Довжина кола й дуги, площа круга й сектора

Коло — це геометричне місце точок, рівновіддалених від центра. Круг — це частина площини, обмежена колом. У цьому розділі ти навчишся обчислювати довжину кола та площу круга за радіусом або діаметром, а також знаходити радіус чи діаметр за відомими довжиною або площею.

Основні формули

Довжина кола C обчислюється за формулою:

$$C=2\pi R=\pi d$$

де R — радіус кола, d = 2R — діаметр, а π ≈ 3,14 — ірраціональне число (стале відношення довжини кола до його діаметра).

Площа круга S обчислюється за формулою:

$$S=\pi R^2=\frac{\pi d^2}{4}$$

Приклади прямих обчислень

Нехай радіус кола R = 5. Тоді:

• довжина кола: C = 2π · 5 = 10π

• площа круга: S = π · 5² = 25π

Якщо замість радіуса дано діаметр d = 10, то радіус R = 5 — це те саме коло, і результати будуть ті самі: C = 10π, S = 25π.

Обернені задачі: знаходимо радіус

Якщо відома довжина кола або площа, можна знайти радіус.

• Дано: C = 18π. Тоді 2πR = 18π ⇒ R = 9. Площа: S = π · 9² = 81π.

• Дано: S = 49π. Тоді πR² = 49π ⇒ R² = 49 ⇒ R = 7. Довжина кола: C = 2π · 7 = 14π.

Як змінюються C і S при зміні радіуса

Якщо радіус збільшити втричі, то довжина кола також збільшиться втричі (бо C ~ R), а площа круга — у 9 разів (бо S ~ R²). Наприклад:

Площа кільця

Кільце — це фігура між двома концентричними колами радіусів R (більший) і r (менший). Його площа дорівнює різниці площ великого й малого кругів:

$$S_{\text{кільця}}=\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2)$$

Приклад: R = 5, r = 3. Тоді площа кільця: S = π(25 − 9) = 16π. Таку форму має переріз труби або шайба.

Дуга — це частина кола, а сектор — частина круга, обмежена двома радіусами й дугою. Обидві величини залежать від центрального кута α, який визначає, яку частку від повного кола (або круга) ми беремо.

Довжина дуги

Дуга становить α/360 частину від повного кола. Тому її довжина l дорівнює:

$$l=2\pi R\cdot \frac{\alpha }{360}=\frac{\pi R\alpha }{180}$$

де R — радіус кола, α — градусна міра центрального кута, що спирається на цю дугу.

Приклад: R = 9, α = 40°. Тоді:

$$l=\frac{\pi \cdot 9\cdot 40}{180}=\frac{360\pi }{180}=2\pi$$

Площа сектора

Сектор становить α/360 частину від повного круга. Його площа:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{\pi R^2\alpha }{360}$$

Приклад: R = 6, α = 120°:

$$S=\frac{\pi \cdot 36\cdot 120}{360}=\frac{4320\pi }{360}=12\pi$$

Існує також інша форма запису через довжину дуги:

$$S_{\text{сектора}}=\frac{l\cdot R}{2}$$

Перевіримо: якщо l = 4π, R = 6, то S = (4π · 6)/2 = 12π — той самий результат.

Обернені задачі

За відомою довжиною дуги (або площею сектора) і радіусом можна знайти центральний кут.

• Дуга завдовжки 5π у колі радіуса 10: 5π = (π · 10 · α)/180 ⇒ 5 · 180 = 10α ⇒ α = 90°.

• Сектор площею 6π у крузі радіуса 6: 6π = (π · 36 · α)/360 ⇒ 6 · 360 = 36α ⇒ α = 60°.

Радіанна міра кута

Якщо центральний кут дано в радіанах, формула спрощується: l = Rα. Наприклад, для R = 4 і α = π/2 маємо l = 4 · π/2 = 2π. (Докладніше про переведення градусів у радіани — в окремому юніті.)

Круговий сегмент

Сегмент — це частина круга, обмежена хордою та дугою. Для α < 180° його площа дорівнює різниці площі сектора й площі трикутника, утвореного двома радіусами та хордою. У програмі НМТ площу сегмента позначено як профільний матеріал (позначка «П»); НМТ охоплює всю програму, тому її варто знати.

У задачах НМТ часто поєднують поняття вписаного кута, центрального кута й довжини дуги. Нагадаймо: вписаний кут удвічі менший за центральний, який спирається на ту саму дугу. Тому спершу за вписаним кутом знаходять центральний, а вже потім — довжину дуги.

Ланцюжок: вписаний кут → центральний кут → дуга

Розгляньмо коло радіуса R = 6, у якому вписаний кут дорівнює 30°. Він спирається на деяку дугу. Центральний кут, що спирається на ту саму дугу, вдвічі більший: 60°. Тоді довжина цієї дуги:

$$l=\frac{\pi \cdot 6\cdot 60}{180}=\frac{360\pi }{180}=2\pi$$

Якби ми помилково взяли вписаний кут 30° за центральний, то отримали б l = π, що вдвічі менше за правильну відповідь.

Частка кола за кутом

Дуги певних кутів становлять зручні частки від повного кола:

Це допомагає швидко обчислювати довжину дуги без формули: якщо довжина кола дорівнює 36, то дуга 40° становить 36 · 40/360 = 4.

Більша дуга

Коли дві точки ділять коло на дві дуги — меншу й більшу. Якщо градусна міра меншої дуги AB дорівнює 100°, то більша дуга AB має міру 360° − 100° = 260°. Її довжина:

$$l=\frac{\pi R\cdot 260}{180}$$

Не забувай: коли в умові сказано «дуга AB», варто уточнити, яка саме — менша чи більша.

Практичні сюжети

• Хвилинна стрілка годинника завдовжки 6 см за 20 хвилин описує дугу 120° (360° : 60 хв · 20 хв = 120°). Кінець стрілки проходить шлях: l = (π · 6 · 120)/180 = 4π ≈ 12,57 см.

• Колесо діаметром 0,7 м за один повний оберт проходить відстань, що дорівнює довжині кола: C = π · 0,7 ≈ 2,2 м.

Розгляньмо чотири типові завдання НМТ на цю тему — від простіших до складніших.

Приклад 1. Площа сектора (вибір однієї відповіді)

Умова: Знайти площу сектора круга радіуса 6, центральний кут якого дорівнює 120°.

Розв'язання: За формулою площі сектора S = πR²α/360 маємо: S = (π · 36 · 120)/360 = 4320π/360 = 12π.

Відповідь: 12π.

Чому інші варіанти неправильні:

• 4π — це довжина дуги, а не площа сектора (обчислено за формулою довжини дуги).

• 36π — площа всього круга (кут 360°, а не 120°).

• 24π — поділили на 180 замість 360 (переплутали з формулою довжини дуги).

• 6π — це πR: узяли R замість R² і не помножили на частку 120/360.

Приклад 2. Вписаний кут і довжина дуги (вибір однієї відповіді)

Умова: Точки A, B, C лежать на колі радіуса 9. Вписаний кут ACB = 40°. Знайти довжину меншої дуги AB.

Розв'язання: Вписаний кут ACB спирається на дугу AB. Центральний кут, що спирається на ту саму дугу, вдвічі більший: α = 2 · 40° = 80°. Тоді довжина дуги:

$$l=\frac{\pi \cdot 9\cdot 80}{180}=\frac{720\pi }{180}=4\pi$$

Відповідь: 4π.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2π — узяли вписаний кут 40° за центральний (не подвоїли кут).

• 18π — довжина всього кола (кут 360°).

• 14π — довжина більшої дуги (360° − 80° = 280°).

• 8π — подвоїли кут двічі: (π · 9 · 160)/180 = 8π.

Приклад 3. Коротка відповідь: S/π

Умова: Довжина кола дорівнює 20π. Знайти площу круга, поділену на π (тобто S/π).

Розв'язання: З формули C = 2πR маємо 2πR = 20π ⇒ R = 10. Тоді площа круга S = π · 10² = 100π. За умовою треба S/π = 100π/π = 100.

Відповідь: 100.

Пастка: 400 — це площа всього круга, якщо в формулу площі помилково підставити діаметр замість радіуса: S = π · 20²/4 = 100π і S/π = 100, а помилка S = π · 20² = 400π дала б 400. Саме тому варто уважно перевіряти, чи працюєш із радіусом, а не діаметром.

Приклад 4. Коротка відповідь: знайти кут

Умова: Площа сектора дорівнює 15π, радіус круга — 6. Знайти градусну міру центрального кута сектора.

Розв'язання: Підставляємо у формулу площі сектора: S = πR²α/360 ⇒ 15π = (π · 36 · α)/360. Скорочуємо π: 15 = 36α/360 ⇒ 15 = α/10 ⇒ α = 150°.

Відповідь: 150.

Пастка: 75 — це результат ділення на 180 замість 360 (15 = 36α/180 ⇒ α = 75°).

• Беруть діаметр замість радіуса. Наприклад, для d = 10 пишуть S = π · 10² = 100π, хоча правильно S = π · 5² = 25π. Завжди перевіряй: у формули довжини кола та площі круга входить радіус, а не діаметр.

• Плутають формули місцями: C = πR², S = 2πR. Запам'ятай: у довжині кола R у першому степені (2πR), а в площі — у квадраті (πR²).

• У довжині дуги ділять на 360 замість 180, а в площі сектора — на 180 замість 360. Формули: l = πRα/180, S = πR²α/360 — не переплутай знаменники!

• Підставляють вписаний кут замість центрального, хоча дуга вдвічі більша за вписаний кут. Якщо в умові дано вписаний кут, спершу подвій його.

• У короткій відповіді записують «12π» або наближають π (наприклад, «37,68»), хоча умова просить S/π або інший вираз без π. Уважно читай, що саме треба записати.

• Забувають, що більша дуга дорівнює 360° мінус менша. Якщо знайдено меншу дугу 80°, а питають про більшу, то це 280°, а не 80°.

Ця тема входить до програми НМТ з математики: «довжина … кола та його дуги», «площі … круга, сектора», уміння «обчислювати довжину кола та його дуг, площу круга та сектора». Площу сегмента в програмі позначено як профільний матеріал (позначка «П»).

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах, які учасник бачить на екрані під час НМТ, є формули L = 2πR (довжина кола) та S = πR² (площа круга). Формул довжини дуги й площі сектора там немає — їх треба знати напам'ять або виводити з основних.

Формат завдань

• Демоваріант НМТ-2026, завдання 15 — вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 1 бал: вписаний кут, довжина дуги й довжина кола.

• Варіанти відповіді з вибором можуть містити π (наприклад, 6π, 12π, 4π).

• Коротка відповідь (завдання 19–22, 0 або 2 бали) записується лише десятковим дробом. Якщо в розв'язанні лишилося π, перечитай, що саме просять записати (наприклад, S/π, C/π або просто число).

Стратегія розв'язання

Одразу випиши радіус (не діаметр) і центральний кут. Якщо дано вписаний кут — спершу подвій його. Лише потім підставляй у формулу. Такий простий план допомагає уникнути більшості пасток.

• C = 2πR = πd, S = πR².

• Дуга l = πRα/180, сектор S = πR²α/360 = l · R/2.

• Дуга й сектор — частка α/360 кола чи круга.

• Спершу знайди радіус, а не діаметр; кут — центральний, а не вписаний.

• π у короткій відповіді: уважно читай, що саме просять записати.