Формули геометрії, яких немає в довідці НМТ

У довідкових матеріалах НМТ є три формули, пов'язані з колом: довжина кола L = 2πR, рівняння кола (x − a)² + (y − b)² = R² і площа круга S = πR². Усе інше — довжину дуги, площу сектора, властивості вписаних і центральних кутів, дотичну — треба знати напам'ять або вміти відновити з формул довжини кола й площі круга.

Довжина дуги

Дуга — це частина кола, що відповідає центральному куту n°. Якщо все коло має довжину 2πR і відповідає куту 360°, то дуга, що відповідає куту n°, становить частку n/360 від цієї довжини:

$$l=\frac{2\pi R\cdot n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}$$

Якщо кут задано в радіанах (α), формула ще простіша: l = Rα, бо повне коло — це 2π радіан.

Площа сектора

Сектор — це частина круга, обмежена двома радіусами й дугою. Його площа — та сама частка n/360 від площі всього круга:

$$S_{\text{сект}}=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{1}{2}{R}^2\alpha =\frac{1}{2}lR$$

Останній вираз ½ lR зручний, коли відома довжина дуги, а не кут.

Площа сегмента (профільний рівень)

Сегмент — частина круга, відтята хордою. Для кута, меншого за 180°, площа сегмента дорівнює площі сектора мінус площа трикутника, утвореного двома радіусами й хордою. Це позначено в програмі НМТ як профільний рівень (П), тобто може трапитися в завданнях підвищеної складності.

Приклад

Нехай R = 6, центральний кут 120°. Тоді:

• довжина дуги: l = π · 6 · 120 / 180 = 4π

• площа сектора: S_сект = π · 36 · 120 / 360 = 12π

Центральний і вписаний кути

Центральний кут дорівнює градусній мірі дуги, на яку він спирається. Вписаний кут дорівнює половині цієї дуги. Наприклад, якщо вписаний кут дорівнює 35°, то він спирається на дугу 70°.

Звідси випливають три важливі наслідки:

• вписаний кут, що спирається на діаметр, — прямий (90°), бо діаметр стягує дугу 180°

• вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні між собою

• вписаний кут удвічі менший за центральний, що спирається на ту саму дугу

Дотична до кола

Дотична — це пряма, що має з колом рівно одну спільну точку. Дві ключові властивості:

• дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику

• відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні між собою

Радіус вписаного кола трикутника: r = S/p

У довідці НМТ є формула Герона для площі трикутника, але немає формули радіуса вписаного кола. Її легко вивести: якщо сполучити центр вписаного кола з вершинами трикутника, він розіб'ється на три трикутники, кожен з висотою r. Сума їхніх площ дорівнює площі всього трикутника:

$$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{a+b+c}{2}\cdot r=p\cdot r$$

Звідси r = S / p, де p — півпериметр.

Приклад: трикутник зі сторонами 7, 24, 25. За формулою Герона: S = √(28·21·4·3) = √(7056) = 84. Півпериметр p = (7+24+25)/2 = 28. Тоді r = 84/28 = 3.

Формули радіуса описаного кола R = abc/(4S) у довідці НМТ немає: там є лише теорема синусів a/sin α = 2R. Якщо R = abc/(4S) знадобиться, її легко вивести: з S = ½ bc · sin α маємо sin α = 2S/(bc), тоді R = a/(2 sin α) = abc/(4S).

Середня лінія трикутника

Середня лінія трикутника — це відрізок, що сполучає середини двох сторін. Вона паралельна третій стороні й дорівнює її половині. Крім того, середня лінія відтинає трикутник, площа якого дорівнює чверті площі даного (бо коефіцієнт подібності ½, а площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта).

Середня лінія трапеції

Середня лінія трапеції — це відрізок, що сполучає середини бічних сторін. Вона паралельна основам і дорівнює їхній півсумі:

$$m=\frac{a+b}{2}$$

Звідси випливає зручний вираз для площі трапеції: S = m · h. Це допомагає відновити формулу середньої лінії, навіть якщо ти її забув: у довідці є S = (a + b)/2 · h, отже, множник (a + b)/2 — це й є середня лінія.

Сума кутів многокутника

Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника:

$$180^{\circ }\cdot (n-2)$$

Чому саме так? Будь-який опуклий многокутник можна розбити на n − 2 трикутники, провівши діагоналі з однієї вершини. Сума кутів кожного трикутника — 180°, звідси й формула.

Кут правильного n-кутника (усі кути рівні):

$$\frac{180^{\circ }\cdot (n-2)}{n}$$

Сума зовнішніх кутів (узятих по одному при кожній вершині) завжди дорівнює 360°, незалежно від кількості сторін. Це дає ще один спосіб знайти кількість сторін правильного многокутника: зовнішній кут = 360°/n.

Приклад: правильний шестикутник має суму кутів 180° · (6 − 2) = 720°, а кожен його кут — 720°/6 = 120°. Зовнішній кут — 60°.

У довідці НМТ є формули відстані між точками й середини відрізка в просторі (три координати). На площині ті самі формули, але без координати z.

Відстань між двома точками

Відстань між точками A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂):

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Середина відрізка

Координати середини відрізка AB:

$$\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

Рівняння прямої на площині

Пряму можна задати у вигляді y = kx + b, де k — кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу), а b — ордината точки перетину прямої з віссю Oy (пряма проходить через точку (0; b)). Загальний вигляд: ax + by + c = 0.

Щоб скласти рівняння прямої через дві точки A(x₁; y₁) і B(x₂; y₂):

1. Знайди кутовий коефіцієнт: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

2. Підстав одну з точок у y = kx + b, щоб знайти b

Паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти k. Пряма, паралельна осі Oy, має вигляд x = a — її не можна записати як y = kx + b.

Приклад

Точки A(1; 3) і B(3; 7):

• кутовий коефіцієнт: k = (7 − 3) / (3 − 1) = 4/2 = 2

• підставляємо A: 3 = 2·1 + b ⇒ b = 1

• рівняння прямої: y = 2x + 1

• відстань: |AB| = √((3−1)² + (7−3)²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

• середина: ((1+3)/2; (3+7)/2) = (2; 5)

Рівняння кола

Рівняння кола є в довідці НМТ: (x − a)² + (y − b)² = R². Якщо коло задане діаметром AB, то його центр — середина AB, а радіус — половина |AB|.

У довідці НМТ подано лише формули бічної поверхні. Щоб знайти повну поверхню, треба додати площі основ. Запам'ятай просте правило:

Зверни увагу: у призми й циліндра дві основи, тому додаємо 2S_осн; у піраміди й конуса одна основа, тому додаємо S_осн.

Окремі випадки

• Куб з ребром a: S_п = 6a²

• Прямокутний паралелепіпед з ребрами a, b, c: S_п = 2(ab + bc + ac)

Приклади

Циліндр: R = 3, H = 5. S_б = 2π·3·5 = 30π. S_осн = π·3² = 9π. S_п = 30π + 2·9π = 48π.

Конус: R = 5, твірна L = 13. S_б = π·5·13 = 65π. S_осн = π·5² = 25π. S_п = 65π + 25π = 90π.

Зрізані тіла (профільний рівень)

Зрізана піраміда й зрізаний конус — це тіла, у яких верхівку відтято площиною, паралельною основі. Їхній об'єм можна знайти як різницю об'ємів повного тіла й відтятої верхівки. Для зрізаного конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi H\left(R^2+Rr+r^2\right)$$

де R — радіус нижньої основи, r — радіус верхньої основи, H — висота зрізаного конуса. Ця формула позначена в програмі НМТ як профільний рівень (П), тобто може з'явитися в завданнях підвищеної складності. У довідці її немає — запам'ятай або виводь через різницю об'ємів.

Найкращий спосіб не панікувати на тесті — уміти відновити потрібну формулу з тієї, що є в довідці. Ось кілька прийомів.

Відновлення з довідки

Метод карток

Створи картку для кожної формули: на одному боці — формула, на іншому — мінізадача, яку вона розв'язує. Наприклад:

• «l = πRn/180 → дуга кола радіуса 9 при куті 40°»

• «180° · (n − 2) → кількість сторін правильного многокутника з кутом 150°»

• «S_п = 2πR(R + H) → повна поверхня циліндра R = 3, H = 5»

Контроль за 5 хвилин

Наприкінці підготовки візьми чистий аркуш і за 5 хвилин запиши з пам'яті всі формули з цього уроку. Потім звір із юнітами планіметрії та стереометрії в курсі. Якщо якоїсь немає — повтори її ще раз. Це тренування швидко покаже прогалини.

Приклад 1. Довжина дуги (коротка відповідь)

Умова: Радіус кола дорівнює 9, центральний кут — 40°. Знайди довжину дуги, на яку він спирається. У відповідь запиши l/π.

Розв'язання: l = π · 9 · 40 / 180 = π · 360 / 180 = 2π. Тоді l/π = 2π/π = 2.

Відповідь: 2.

Чому інші варіанти неправильні? Якщо поділити на 360 замість 180, отримаєш 1 — це типова помилка. Якщо обчислити площу сектора π·81·40/360 = 9π, то l/π дасть 9 — але це вже зовсім інша величина.

Приклад 2. Вписаний кут (вибір однієї відповіді)

Умова: Центральний кут ∠AOC дорівнює 130°. Точки B і O лежать по один бік від прямої AC, точка B — на колі. Знайди ∠ABC.

Розв'язання: ∠ABC — вписаний кут, що спирається на ту саму дугу AC, що й центральний кут ∠AOC. Вписаний кут дорівнює половині центрального: 130° : 2 = 65°.

Відповідь: 65°.

Дистрактори: 130° (прирівняли вписаний до центрального), 115° (узяли доповнення до 180°), 50° (різниця 180° − 130°), 260° (подвоїли центральний).

Приклад 3. Середня лінія трапеції (коротка відповідь)

Умова: Середня лінія трапеції дорівнює 11, а одна основа на 6 більша за іншу. Знайди більшу основу.

Розв'язання: Нехай основи a і b, причому a > b. Середня лінія m = (a + b)/2 = 11, отже a + b = 22. За умовою a − b = 6. Додаємо рівняння: 2a = 28 ⇒ a = 14.

Відповідь: 14.

Пастки: 17 (додали 6 до середньої лінії: 11 + 6 = 17) і 8 (менша основа: 22 − 14 = 8).

Приклад 4. Рівняння прямої (вибір однієї відповіді)

Умова: Укажи рівняння прямої, що проходить через точки A(−1; 1) і B(2; 7).

Розв'язання: k = (7 − 1) / (2 − (−1)) = 6 / 3 = 2. Підставляємо точку A: 1 = 2·(−1) + b ⇒ b = 3. Рівняння: y = 2x + 3.

Відповідь: y = 2x + 3.

Дистрактори: y = 0,5x + 1,5 (перевернули k: взяли (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁)), y = −2x − 1 (помилка в знаку), y = 2x + 7 (підставили координати B замість b), y = 2x − 1 (неправильний b).

Приклад 5. Кут правильного многокутника (коротка відповідь)

Умова: Кут правильного многокутника дорівнює 150°. Скільки в нього сторін?

Розв'язання (спосіб 1): 180°·(n − 2)/n = 150° ⇒ 180n − 360 = 150n ⇒ 30n = 360 ⇒ n = 12.

Розв'язання (спосіб 2): Зовнішній кут 180° − 150° = 30°. Сума зовнішніх кутів 360°, тому n = 360° / 30° = 12.

Відповідь: 12.

Пастка: 2,4 (поділили 360° на сам кут 150°, а не на зовнішній — дробова кількість сторін одразу сигналізує про помилку).

• Довжину дуги рахують за формулою площі сектора або беруть 2πR · n/180 замість πRn/180. Правильно: l = πRn/180 — у чисельнику πRn, а не 2πRn.

• Вписаний кут вважають рівним центральному, що спирається на ту саму дугу. Насправді вписаний кут удвічі менший.

• Середню лінію трапеції плутають із півсумою бічних сторін або просто сумою основ. Правильно: півсума основ.

• Суму кутів многокутника беруть 180° · n замість 180° · (n − 2). Кут правильного n-кутника плутають із зовнішнім кутом 360°/n.

• У формулі k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) міняють місцями чисельник і знаменник або беруть різниці в різному порядку для x і y.

• У повній поверхні циліндра додають лише одну основу, а в конуса — дві. Запам'ятай: призма й циліндр — дві основи; піраміда й конус — одна.

• Шукають у довідці НМТ формули зрізаного конуса чи довжини дуги. Їх там немає — треба знати напам'ять або відновити.

Формули з цього уроку перевіряють у кількох темах програми НМТ. Ось де шукати завдання:

Стратегія

Якщо в завданні тобі потрібна формула, якої немає в довідці, не панікуй. Віднови її з наявної:

• дуга — частка n/360 від 2πR

• сектор — та сама частка від πR²

• середня лінія трапеції — множник (a + b)/2 у формулі площі S = (a + b)/2 · h

• Довжина дуги: l = πRn/180; площа сектора: S = πR²n/360 — це частки n/360 від довжини кола й площі круга.

• Вписаний кут дорівнює половині дуги, центральний — усій дузі. Дотична перпендикулярна до радіуса в точці дотику.

• Радіус вписаного кола трикутника: r = S/p.

• Середня лінія трикутника — половина сторони; середня лінія трапеції — півсума основ: m = (a + b)/2.

• Сума кутів опуклого n-кутника: 180° · (n − 2). Сума зовнішніх кутів: 360°.

• На площині: відстань d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), середина ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2) — просторові формули без z.

• Рівняння прямої: y = kx + b, де k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁).

• Повна поверхня = бічна + основи: призма й циліндр — дві основи, піраміда й конус — одна. Зрізані тіла — профільний рівень.