Формули алгебри й тригонометрії, яких немає в довідці НМТ

Формули додавання — це основа тригонометрії. Без них неможливо обчислити точне значення синуса чи косинуса кутів, яких немає в таблиці довідки (наприклад, 15°, 75°). У довідкових матеріалах НМТ є лише формули подвоєння, але самі формули додавання — ні. Тому їх треба знати напам’ять.

Основні формули додавання

Для синуса суми й різниці:

$$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

Для косинуса суми й різниці — знак між доданками протилежний тому, що стоїть у лівій частині:

$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$

Для тангенса:

$$\mathrm{tg}(\alpha \pm \beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha \pm \mathrm{tg}\beta }{1\mp \mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$$

Обчислення значень кутів, яких немає в таблиці

За допомогою формул додавання можна обчислити точні значення тригонометричних функцій для кутів 15° і 75°, яких немає в довідці НМТ.

Приклад 1: $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Приклад 2: $\cos 15^{\circ }=\cos (45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Зверни увагу: $\sin 75^{\circ }$ і $\cos 15^{\circ }$ дають однакове значення $(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4$, тому що $\sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }$.

Приклад 3: $\mathrm{tg}15^{\circ }=\mathrm{tg}(45^{\circ }-30^{\circ })=\frac{\mathrm{tg}45^{\circ }-\mathrm{tg}30^{\circ }}{1+\mathrm{tg}45^{\circ }\mathrm{tg}30^{\circ }}=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+1\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

Згортання виразів

Формули додавання працюють і в зворотному напрямку: вираз вигляду $\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ можна згорнути в $\sin (\alpha \pm \beta )$.

Приклад 4: $\sin 40^{\circ }\cos 20^{\circ }+\cos 40^{\circ }\sin 20^{\circ }=\sin (40^{\circ }+20^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Приклад 5: $\cos 70^{\circ }\cos 10^{\circ }+\sin 70^{\circ }\sin 10^{\circ }=\cos (70^{\circ }-10^{\circ })=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

Наслідки: формули подвоєння й пониження степеня

Якщо в $\cos (\alpha +\beta )$ покласти $\beta =\alpha$, отримаємо $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$. Ця форма є в довідці НМТ. Але з неї випливають дві інші, яких у довідці немає:

$$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$$

Звідси — формули пониження степеня:

$${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2},{\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$$

Вони потрібні для спрощення виразів, що містять квадрати синуса чи косинуса, особливо в задачах на інтегрування (у старшій школі) і в рівняннях.

Формули зведення дають змогу замінити тригонометричну функцію будь-якого кута функцією гострого кута (від 0° до 90°). У довідці НМТ є лише дві з них: для $90^{\circ }+\alpha$ і $180^{\circ }-\alpha$. Решту треба знати напам’ять або вміти швидко виводити за правилом.

Правило назви й знака

Уяви кут у вигляді $k\cdot 90^{\circ }\pm \alpha$, де $k$ — ціле число. Тоді:

• Якщо $k$ парне ($180^{\circ }\pm \alpha$, $360^{\circ }-\alpha$, тобто $\pi \pm \alpha$, $2\pi -\alpha$), назва функції зберігається.

• Якщо $k$ непарне ($90^{\circ }\pm \alpha$, $270^{\circ }\pm \alpha$, тобто $\pi /2\pm \alpha$, $3\pi /2\pm \alpha$), назва змінюється на кофункцію: $\sin \leftrightarrow \cos$, $\mathrm{tg}\leftrightarrow \mathrm{ctg}$.

• Знак перед результатом — той, який має вихідна функція в чверті, куди потрапляє кут, якщо вважати $\alpha$ гострим ($0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$).

Приклади застосування правила

Обчислення значень

Застосуй правило до конкретних кутів:

• $\sin 210^{\circ }=\sin (180^{\circ }+30^{\circ })=-\sin 30^{\circ }=-\frac{1}{2}$

• $\cos 240^{\circ }=\cos (180^{\circ }+60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$

• $\cos 300^{\circ }=\cos (360^{\circ }-60^{\circ })=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

• $\mathrm{tg}225^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }+45^{\circ })=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$

Від’ємний кут і період

Функції від’ємного кута зводяться до функцій додатного за правилом парності / непарності:

$$\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (-\alpha )=\cos \alpha ,\mathrm{tg}(-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha$$

Періодичність дозволяє відкидати повні оберти: $\sin (\alpha +360^{\circ })=\sin \alpha$, $\mathrm{tg}(\alpha +180^{\circ })=\mathrm{tg}\alpha$.

Приклад: $\sin 750^{\circ }=\sin (750^{\circ }-2\cdot 360^{\circ })=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.

У довідкових матеріалах НМТ немає загальних формул для розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Ти мусиш знати їх напам’ять, щоб записати всі корені рівняння, а не лише один.

Загальні формули розв’язків

Якщо $|a|>1$, рівняння $\sin x=a$ і $\cos x=a$ не мають розв’язків, оскільки синус і косинус за модулем не перевищують 1.

Частинні випадки (a = 0, ±1)

Для цих значень простіше запам’ятати окремі формули, ніж щоразу підставляти в загальну:

Від’ємний аргумент обернених функцій

Значення обернених тригонометричних функцій для від’ємних чисел беруть за правилами:

• $\arcsin (-a)=-\arcsin a$

• $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$

• $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}a$

Наприклад, $\arcsin (1/2)=\pi /6$, а $\arccos (-1/2)=\pi -\pi /3=2\pi /3$. Ці значення ти береш із таблиці довідкових матеріалів НМТ.

Приклади

Приклад 1: $\cos x=-\frac{1}{2}$

$\arccos (-1/2)=2\pi /3$, тому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Приклад 2: $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\arcsin (\sqrt{2}/2)=\pi /4$, тому $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{4}+\pi n$.

На проміжку $[0;2\pi ]$ коренями будуть $\pi /4$ (при $n=0$) і $3\pi /4$ (при $n=1$, бо $(-1{)}^1=-1$ і $-\pi /4+\pi =3\pi /4$).

У довідці НМТ є формули квадрата суми й різниці, але немає формул кубів, теореми Вієта та формули переходу до нової основи логарифма. Усі вони активно використовуються в завданнях НМТ.

Формули кубів

Сума й різниця кубів розкладаються на множники так:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Зверни увагу: у дужках стоїть неповний квадрат різниці (у сумі кубів) або суми (у різниці кубів): перед $ab$ немає двійки, на відміну від $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$. Саме ця деталь найчастіше стає причиною помилок.

Куб суми (різниці) розкривають за формулою:

$$(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$$

Застосування формул кубів

Приклад 1: $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$ — тут $a=x$, $b=2$.

Приклад 2: $\frac{a^3+27}{a+3}=\frac{(a+3)(a^2-3a+9)}{a+3}=a^2-3a+9$.

Приклад 3: $27x^3+1=(3x+1)(9x^2-3x+1)$ — тут $a=3x$, $b=1$.

Теорема Вієта

Для квадратного рівняння $a{x}^2+bx+c=0$ з дійсними коренями $x_1$ і $x_2$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

Для зведеного рівняння $x^2+px+q=0$: $x_1+x_2=-p$, $x_1{x}_2=q$.

ВАЖЛИВО: теорема Вієта справедлива лише тоді, коли дискримінант $D\ge 0$ (корені дійсні). Якщо $D<0$, формально записати суму й добуток можна, але вони не відповідають дійсним числам.

Прийоми роботи з теоремою Вієта:

• Добір коренів: для $x^2-7x+12=0$ шукаємо два числа, що в сумі дають 7, а в добутку 12 — це 3 і 4.

• Сума квадратів коренів без знаходження самих коренів: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$.

Приклад: для $x^2-5x+3=0$ маємо $x_1^2+x_2^2=5^2-2\cdot 3=25-6=19$.

Формула переходу до нової основи логарифма

У довідці НМТ є основна логарифмічна тотожність і властивості логарифмів, але немає загальної формули переходу до нової основи. А вона часто потрібна для обчислення логарифмів із різними основами.

$${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$$

Найзручніше брати $c=10$ (десятковий логарифм) або $c=e$ (натуральний логарифм), але можна брати будь-яку зручну основу.

Наслідки формули переходу:

• ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ — обернення основи.

• ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$ — послідовний перехід.

Приклад 1: ${\log }_{3}5\cdot {\log }_{5}9={\log }_{3}9=2$.

Приклад 2: $\frac{{\log }_{5}27}{{\log }_{5}3}={\log }_{3}27=3$.

Найкращий спосіб вивчити формули, яких немає в довідці, — це активне пригадування. Пасивне перечитування не працює: ти маєш змусити мозок відтворювати формулу, перш ніж підглянути в неї.

Метод карток: одна картка — одна формула

Візьми невеликі картки (або нотатки в телефоні). На одному боці напиши назву формули або мінізадачу, на звороті — саму формулу й відповідь.

Перевірка формули частинними значеннями

Найшвидший спосіб виявити хибний запис — підставити прості числа й перевірити, чи виконується рівність.

• У $\cos (\alpha +\beta )$ підстав $\beta =0$: має вийти $\cos \alpha$. Якщо виходить $\cos \alpha \cos 0-\sin \alpha \sin 0=\cos \alpha$ — формула правильна.

• У формулі зведення підстав $\alpha =30^{\circ }$ і звір результат із табличним значенням. Наприклад, $\sin (180^{\circ }+30^{\circ })=-\sin 30^{\circ }=-1/2$ — збігається з $\sin 210^{\circ }$.

• У $\mathrm{tg}(\alpha +\beta )$ підстав $\alpha =\beta =45^{\circ }$: знаменник $1-\mathrm{tg}45^{\circ }\mathrm{tg}45^{\circ }=0$, тому $\mathrm{tg}90^{\circ }$ не існує — це правильно, бо тангенс 90° не визначений.

Контрольний п’ятихвилинний диктант

Коли вивчиш усі формули уроку, постав таймер на 5 хвилин і спробуй записати їх з пам’яті на чистий аркуш. Потім звір із цим уроком. Ті формули, які записав неправильно або пропустив, — негайно перепиши на нові картки й повторюй щодня, доки не перестанеш помилятися.

Розгляньмо типові завдання НМТ, які перевіряють знання формул, відсутніх у довідці.

Приклад 1. Обчисліть cos 75°

Завдання: Обчисліть $\cos 75^{\circ }$.

Розв’язання: Кут 75° — не табличний, але його можна подати як суму табличних: $75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$.

За формулою додавання для косинуса: $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$.

$$\cos 75^{\circ }=\cos (45^{\circ }+30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

Відповідь: $(\sqrt{6}-\sqrt{2})/4$.

Чому інші варіанти хибні:

• $(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4$ — це значення $\sin 75^{\circ }$ або $\cos 15^{\circ }$; учень плутає знак у формулі косинуса.

• $(\sqrt{2}-\sqrt{6})/4$ — неправильний порядок віднімання.

• $(\sqrt{3}-1)/4$ — помилка в обчисленні добутку коренів.

• $\sqrt{6}/4$ — учень узяв лише перший доданок $\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=\sqrt{6}/4$ і не відняв $\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\sqrt{2}/4$.

Приклад 2. Відповідність: вираз — значення

Завдання: Установіть відповідність між виразом (1–3) і його значенням (А–Д).

1) $\sin 50^{\circ }\cos 10^{\circ }+\cos 50^{\circ }\sin 10^{\circ }$

2) $\cos 240^{\circ }$

3) $\mathrm{tg}225^{\circ }$

Варіанти: А) $-1/2$; Б) $1/2$; В) $\sqrt{3}/2$; Г) $1$; Д) $-1$.

Розв’язання:

• 1) Згортаємо за формулою синуса суми: $\sin 50^{\circ }\cos 10^{\circ }+\cos 50^{\circ }\sin 10^{\circ }=\sin (50^{\circ }+10^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}/2$ (В).

• 2) $\cos 240^{\circ }=\cos (180^{\circ }+60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-1/2$ (А).

• 3) $\mathrm{tg}225^{\circ }=\mathrm{tg}(180^{\circ }+45^{\circ })=\mathrm{tg}45^{\circ }=1$ (Г).

Відповідь: 1 → В, 2 → А, 3 → Г.

Чому інші варіанти хибні: Б (1/2) — учень забув знак мінус для $\cos 240^{\circ }$; Д (−1) — помилка в знаку тангенса в III чверті.

Приклад 3. Сума квадратів коренів через теорему Вієта

Завдання: $x_1$ і $x_2$ — корені рівняння $x^2-9x+14=0$. Обчисліть $x_1^2+x_2^2$.

Розв’язання: За теоремою Вієта $x_1+x_2=9$, $x_1{x}_2=14$.

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=9^2-2\cdot 14=81-28=53$$

Відповідь: 53.

Чому інші варіанти хибні:

• 81 — учень зупинився на $(x_1+x_2{)}^2$ і не відняв $2x_1{x}_2$.

• 109 — учень додав $2x_1{x}_2$ замість віднімання.

• 67 — учень відняв $x_1{x}_2$ один раз, а не подвоєний добуток.

• 196 — учень узяв $(x_1{x}_2{)}^2$.

Приклад 4. Розв’язки рівняння cos x = −√3/2

Завдання: Укажіть розв’язки рівняння $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Розв’язання: $\arccos (-\sqrt{3}/2)=\pi -\pi /6=5\pi /6$.

За формулою для косинуса: $x=\pm \arccos a+2\pi n$, отже $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$.

Відповідь: $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi n$.

Чому інші варіанти хибні:

• $\pm \pi /6+2\pi n$ — учень узяв $\arccos (\sqrt{3}/2)=\pi /6$, не врахувавши знак мінус.

• $(-1{)}^{n}5\pi /6+\pi n$ — це формула для синуса, а не для косинуса.

• $\pm 5\pi /6+\pi n$ — період $\pi$ замість $2\pi$.

• $5\pi /6+2\pi n$ — учень забув знак $\pm$, тобто втратив половину коренів.

Приклад 5. Скорочення дробу з різницею кубів

Завдання: Спростіть $\frac{a^3-8}{a^2+2a+4}$.

Розв’язання: $a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4)$.

$$\frac{a^3-8}{a^2+2a+4}=\frac{(a-2)(a^2+2a+4)}{a^2+2a+4}=a-2$$

Відповідь: $a-2$.

Чому інші варіанти хибні:

• $a+2$ — учень переплутав суму з різницею кубів.

• $(a-2{)}^2$ — учень розклав як квадрат різниці, а не різницю кубів.

• $a^2-2$ — помилка в діленні многочленів.

• $1/(a-2)$ — учень перевернув дріб.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час застосування формул, що не входять до довідки НМТ. Знаючи їх, ти зможеш уникнути пасток.

• Помилка в знаку косинуса суми: пишуть $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$. Запам’ятай: у косинусі знак між доданками протилежний тому, що в лівій частині. Якщо ліворуч $+$, то праворуч $-$.

• «Розкривання дужок» у тригонометрії: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha +\sin \beta$. Синус суми не дорівнює сумі синусів! Завжди застосовуй формулу додавання.

• Плутанина в назві функції при зведенні: змінюють назву для $180^{\circ }\pm \alpha$ (хоча має зберігатися) або не змінюють для $270^{\circ }\pm \alpha$ (хоча має змінюватися). Правило: парна кількість $90^{\circ }$ — назва та сама, непарна — кофункція.

• Знак беруть від нової функції замість вихідної. Наприклад, для $\cos (270^{\circ }-\alpha )$ спочатку визначають, що косинус у III чверті від’ємний, тому результат має знак мінус. Але деякі учні дивляться на знак синуса (нової функції) і помиляються.

• Рівняння $\sin x=a$ розв’язують за формулою для косинуса: $x=\pm \arcsin a+2\pi n$. Правильно: $x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n$.

• Для $\cos x=a$ пишуть період $\pi$ замість $2\pi$: $x=\pm \arccos a+\pi n$. Це втрачає частину коренів.

• Для $\sin x=1$ пишуть $x=\pi /2+\pi n$ замість правильного $x=\pi /2+2\pi n$. Перевір: при $n=1$ отримаємо $3\pi /2$, а $\sin (3\pi /2)=-1$, не 1.

• У формулах кубів пишуть повний квадрат: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+2ab+b^2)$. Правильно — неповний квадрат: $a^2+ab+b^2$ (без двійки перед $ab$).

• У теоремі Вієта забувають мінус: пишуть $x_1+x_2=p$ замість $x_1+x_2=-p$. Або застосовують теорему, коли $D<0$, і отримують формальні числа, які не є дійсними коренями.

Розуміння того, як саме ці формули перевіряють на НМТ, допоможе тобі правильно розподілити час і зусилля під час підготовки.

Формули додавання та зведення

Тема 1.3 програми НМТ вимагає знання формул зведення та формул додавання й наслідків з них. Довідкові матеріали дають лише $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ (у формі ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$) і формули зведення для $90^{\circ }+\alpha$ та $180^{\circ }-\alpha$. Усі інші формули додавання, пониження степеня та зведення для інших кутів ти маєш знати напам’ять.

Тригонометричні рівняння

Тригонометричні рівняння належать до теми 2.1 програми. У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 11 перевіряє вміння знаходити корені найпростішого тригонометричного рівняння на проміжку. Це завдання з вибором однієї відповіді з п’яти, оцінюється в 0 або 1 бал. Загальних формул розв’язків тригонометричних рівнянь у довідці немає — їх треба знати напам’ять.

Алгебраїчні перетворення й логарифми

У демоваріанті НМТ-2026 завдання № 14 — скорочення дробового раціонального виразу; у подібних завданнях можуть знадобитися й формули кубів. Завдання № 4 — найпростіше логарифмічне рівняння (вибір однієї з п’яти, 1 бал). Розклад на множники й логарифми належать до теми 1.3 програми.

Рівняння з параметром

Завдання № 22 — коротка відповідь, 0 або 2 бали, профільний рівень. Це рівняння з параметром. Програма вимагає аналізувати рівняння залежно від коефіцієнтів, і теорема Вієта — один із ключових прийомів такого аналізу. Наприклад, щоб знайти, при яких значеннях параметра сума квадратів коренів дорівнює заданому числу, використовують саме теорему Вієта.

• Формули додавання: у синусі знак зберігається, у косинусі — протилежний. $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$; $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$.

• Формули зведення: для $180^{\circ }$ і $360^{\circ }$ — назва та сама; для $90^{\circ }$ і $270^{\circ }$ — кофункція. Знак — вихідної функції в чверті.

• Загальні розв’язки: $\sin x=a$: $x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n$; $\cos x=a$: $x=\pm \arccos a+2\pi n$; $\mathrm{tg}x=a$: $x=\mathrm{arctg}a+\pi n$. Для $a=0,\pm 1$ — частинні формули.

• Формули кубів: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$; $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. У дужках неповний квадрат (без двійки перед $ab$).

• Теорема Вієта: $x_1+x_2=-b/a$, $x_1{x}_2=c/a$ — лише при $D\ge 0$. Сума квадратів: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$.

• Перехід до нової основи: ${\log }_{a}b={\log }_{c}b/{\log }_{c}a$. Наслідки: ${\log }_{a}b=1/{\log }_{b}a$; ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c$.

• Перевіряй кожну формулу частинним значенням: підстав прості числа й звір із таблицею.