Фізичний зміст похідної: миттєва швидкість

У фізиці рух тіла описують законом руху — функцією s(t), яка задає координату (шлях) тіла в момент часу t. Якщо ви знаєте, де перебувало тіло в кожну мить, можете визначити, як швидко воно рухалося. Але є два різні способи це зробити: середня швидкість і миттєва швидкість.

Середня швидкість на проміжку

Нехай тіло рухається за законом s(t). Розглянемо проміжок часу від t₀ до t₀ + Δt, де Δt — додатний приріст часу. За цей час тіло перемістилося на Δs = s(t₀ + Δt) − s(t₀). Середня швидкість на цьому проміжку дорівнює відношенню переміщення до часу:

$$v_{\text{сер}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$$

Середня швидкість — це наближена характеристика: вона не враховує, що всередині проміжку тіло могло прискорюватися чи сповільнюватися.

Миттєва швидкість — границя середньої

Щоб дізнатися швидкість тіла в конкретний момент t₀, треба брати дедалі менші проміжки часу Δt і дивитися, до якого числа наближається середня швидкість. Математично це границя:

$$v(t_0)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$$

А це ж означення похідної! Отже, миттєва швидкість тіла в момент t₀ дорівнює значенню похідної закону руху в цій точці:

Фізичний зміст похідної: похідна функції s(t) у точці t₀ — це миттєва швидкість зміни координати, тобто швидкість руху тіла в момент t₀.

Позначають: v(t) = s′(t).

Числовий приклад

Нехай тіло рухається за законом s(t) = t² (координата в метрах, час у секундах).

• Середня швидкість на проміжку [2; 4]: s(4) = 16 м, s(2) = 4 м, Δs = 12 м, Δt = 2 с ⇒ v_сер = 12 / 2 = 6 м/с

• Миттєва швидкість у момент t = 2: v(2) = s′(2) = 2·2 = 4 м/с

• Миттєва швидкість у момент t = 4: v(4) = 2·4 = 8 м/с

• Бачимо: середня швидкість 6 м/с лежить між миттєвими 4 м/с і 8 м/с — це логічно, адже тіло розганялося.

Одиниці вимірювання

Одиниці швидкості визначаються одиницями координати й часу:

Завжди звертай увагу, в яких одиницях подано закон руху, і відповідь давай у відповідних одиницях.

Ти вже знаєш, що миттєва швидкість — це похідна закону руху: v(t) = s′(t). Але рух може бути нерівномірним — швидкість сама змінюється з часом. Як описати цю зміну?

Прискорення — похідна швидкості

Прискорення a(t) — це швидкість зміни швидкості. Оскільки похідна функції описує швидкість її зміни, то прискорення дорівнює похідній від швидкості:

$$a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$$

Тобто прискорення — це друга похідна закону руху.

Повний приклад

Нехай тіло рухається за законом s(t) = t³ − 3t (s у метрах, t у секундах).

• Швидкість: v(t) = s′(t) = 3t² − 3

• Прискорення: a(t) = v′(t) = 6t

• Швидкість у момент t = 2: v(2) = 3·4 − 3 = 9 м/с

• Прискорення в момент t = 2: a(2) = 6·2 = 12 м/с²

• Координата в момент t = 2: s(2) = 8 − 6 = 2 м — це положення тіла, а не його швидкість! Не плутай.

Момент зупинки тіла

Тіло зупиняється в ті моменти, коли його миттєва швидкість дорівнює нулю. Для закону s(t) = t³ − 3t:

$$v(t)=3t^2-3=0\Rightarrow t^2=1\Rightarrow t=1\text{або}t=-1$$

Час не може бути від'ємним, тому відкидаємо t = −1. Відповідь: тіло зупиниться в момент t = 1 с.

Після зупинки тіло може змінити напрям руху. Тіло рухається в додатному напрямі осі, коли v(t) > 0, і в від'ємному, коли v(t) < 0. Зміна знака v(t) означає зміну напряму.

Момент із заданою швидкістю

Іноді потрібно знайти момент, коли швидкість дорівнює певному числу. Розв'яжи рівняння v(t) = задане число.

Приклад: тіло рухається за законом s(t) = 2t² − 5t + 3. Знайди момент, коли його швидкість дорівнює 7 м/с.

$$v(t)=4t-5;4t-5=7\Rightarrow 4t=12\Rightarrow t=3$$

Відповідь: t = 3 с.

Рівноприскорений рух

Окремий випадок — рівноприскорений рух, коли прискорення стале. Його закон руху має вигляд:

$$s(t)=s_0+v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$$

Тут s₀ — початкова координата, v₀ — початкова швидкість, a — стале прискорення. Похідна дає:

$$v(t)=v_0+at,a(t)=a$$

Важливо: якщо закон руху має вигляд s(t) = 5 + 3t, то s′(t) = 3, а не 5. Сталий доданок s₀ = 5 — це початкова координата, а не швидкість.

Приклад: кидок угору

Тіло кинули вертикально вгору з початковою швидкістю 20 м/с. Висота над землею змінюється за законом h(t) = 20t − 5t² (h у метрах, t у секундах).

Знайдемо, через скільки секунд тіло досягне найвищої точки:

$$v(t)=20-10t=0\Rightarrow t=2$$

Висота в найвищій точці: h(2) = 20·2 − 5·4 = 40 − 20 = 20 м.

Фізичний зміст похідної не обмежується лише механічним рухом. Будь-яка величина Q(t), що змінюється з часом, має свою швидкість зміни — і ця швидкість дорівнює похідній Q′(t).

Похідна величини за часом — це швидкість її зміни. Одиниця вимірювання: одиниця величини, поділена на одиницю часу.

Приклад: сила струму

Сила струму I — це швидкість зміни заряду q, що проходить через поперечний переріз провідника:

$$I(t)=q^{\prime }(t)$$

Нехай заряд змінюється за законом q(t) = 3t² + t (Кл), де t — час у секундах. Тоді:

$$I(t)=q^{\prime }(t)=6t+1$$

Сила струму в момент t = 2 с: I(2) = 6·2 + 1 = 13 А.

Приклад: швидкість зміни температури

Температура тіла змінюється за законом T(t) = 20 + 0{,}5t² (°C), де t — час у хвилинах. Знайдемо, як швидко змінюється температура в момент t = 4 хв:

$$T^{\prime }(t)=t\Rightarrow T^{\prime }(4)=4$$

Відповідь: температура зростає зі швидкістю 4 °C/хв.

Знак похідної: зростання чи спадання

Знак похідної Q′(t) показує, зростає чи спадає величина:

• Якщо Q′(t) > 0 — величина зростає з часом.

• Якщо Q′(t) < 0 — величина зменшується з часом.

Приклад: з бака витікає вода, об'єм води змінюється за законом V(t) = 200 − 4t (л), де t — час у хвилинах. Тоді V′(t) = −4 л/хв. Від'ємне значення означає, що об'єм води зменшується, тобто вода витікає зі швидкістю 4 л/хв.

Зворотна задача: від швидкості до закону руху

Якщо відома швидкість v(t), то закон руху s(t) можна відновити як первісну від швидкості. Наприклад, v(t) = 2t. Тоді:

$$s(t)=\int v(t)dt=t^2+C$$

Сталу C знаходять із початкової умови: якщо s(0) = 1 м, то 1 = 0 + C ⇒ C = 1, отже s(t) = t² + 1. Докладно обчислення первісних розглянуто в окремому розділі курсу.

Розв'яжемо кілька типових задач на фізичний зміст похідної, які можуть трапитися на НМТ.

Приклад 1. Швидкість у заданий момент

Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = t³ − 4t² + 5t (s — у метрах, t — у секундах). Знайдіть швидкість тіла (у м/с) у момент t = 3 с.

Розв'язання:

• Крок 1. Знаходимо похідну закону руху — миттєву швидкість: v(t) = s′(t) = 3t² − 8t + 5

• Крок 2. Підставляємо t = 3: v(3) = 3·9 − 8·3 + 5 = 27 − 24 + 5 = 8

Відповідь: 8.

Типова пастка: якщо підставити t = 3 в закон руху s(3) = 27 − 36 + 15 = 6, отримаєш 6 — це координата тіла, а не швидкість. Не плутай!

Приклад 2. Прискорення в заданий момент

Точка рухається за законом s(t) = 2t³ − 3t² + 4 (м). Знайдіть її прискорення (у м/с²) у момент t = 2 с.

Розв'язання:

• Крок 1. Знаходимо швидкість: v(t) = s′(t) = 6t² − 6t

• Крок 2. Знаходимо прискорення як похідну від швидкості: a(t) = v′(t) = 12t − 6

• Крок 3. Підставляємо t = 2: a(2) = 12·2 − 6 = 24 − 6 = 18

Відповідь: 18.

Чому інші варіанти хибні: 12 — це значення швидкості, а не прискорення; 8 — координата; 24 — забули відняти 6; 30 — помилка в знаку.

Приклад 3. Момент зупинки

Тіло рухається за законом s(t) = t³ − 12t + 1 (s — у метрах, t — у секундах). У який момент часу (у секундах) воно зупиниться?

Розв'язання:

• Крок 1. Знаходимо швидкість: v(t) = s′(t) = 3t² − 12

• Крок 2. Прирівнюємо до нуля: 3t² − 12 = 0 ⇒ t² = 4 ⇒ t = 2 або t = −2

• Крок 3. Час не може бути від'ємним, тому t = −2 відкидаємо.

Відповідь: 2.

Пастка: не можна давати відповідь «−2 і 2» — момент часу t ≥ 0 за змістом задачі.

Приклад 4. Швидкість зміни заряду

Заряд, що пройшов провідником, змінюється за законом q(t) = t³ + 2t (Кл). Знайдіть силу струму (в амперах) у момент t = 2 с.

Розв'язання:

• Крок 1. Сила струму — похідна заряду: I(t) = q′(t) = 3t² + 2

• Крок 2. Підставляємо t = 2: I(2) = 3·4 + 2 = 12 + 2 = 14

Відповідь: 14.

Чому інші варіанти хибні: 12 — це значення заряду q(2), а не сила струму; 8 — помилкове диференціювання (t³)′ = 3t замість 3t²; 10 — знак «+» проігноровано; 26 — невірне обчислення.

Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на фізичний зміст похідної.

• Підставляють момент часу в закон руху s(t), а не в швидкість s′(t). Запам'ятай: швидкість — це похідна, тому спочатку диференціюй, потім підставляй.

• На запитання про прискорення відповідають швидкістю v(t₀). Прискорення — це похідна від швидкості, тобто друга похідна закону руху. Щоб знайти прискорення, продиференціюй двічі.

• Рахують «швидкість» як s(t)/t — середню від початку руху, а не миттєву. Миттєва швидкість — це похідна, а не ділення координати на час.

• У задачі про зупинку залишають від'ємний момент часу. Час t у фізичних задачах завжди невід'ємний, тому корені t < 0 треба відкидати.

• Вважають сталий доданок закону руху (початкову координату) швидкістю. Наприклад, для s(t) = 5 + 3t швидкість дорівнює 3, а не 5.

• Змішують одиниці: хвилини й секунди, кілометри й метри. Якщо закон руху задано в метрах і секундах, швидкість буде в м/с. Якщо в кілометрах і годинах — у км/год. Не переплутай!

Фізичний зміст похідної входить до теми 3.3 програми НМТ з математики рівня стандарту. У програмі зазначено: «фізичний … зміст похідної» та «розв'язувати задачі з використанням геометричного та фізичного змісту похідної».

У довідкових матеріалах, які додають до тесту, формул фізичного змісту похідної немає. Рівності v = s′ і a = v′ треба знати напам'ять. Натомість таблиця похідних і правила диференціювання в довідці є — ними можна скористатися під час обчислення похідних.

У демоваріанті НМТ-2026 завдання на похідну — це завдання 19, яке має формат короткої відповіді лише десятковим дробом, оцінюється в 0 або 2 бали. Задача на швидкість за законом руху має таку саму форму відповіді — одне число без одиниць вимірювання.

Стратегія розв'язування

• Уважно прочитай умову й підкресли, що саме питають: координату, швидкість чи прискорення.

• Визнач, у який момент часу t₀ треба обчислити величину.

• Якщо питають швидкість — диференціюй закон руху один раз; якщо прискорення — диференціюй двічі.

• Підстав t₀ в отриману похідну, а не в закон руху.

• Перевір, що момент часу невід'ємний (t ≥ 0).

• Запиши відповідь числом без одиниць вимірювання.

• Миттєва швидкість — похідна закону руху: v(t) = s′(t)

• Прискорення — похідна швидкості: a(t) = v′(t) = s″(t)

• Швидкість у момент t₀ — підставляй t₀ у похідну, а не в закон руху.

• Тіло зупиняється, коли v(t) = 0, і t ≥ 0

• Середня швидкість на проміжку: Δs/Δt; миттєва: s′(t₀)

• Похідна будь-якої величини за часом — швидкість її зміни.

• Закон руху — первісна від швидкості.