Дії з раціональними дробами

Раціональні дроби множать і ділять за тими самими правилами, що й звичайні числові дроби. Головна відмінність — чисельники й знаменники можуть містити многочлени, тому перед виконанням дій варто розкласти їх на множники й скоротити спільні множники.

Множення раціональних дробів

Щоб помножити два раціональні дроби, потрібно перемножити їхні чисельники й окремо перемножити знаменники:

$$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},b\ne 0,d\ne 0$$

Найзручніше спершу розкласти чисельники й знаменники на множники, скоротити спільні множники, а вже тоді перемножити. Це дає змогу одразу отримати нескоротний результат.

Розгляньмо приклад:

$$\frac{x^2-1}{3x}\cdot \frac{6x^2}{x+1}$$

Розкладаємо чисельник першого дробу: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

$$\frac{(x-1)(x+1)}{3x}\cdot \frac{6x^2}{x+1}$$

Скорочуємо спільні множники: $(x+1)$ скорочується, $3x$ і $6x^2$ дають $2x$.

$$\frac{x-1}{1}\cdot \frac{2x}{1}=2x(x-1)$$

Отже, $\frac{x^2-1}{3x}\cdot \frac{6x^2}{x+1}=2x(x-1)$.

Ділення раціональних дробів

Ділення замінюють множенням на дріб, обернений до дільника. Обернений дріб — це дріб, у якого чисельник і знаменник поміняли місцями:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c},b\ne 0,d\ne 0,c\ne 0$$

Зверни увагу: дільник-дріб теж не може дорівнювати нулю, тому додаткова умова $c\ne 0$.

Приклад:

$$\frac{a^2-4}{a}:\frac{a+2}{a^2}$$

Замінюємо ділення множенням на обернений дріб:

$$\frac{a^2-4}{a}\cdot \frac{a^2}{a+2}$$

Розкладаємо $a^2-4=(a-2)(a+2)$:

$$\frac{(a-2)(a+2)}{a}\cdot \frac{a^2}{a+2}$$

Скорочуємо $(a+2)$ і один $a$:

$$\frac{a-2}{1}\cdot \frac{a}{1}=a(a-2)$$

Отже, $\frac{a^2-4}{a}:\frac{a+2}{a^2}=a(a-2)$.

Піднесення дробу до степеня

Щоб піднести дріб до степеня, підносять до цього степеня окремо чисельник і окремо знаменник:

$${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n},b\ne 0$$

Наприклад:

$${\left(\frac{2x}{y^2}\right)}^3=\frac{(2x{)}^3}{(y^2{)}^3}=\frac{8x^3}{y^6}$$

Пам'ятай, що многочлен можна подати як дріб зі знаменником 1. Наприклад, $x+1=\frac{x+1}{1}$.

Ключове правило: завжди скорочуй дроби до перемноження. Це значно спрощує обчислення й зменшує ризик помилки.

Додавання й віднімання раціональних дробів вимагають спільного знаменника. Якщо знаменники однакові, задача зводиться до додавання чи віднімання чисельників. Якщо ж знаменники різні, їх потрібно звести до спільного знаменника через розклад на множники.

Однакові знаменники

Коли знаменники дробів однакові, чисельники додають або віднімають, а знаменник залишають без змін:

$$\frac{A}{C}+\frac{B}{C}=\frac{A+B}{C},\frac{A}{C}-\frac{B}{C}=\frac{A-B}{C},C\ne 0$$

Розгляньмо приклад:

$$\frac{3x+1}{x-1}-\frac{x+3}{x-1}$$

Знаменники однакові ($x-1$), тому віднімаємо чисельники:

$$\frac{(3x+1)-(x+3)}{x-1}=\frac{3x+1-x-3}{x-1}=\frac{2x-2}{x-1}$$

Скорочуємо: $2x-2=2(x-1)$, тому $\frac{2(x-1)}{x-1}=2$.

Зверни особливу увагу: чисельник дробу, що віднімається, обов'язково беруть у дужки! Якщо написати $3x+1-x+3$, вийде $2x+4$, а правильна відповідь — 2.

Різні знаменники: алгоритм

Коли знаменники різні, діють за таким алгоритмом:

1. Розкласти кожен знаменник на множники.

2. Знайти найпростіший спільний знаменник — добуток усіх різних множників, узятих у найбільших степенях.

3. Для кожного дробу знайти додатковий множник — поділити спільний знаменник на знаменник цього дробу.

4. Помножити чисельник кожного дробу на його додатковий множник.

5. Записати дріб зі спільним знаменником і звести подібні доданки в чисельнику.

6. Скоротити результат, якщо можливо.

Розгляньмо приклад:

$$\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}$$

Крок 1. Розкладаємо знаменники: $x-2$ — уже простий множник; $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

Крок 2. Найпростіший спільний знаменник: $(x-2)(x+2)$.

Крок 3. Додаткові множники: для першого дробу — $(x+2)$, для другого — 1.

Крок 4. Домножуємо чисельники:

$$\frac{1\cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}$$

Крок 5. Віднімаємо чисельники:

$$\frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$$

Крок 6. Скорочуємо на $x-2$:

$$\frac{1}{x+2}$$

Протилежні знаменники

Іноді знаменники відрізняються лише знаком. Наприклад, $x-3$ і $3-x$. Зауваж, що $3-x=-(x-3)$. Тому:

$$\frac{a}{x-3}+\frac{b}{3-x}=\frac{a}{x-3}-\frac{b}{x-3}=\frac{a-b}{x-3}$$

Інакше кажучи, другий дріб можна перетворити, змінивши знак перед дробом і знак у знаменнику.

Ціле як дріб

Будь-який многочлен можна подати як дріб зі знаменником 1. Наприклад:

$$x+1-\frac{x^2}{x-1}=\frac{x+1}{1}-\frac{x^2}{x-1}$$

Спільний знаменник — $x-1$. Додатковий множник для першого дробу — $x-1$:

$$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1-x^2}{x-1}=\frac{-1}{x-1}$$

Отже, $x+1-\frac{x^2}{x-1}=-\frac{1}{x-1}$.

Знаки під час віднімання — найчастіша пастка

Розгляньмо ще один приклад, щоб закріпити правило дужок:

$$\frac{5x}{x-1}-\frac{x+4}{x-1}$$

Правильно:

$$\frac{5x-(x+4)}{x-1}=\frac{5x-x-4}{x-1}=\frac{4x-4}{x-1}=\frac{4(x-1)}{x-1}=4$$

Неправильно (якщо забути дужки):

$$\frac{5x-x+4}{x-1}=\frac{4x+4}{x-1}$$

Різниця очевидна: без дужок знак при 4 не змінюється, і результат стає хибним.

Раціональні вирази можуть містити кілька дій: додавання, віднімання, множення, ділення, а також дужки. Спрощувати такі вирази потрібно в суворому порядку, записуючи кожну дію окремим кроком.

Порядок дій

У раціональних виразах дії виконують у такому порядку:

1. Спершу — дії в дужках.

2. Потім — множення й ділення (зліва направо).

3. Наостанок — додавання й віднімання (зліва направо).

Кожну проміжну дію варто записувати окремо. Це допомагає не пропустити знак і не забути скоротити дріб.

Розбір складного прикладу

Спростимо вираз:

$$\left(\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}\right)\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$

Крок 1. Виконуємо дію в дужках. Знаменники різні: $a-b$ і $a+b$. Найпростіший спільний знаменник — $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Додаткові множники: для першого дробу — $a+b$, для другого — $a-b$.

$$\frac{a(a+b)-b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

Крок 2. Множимо отриманий дріб на другий множник:

$$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$

Крок 3. Скорочуємо спільні множники $a^2+b^2$ і $a^2-b^2$:

$$\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1}=1$$

Отже, весь вираз дорівнює 1 за всіх допустимих значень змінних ($a\ne \pm b$, $a^2+b^2\ne 0$).

Вираз, що не залежить від змінної

Іноді після спрощення змінна зникає, і вираз дорівнює сталій (1, −1, 0 тощо). Це означає, що значення виразу однакове для всіх допустимих значень змінної. Такий вираз може трапитися, зокрема, у завданні на відповідність (№ 17: «вираз ↔ значення чи тотожний вираз»).

Перевірка підстановкою

Найнадійніший спосіб перевірити спрощення — підставити допустиме число у вихідний вираз і в отриману відповідь. Якщо значення збігаються — спрощення правильне.

Наприклад, для виразу вище візьмемо $a=2$, $b=1$ (обидва знаменники не дорівнюють нулю). Підставляємо у вихідний вираз:

$$\left(\frac{2}{2-1}-\frac{1}{2+1}\right)\cdot \frac{4-1}{4+1}=\left(2-\frac{1}{3}\right)\cdot \frac{3}{5}=\frac{5}{3}\cdot \frac{3}{5}=1$$

Підставляємо у відповідь: 1. Значення збігаються — спрощення правильне.

Порада: для перевірки обирай невеликі числа, які не перетворюють жоден знаменник на нуль. Наприклад, x = 2, a = 3, b = 1 тощо.

Розгляньмо чотири завдання, які ілюструють усі типи дій з раціональними дробами, що трапляються на НМТ.

Приклад 1. Віднімання дробів з різними знаменниками

Завдання: спростити вираз $\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}$.

Розв'язання:

1. Розкладаємо знаменники: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

1. Найпростіший спільний знаменник: $(x-2)(x+2)$.

1. Додатковий множник для першого дробу — $x+2$:

$$\frac{1\cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)}=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$$

1. Скорочуємо на $x-2$: $\frac{1}{x+2}$.

Відповідь: $\frac{1}{x+2}$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $-\frac{3}{x^2-4}$ — віднято чисельники без додаткового множника (1 − 4 = −3), знаменник залишено як $x^2-4$.

• $\frac{x+6}{x^2-4}$ — помилка знака: $x+2+4$ замість $x+2-4$.

• $-\frac{3}{x-2}$ — не знайдено спільний знаменник, віднято чисельники за однакового знаменника $x-2$.

• $-\frac{1}{x+2}$ — правильний чисельник, але неправильний знак.

Приклад 2. Множення раціональних дробів

Завдання: спростити $\frac{x^2-1}{3x}\cdot \frac{6x^2}{x+1}$.

Розв'язання:

1. Розкладаємо чисельник першого дробу: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

1. Записуємо: $\frac{(x-1)(x+1)}{3x}\cdot \frac{6x^2}{x+1}$.

1. Скорочуємо $x+1$; скорочуємо $3x$ і $6x^2$ на $3x$, отримуємо $2x$.

1. Результат: $\frac{x-1}{1}\cdot \frac{2x}{1}=2x(x-1)$.

Відповідь: $2x(x-1)$.

Чому інші варіанти неправильні:

• $2x(x+1)$ — не розкладено $x^2-1$ на $(x-1)(x+1)$, а скорочено $x^2$ з $x$.

• $2(x-1)$ — втрачено множник $x$ після скорочення.

• $\frac{x-1}{2x}$ — перевернуто дріб замість правильного множення.

• $2x^2(x-1)$ — не скорочено $3x$ з $6x^2$ до $2x$, залишилося $2x^2$.

Приклад 3. Логічні пари (відповідність)

Завдання: установи відповідність між виразами (1–3) та їхніми спрощеними виглядами (А–Д).

Вираз 1: $\frac{a}{a-3}-\frac{3}{a-3}$

Вираз 2: $\frac{a^2-9}{a}:\frac{a+3}{a^2}$

Вираз 3: $\frac{3}{a-3}+\frac{a}{3-a}$

Варіанти: А) 1; Б) −1; В) $a(a-3)$; Г) $\frac{a-3}{a}$; Д) $a-3$.

Розв'язання:

Вираз 1: знаменники однакові, тому $\frac{a-3}{a-3}=1$. Це відповідає варіанту А.

Вираз 2: замінюємо ділення множенням на обернений дріб: $\frac{a^2-9}{a}\cdot \frac{a^2}{a+3}=\frac{(a-3)(a+3)}{a}\cdot \frac{a^2}{a+3}=a(a-3)$. Це варіант В.

Вираз 3: знаменники протилежні: $\frac{3}{a-3}+\frac{a}{3-a}=\frac{3}{a-3}-\frac{a}{a-3}=\frac{3-a}{a-3}=\frac{-(a-3)}{a-3}=-1$. Це варіант Б.

Відповідь: 1–А, 2–В, 3–Б.

Приклад 4. Спрощення виразу з кількох дій

Завдання: спростити $\left(\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}\right)\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

Розв'язання:

1. Дія в дужках: спільний знаменник $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$$\frac{a(a+b)-b(a-b)}{a^2-b^2}=\frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

1. Множимо: $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=1$.

Відповідь: 1.

Чому інші варіанти неправильні:

• $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$ — виконано лише віднімання в дужках, а множення проігноровано.

• $\frac{a-b}{a+b}$ — неправильно зведено дроби в дужках.

• $a^2-b^2$ — перемножено знаменники, але не виконано скорочення.

• 0 — помилка: вважають, що вираз дорівнює нулю, бо чисельники нібито взаємно знищуються.

На НМТ завдання з раціональними дробами вважаються простими, але саме на них учасники часто втрачають бали через неуважність. Ось найпоширеніші помилки.

• Не змінено знаки чисельника дробу, що віднімається. Наприклад, у виразі $\frac{5x}{x-1}-\frac{x+4}{x-1}$ помилково пишуть $\frac{5x-x+4}{x-1}$ замість $\frac{5x-(x+4)}{x-1}=\frac{5x-x-4}{x-1}$. Завжди бери чисельник другого дробу в дужки!

• Окремо додають чисельники й окремо знаменники. Наприклад, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ помилково зводять до $\frac{2}{x+y}$. Правильно: спільний знаменник $xy$, тому $\frac{y+x}{xy}$.

• Спільним знаменником беруть добуток усіх знаменників, хоча достатньо меншого. Наприклад, для $\frac{1}{x-2}$ і $\frac{4}{x^2-4}$ спільним знаменником беруть $(x-2)(x^2-4)$ замість $x^2-4$. Це ускладнює обчислення й веде до помилок.

• Під час ділення перевертають перший дріб замість другого. Правило: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$ — перевертаємо дільник, а не ділене.

• Чисельник не домножують на додатковий множник. Наприклад, для $\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}$ помилково пишуть $\frac{1-4}{(x-2)(x+2)}$, забуваючи домножити 1 на $x+2$.

• Результат не скорочують до кінця, тому його не знаходять серед варіантів. Наприклад, $\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}$ не скорочують на $x-2$, хоча це дає $\frac{1}{x+2}$.

Дії з раціональними дробами належать до теми 1.3 програми НМТ з математики: «Правила виконання дій з дробовими раціональними виразами».

У тестовому зошиті ці завдання трапляються в кількох формах:

• У завданнях № 4–15 — вибір однієї правильної відповіді з п'яти (А–Д). Кожне таке завдання оцінюють у 0 або 1 бал. У демоваріанті НМТ-2026 до цієї теми належить, зокрема, завдання № 14.

• У завданні № 17 — «логічні пари»: потрібно встановити відповідність «вираз ↔ значення чи тотожний вираз». Три вирази (1–3) зіставляють із п'ятьма варіантами (А–Д), дві букви зайві. Кожна правильна пара дає 1 бал, усього 0–3 бали.

Спрощення раціональних виразів належить до простих завдань, на яких учасники НМТ втрачають бали через неуважність до знаків. Тому такі завдання варто закрити першими, щоб упевнено подолати прохідний поріг.

Стратегія виконання

Найнадійніша стратегія для завдань на спрощення — підставити допустиме число у вихідний вираз і в кожен варіант відповіді. Наприклад, якщо вираз містить змінну $x$, обери $x=3$ (за умови, що це число не перетворює жоден знаменник на нуль). Обчисли значення вихідного виразу, а потім — кожного варіанта. Той варіант, що дає те саме число, і є правильною відповіддю.

Порада: підстановка числа не замінює спрощення, але дає змогу швидко перевірити відповідь або вибрати правильний варіант, коли часу обмаль.

• Множення: чисельник на чисельник, знаменник на знаменник. Скорочуй до перемноження.

• Ділення: заміни множенням на обернений дріб (переверни дільник).

• Спільний знаменник: розклади знаменники на множники й візьми добуток усіх різних множників у найбільших степенях.

• Чисельник дробу, що віднімається, бери в дужки — знаки всіх його членів змінюються.

• Скорочуй на кожному кроці; відповідь має бути нескоротним дробом.

• Перевірка: підстав допустиме число у вихідний вираз і в отриману відповідь — значення мають збігатися.