =150^{\circ }$. Маємо $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 10\cdot \sin 150^{\circ }$. За формулою зведення $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=0,5$, отже $S=30\cdot 0,5=15$.

1. Сторони трикутника 13, 14, 15. Півпериметр $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. За формулою Герона: $S=\sqrt{21\cdot (21-13)\cdot (21-14)\cdot (21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$.

Висота через площу

З формули $S=\frac{1}{2}a\cdot h_a$ можна виразити висоту: $h_a=\frac{2S}{a}$. Наприклад, у трикутнику зі сторонами 13, 14, 15 площа дорівнює 84. Висота до сторони 14: $h=\frac{2\cdot 84}{14}=\frac{168}{14}=12$.

У довідці НМТ є лише один радіус — R (радіус описаного кола), і то тільки в теоремі синусів. Радіуса вписаного кола в довідці немає взагалі. Обидві формули, які знадобляться на НМТ, треба знати напам'ять або вміти швидко вивести.

Радіус вписаного кола: r = S/p

Радіус вписаного кола r — це відстань від центра кола (точки перетину бісектрис трикутника) до кожної зі сторін. Формула $r=\frac{S}{p}$ випливає з того, що площа трикутника дорівнює добутку півпериметра на радіус вписаного кола: $S=p\cdot r$. Її немає в довідці, тому запам'ятай: радіус вписаного кола — це площа, поділена на півпериметр.

Радіус описаного кола: R = abc/(4S)

У довідці радіус описаного кола R можна знайти з теореми синусів: $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$, звідки $R=\frac{a}{2\sin \alpha }$. Однак часто зручнішою є формула $R=\frac{abc}{4S}$, якої в довідці також немає. Вона виводиться з $S=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$ і $\sin \alpha =\frac{a}{2R}$: підставляємо другий вираз у перший і отримуємо $S=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{a}{2R}=\frac{abc}{4R}$, звідки $R=\frac{abc}{4S}$. Цю формулу варто вивчити напам'ять.

Приклади обчислення

Для трикутника зі сторонами 13, 14, 15 ми вже знайшли $S=84$, $p=21$. Тоді $r=\frac{84}{21}=4$, а $R=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=8,125$.

Для прямокутного трикутника 6, 8, 10: $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$, $p=\frac{6+8+10}{2}=12$, отже $r=\frac{24}{12}=2$. Радіус описаного кола: $R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$ (половина гіпотенузи). Перевіримо за формулою $R=\frac{abc}{4S}=\frac{6\cdot 8\cdot 10}{4\cdot 24}=\frac{480}{96}=5$.

Як не сплутати r і R

Приклад 1. Теорема косинусів

У трикутнику ABC AB = 8, AC = 5, ∠A = 60°. Знайдіть BC.

Розв'язання. Сторона BC лежить проти кута A, тому позначимо її як a. Тоді $b=8$, $c=5$, $\alpha =60^{\circ }$. За теоремою косинусів: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha =64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=89-80\cdot 0,5=89-40=49$. Звідси $a=\sqrt{49}=7$.

Відповідь: 7.

Чому інші варіанти неправильні: $\sqrt{129}$ — взяли «+2bc cos α» замість мінуса; $\sqrt{89}$ — забули відняти останній доданок; 13 — просто додали обидві сторони; 49 — не добули квадратний корінь.

Приклад 2. Відповідність: трикутник — його площа

Установіть відповідність між трикутником (1–3) і його площею (А–Д).

1. Сторона 10 і висота до неї 7.

2. Сторони 8 і 9, кут між ними 30°.

3. Сторони 5, 5, 6.

Варіанти: А) 12, Б) 18, В) 35, Г) 36, Д) 70.

Розв'язання. Для трикутника 1: $S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 7=35$ (варіант В). Для трикутника 2: $S=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9\cdot \sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 72\cdot 0,5=18$ (варіант Б). Для трикутника 3: сторони 5, 5, 6 — рівнобедрений. $p=\frac{5+5+6}{2}=8$. За формулою Герона: $S=\sqrt{8\cdot (8-5)\cdot (8-5)\cdot (8-6)}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12$ (варіант А).

Дистрактори: Г) 36 — забули поділити на 2 у формулі $\frac{1}{2}bc\sin \alpha$; Д) 70 — узяли $a\cdot h_a$ без половини.

Приклад 3. Радіус описаного кола через теорему синусів

У трикутнику ABC BC = 9, ∠A = 45°. Знайдіть радіус описаного кола.

Розв'язання. Сторона BC лежить проти кута A, тому $a=9$, $\alpha =45^{\circ }$. За теоремою синусів: $\frac{a}{\sin \alpha }=2R$, отже $2R=\frac{9}{\sin 45^{\circ }}=\frac{9}{\sqrt{2}/2}=\frac{18}{\sqrt{2}}=9\sqrt{2}$. Звідси $R=\frac{9\sqrt{2}}{2}$.

Відповідь: $\frac{9\sqrt{2}}{2}$.

Чому інші варіанти неправильні: $9\sqrt{2}$ — прирівняли відношення до R, а не до 2R; $\frac{9}{2}$ — узяли sin 45° = 1; $\frac{9\sqrt{2}}{4}$ — поділили на 4 замість 2; $3\sqrt{3}$ — узяли sin 60° замість sin 45°.

Приклад 4. Радіус вписаного кола

Сторони трикутника дорівнюють 5, 12 і 13. Знайдіть радіус вписаного кола.

Розв'язання. Зауважимо, що $5^2+12^2=25+144=169=13^2$, отже трикутник прямокутний. Площа $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$. Півпериметр $p=\frac{5+12+13}{2}=15$. Радіус вписаного кола: $r=\frac{S}{p}=\frac{30}{15}=2$.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні: 6,5 — це радіус описаного кола (половина гіпотенузи); 1 — поділили площу на периметр, а не на півпериметр; 4 — довільне число; 30 — це площа, а не радіус.

• У теоремі косинусів беруть кут, що не лежить між відомими сторонами, або пишуть «+2bc cos α» замість мінуса. Правильно: кут обов'язково має бути між двома відомими сторонами, а знак — мінус.

• Забувають добути квадратний корінь: отримавши a² = 49, пишуть a = 49. Пам'ятай: теорема косинусів дає квадрат сторони, тому завжди добувай корінь.

• У теоремі синусів прирівнюють відношення a/sin α до R, а не до 2R. У довідці чітко написано: a/sin α = 2R. Щоб знайти R, поділи результат ще на 2.

• У формулі площі S = ½ bc sin α беруть кут, що не лежить між сторонами b і c. Кут має бути саме між тими сторонами, які перемножуєш.

• У формулу Герона підставляють периметр замість півпериметра. Півпериметр p — це половина суми сторін, а не вся сума.

• Плутають r = S/p і R = abc/(4S) або шукають ці формули в довідці — їх там немає. Запам'ятай: r — вписане коло (маленький радіус), R — описане (великий радіус).

• У прямокутному трикутнику плутають синус і косинус: sin α = a/c (протилежний катет до гіпотенузи), cos α = b/c (прилеглий катет до гіпотенузи).

Формули трикутника належать до двох тем програми НМТ: тема 5.3 (теорема Піфагора, співвідношення між сторонами й кутами прямокутного трикутника, теореми синусів і косинусів, вписане й описане кола) та тема 5.6 (формули площ трикутника).

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 2 перевіряє кути прямокутного трикутника на практичному рисунку, а № 10 — властивості медіани трикутника разом із площами. Обидва мають формат вибору однієї відповіді з п'яти, оцінюються в 0 або 1 бал.

Завдання № 18 демоваріанта — відповідність «логічні пари»: у ньому треба знайти відрізки прямокутної трапеції через теорему Піфагора. Кожна правильна пара дає 1 бал, максимум — 3 бали.

У довідці, яку ти отримаєш на тестуванні, є теореми косинусів і синусів з 2R, три формули площі й співвідношення прямокутного трикутника. Формул r = S/p і R = abc/(4S) у довідці немає — їх треба знати напам'ять.

Стратегія розв'язування: випиши в чернетці всі відомі елементи трикутника (сторони, кути, висоту), подивись, якого елемента бракує, і вибери формулу з довідки, яка пов'язує відоме з невідомим. Якщо в довідці формула записана для інших позначень, перестав букви відповідно до твоєї задачі.

• У довідці НМТ для трикутника є: півпериметр p, сума кутів 180°, теореми косинусів і синусів (= 2R), три формули площі, теорема Піфагора, sin, cos, tg.

• Теорему косинусів переписуй під свою сторону: кут має бути між двома відомими сторонами.

• Площа: відома висота → S = ½ a · hₐ; дві сторони й кут між ними → S = ½ bc sin α; три сторони → формула Герона.

• Радіус описаного кола: R = a/(2 sin α) з теореми синусів або R = abc/(4S) — напам'ять.

• Радіус вписаного кола: r = S/p — напам'ять, у довідці немає.

• r — вписане коло (дотикається до сторін), R — описане (проходить через вершини). Для прямокутного трикутника R = c/2.