Закон збереження імпульсу і реактивний рух

Почнемо з найважливішого поняття — імпульсу тіла. Імпульс (його ще називають кількістю руху) — це векторна фізична величина, яка характеризує механічний рух тіла. Вона дорівнює добутку маси тіла на його швидкість:

$p = mv$

Одиниця вимірювання в СІ — кілограм-метр за секунду (кг·м/с). Напрям вектора імпульсу завжди збігається з напрямом швидкості. Оскільки швидкість — вектор, то й імпульс теж вектор. У проєкції на вісь ОХ маємо: $p_x=m{v}_x$. Якщо тіло рухається в бік, протилежний до обраної осі, проєкція швидкості, а отже й імпульсу, буде від’ємною.

Другий закон Ньютона в імпульсній формі

Ви вже знаєте другий закон Ньютона: $F=ma$. Але його можна записати інакше. Оскільки прискорення $a=(v_2-v_1)/\Delta t$, то:

$F = m \cdot \frac{v_2 - v_1}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad F \cdot \Delta t = m v_2 - m v_1 = \Delta p$

Добуток $F\cdot \Delta t$ називають імпульсом сили. Його одиниця — ньютон-секунда (Н·с), що дорівнює кг·м/с. Імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла. Це й є другий закон Ньютона в імпульсній формі. Він особливо зручний, коли сила діє дуже короткочасно (удар, зіткнення) або коли ми не знаємо прискорення, але знаємо час дії сили.

Ключовий приклад: м’яч, що відскакує від стіни

Уявіть м’яч масою 0,4 кг, який летить горизонтально зі швидкістю 10 м/с до стіни, вдаряється об неї й відскакує назад із такою самою за модулем швидкістю 10 м/с. Якою є зміна імпульсу м’яча?

Виберемо вісь ОХ у напрямі початкового руху м’яча. Тоді початкова проєкція швидкості $v_{1x}=+10$ м/с, а кінцева $v_{2x}=-10$ м/с (м’яч летить назад). Зміна імпульсу:

$\Delta p_x = m v_{2x} - m v_{1x} = 0,4 \cdot (-10) - 0,4 \cdot 10 = -4 - 4 = -8$ кг·м/с

Модуль зміни імпульсу дорівнює $2mv=2\cdot 0,4\cdot 10=8$ кг·м/с. Бачите: якщо б м’яч просто зупинився біля стіни, зміна імпульсу була б лише $mv=4$ кг·м/с. А через відскок він змінює імпульс на $2mv$! Звідси важливий висновок: імпульс — вектор, і напрям руху після взаємодії критично впливає на результат.

Чому час взаємодії важливий?

З формули $F\cdot \Delta t=\Delta p$ випливає, що за однакової зміни імпульсу чим більший час взаємодії, тим менша середня сила. Саме на цьому принципі працюють системи безпеки:

• Подушка безпеки в автомобілі збільшує час зіткнення голови водія з подушкою, зменшуючи силу удару.

• М’яка посадка (зігнуті ноги під час стрибка) подовжує час гальмування.

• Пружини бампера автомобіля збільшують час деформації під час зіткнення.

• Боксерська груша чи мати на ринзі — вони м’які й подовжують контакт, зменшуючи силу.

Закон збереження імпульсу — один із найфундаментальніших законів фізики. Він виконується в замкнених системах і не залежить від того, які саме сили діють між тілами всередині системи.

Замкнена система

Замкнена (ізольована) система — це система тіл, на яку не діють зовнішні сили, або дія зовнішніх сил взаємно зрівноважена. Іншими словами, тіла взаємодіють лише між собою. У такій системі сумарний імпульс усіх тіл залишається незмінним:

$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$

У формулі ліворуч — імпульси тіл до взаємодії, праворуч — після взаємодії. Закон можна поширити на довільну кількість тіл у системі.

Чому сумарний імпульс зберігається?

Розгляньмо два тіла, що взаємодіють. За третім законом Ньютона сили, з якими вони діють одне на одне, однакові за модулем і протилежні за напрямом: ${\vec{F}}_{12}=-{\vec{F}}_{21}$. Час взаємодії $\Delta t$ для обох тіл однаковий. Тому імпульси цих сил теж однакові за модулем і протилежні:

$\vec{F}_{12} \cdot \Delta t = -\vec{F}_{21} \cdot \Delta t$

Але $\vec{F}\cdot \Delta t=\Delta \vec{p}$, отже зміна імпульсу першого тіла дорівнює за модулем і протилежна за знаком зміні імпульсу другого: $\Delta {\vec{p}}_1=-\Delta {\vec{p}}_2$. Сумарна зміна $\Delta {\vec{p}}_1+\Delta {\vec{p}}_2=0$, тобто ${\vec{p}}_1+{\vec{p}}_2=\text{const}$. Внутрішні сили можуть змінювати імпульси окремих тіл, але не змінюють сумарний імпульс системи.

Коли систему можна вважати замкненою?

У реальному світі ідеально замкнених систем майже не буває. Однак закон збереження імпульсу з хорошою точністю виконується, якщо:

• взаємодія короткочасна (удар, постріл, вибух) — тоді внутрішні сили набагато більші за зовнішні (силу тяжіння, тертя);

• зовнішні сили зрівноважені або скомпенсовані;

• зовнішня сила діє вздовж однієї осі, а розглядаємо тільки перпендикулярну до неї проєкцію — наприклад, сила тяжіння вертикальна, а імпульс зберігається вздовж горизонтальної осі.

Алгоритм розв’язування задач

Щоб застосувати закон збереження імпульсу до конкретної задачі, дотримуйся такого алгоритму:

1. Визнач, чи є система замкненою (або чи зберігається проєкція імпульсу на вибрану вісь).

2. Вибери вісь координат (найчастіше вздовж напрямку руху одного з тіл).

3. Запиши проєкції імпульсів усіх тіл на цю вісь до взаємодії — з правильними знаками.

4. Запиши проєкції імпульсів після взаємодії — теж зі знаками.

5. Склади рівняння: сума проєкцій імпульсів до взаємодії дорівнює сумі проєкцій після.

6. Розв’яжи рівняння відносно невідомої величини (швидкості, маси тощо).

Пам’ятай: знаки проєкцій — найпоширеніше джерело помилок! Якщо тіло рухається в бік осі, проєкція додатна; якщо проти осі — від’ємна.

Абсолютно непружний удар

Абсолютно непружний удар — це зіткнення, після якого тіла рухаються разом (зчіплюються). Їхні швидкості після удару однакові. Закон збереження імпульсу для непружного удару двох тіл має вигляд:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

де $u$ — спільна швидкість тіл після удару. Типові приклади: куля, що застрягла в бруску; зчіпка вагонів під час буксирування; стрибок людини на візок, що рухається.

Важливо: швидкості $v_1$ і $v_2$ у формулі — це проєкції на вибрану вісь. Якщо тіла рухаються назустріч одне одному, одна зі швидкостей буде від’ємною.

Приклад з вагонами

Вагон масою 20 т рухається зі швидкістю 0,6 м/с і наздоганяє вагон масою 30 т, що рухається в тому самому напрямі зі швидкістю 0,2 м/с. Після зчіпки вони рухаються разом. Знайдемо їхню спільну швидкість.

Вісь ОХ напрямляємо в бік руху першого вагона. Обидві швидкості додатні, тому:

$u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{20 \cdot 0,6 + 30 \cdot 0,2}{20 + 30} = \frac{12 + 6}{50} = \frac{18}{50} = 0,36$ м/с

А тепер уявімо, що вагони їдуть назустріч: перший — 0,6 м/с, другий — 0,2 м/с у протилежному напрямі. Тоді проєкція швидкості другого вагона від’ємна: $v_2=-0,2$ м/с.

$u = \frac{20 \cdot 0,6 + 30 \cdot (-0,2)}{50} = \frac{12 - 6}{50} = \frac{6}{50} = 0,12$ м/с

Вагони поїдуть у бік руху першого вагона, але повільніше. Якби модулі імпульсів були рівними ($m_1{v}_1=m_2{v}_2$), то $u=0$ — вагони зупинилися б після зчеплення.

Постріл і віддача

Розгляньмо систему «гармата + снаряд». До пострілу вона перебуває в спокої, тому сумарний імпульс дорівнює нулю. Після пострілу снаряд масою $m$ летить уперед зі швидкістю $v$, а гармата масою $M$ відкочується назад зі швидкістю $V$. У проєкції на вісь, напрямлену вздовж пострілу:

${}0 = m v - M V$

Звідси $V=\frac{mv}{M}$. Чим більша маса гармати, тим менша швидкість віддачі. Та сама фізика пояснює, чому човен відходить від берега, коли з нього стрибає людина, або чому стрілець відчуває поштовх у плече.

Розліт після вибуху

Якщо тіло, що було в спокої, розпадається на частини (вибух, розрив снаряда), то векторна сума імпульсів усіх уламків дорівнює нулю. Для двох уламків:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad m_1 v_1 = - m_2 v_2$

Тобто уламки розлітаються в протилежні боки, а модулі їхніх імпульсів однакові: $m_1{v}_1=m_2{v}_2$. Легший уламок має більшу швидкість.

Реактивний рух — це рух тіла, що виникає внаслідок відокремлення від нього частини маси з деякою швидкістю. Природа дала чимало прикладів такого руху: кальмар і медуза викидають воду й рухаються в протилежний бік; восьминіг створює реактивний струмінь через лійку. Людство використовує цей принцип у ракетах, реактивних літаках і навіть у звичайній гарматі (віддача).

Рівняння реактивного руху

Розгляньмо найпростіший випадок: ракета (або будь-яке тіло) перебуває в спокої, а потім викидає частину маси. До викиду сумарний імпульс системи дорівнює нулю. Після викиду система складається з ракети масою $M$, що рухається зі швидкістю $v$, і викинутих газів масою $m$, що рухаються зі швидкістю $u$. У проєкції на вісь, напрямлену вздовж руху ракети:

${}0 = M \cdot v - m \cdot u$

Звідки швидкість ракети:

$v = \frac{m \cdot u}{M}$

Важливо: у цьому рівнянні $u$ — швидкість викинутих газів відносно Землі, а не відносно ракети. У шкільних задачах зазвичай дають саме швидкість газів відносно Землі. Якщо дана швидкість відносно ракети, її треба перерахувати.

Швидкість ракети тим більша, чим більша маса викинутих газів $m$ і чим більша їхня швидкість $u$, а також чим менша маса самої ракети $M$ після викиду.

Чому ракета летить у космосі?

Поширена помилкова думка: ракета відштовхується від повітря. Насправді ракеті для руху не потрібне зовнішнє середовище. Вона відштовхується від власних газів, які викидає з сопла. У космічному вакуумі гази вилітають ще ефективніше, бо немає опору повітря. Саме тому ракетні двигуни працюють і в безповітряному просторі — це ілюструє третій закон Ньютона: гази штовхають ракету вперед, а ракета штовхає гази назад.

Приклад із човном

З нерухомого човна, що разом із вантажем має масу 200 кг, кидають вантаж масою 10 кг горизонтально зі швидкістю 4 м/с відносно Землі. Якої швидкості набуває човен?

Система «човен + вантаж» до кидка в спокої, тому сумарний імпульс дорівнює нулю. Після кидка:

${}0 = M \cdot v - m \cdot u$

Тут $M$ — маса човна після кидка (200 - 10 = 190 кг), $m=10$ кг, $u=4$ м/с. Звідси:

$v = \frac{m \cdot u}{M} = \frac{10 \cdot 4}{190} = \frac{40}{190} \approx 0,21$ м/с

Човен рухається в бік, протилежний до кинутого вантажу, зі швидкістю приблизно 0,21 м/с.

У цьому розділі розв’яжемо типові задачі, які трапляються на НМТ. Кожна задача — з покроковим аналізом.

Приклад 1. Куля в бруску

Умова: Куля масою 10 г летить горизонтально зі швидкістю 400 м/с і застрягає в нерухомому бруску масою 1,99 кг, що лежить на гладкій горизонтальній поверхні. Визнач швидкість бруска після застрягання кулі. Відповідь запиши в м/с.

Розв’язання:

1. Систему «куля + брусок» можна вважати замкненою вздовж горизонталі, бо поверхня гладка (тертя немає) й сила тяжіння вертикальна.

2. Вісь ОХ напрямляємо вздовж початкового руху кулі.

3. Масу кулі переводимо в кілограми: m = 10 г = 0,01 кг. Швидкість кулі v₁ = 400 м/с. Брусок до удару нерухомий: v₂ = 0.

4. Після удару куля застрягає — тіла рухаються разом. Це непружний удар: (m + M)·u — сумарний імпульс після удару.

5. Записуємо закон збереження імпульсу в проєкціях: m·v₁ + M·v₂ = (m + M)·u => 0,01·400 + 1,99·0 = (0,01 + 1,99)·u.

6. Обчислюємо: 4 = 2·u => u = 2 м/с.

Відповідь: 2 м/с.

Чому варіанти-пастки не підходять? Якщо підставити масу кулі в грамах, а масу бруска в кілограмах, вийде 10·400/(10 + 1,99) ≈ 333 м/с — грубо неправильно. Якщо взяти m = 0,01 і M = 1,99, але поділити 0,01·400 на 1,99 (забувши додати масу кулі), вийде ≈ 2,01 — близько, але не точно.

Приклад 2. Зустрічне зіткнення візків

Умова: Візок масою 40 кг рухається зі швидкістю 3 м/с назустріч візку масою 20 кг, що рухається зі швидкістю 6 м/с. Після зіткнення візки зчіплюються. Визнач швидкість зчеплених візків. Відповідь запиши в м/с.

Розв’язання:

1. Система замкнена вздовж горизонталі — тертя не враховуємо, зовнішні сили вертикальні.

2. Вісь ОХ напрямляємо в бік руху першого візка (40 кг).

3. Проєкції швидкостей до удару: v₁ = +3 м/с; v₂ = −6 м/с (другий візок рухається назустріч — проти осі).

4. Після удару — зчіпка (непружний удар): (m₁ + m₂)·u.

5. Рівняння: m₁·v₁ + m₂·v₂ = (m₁ + m₂)·u => 40·3 + 20·(−6) = (40 + 20)·u => 120 − 120 = 60·u => 0 = 60·u.

6. Звідси u = 0 м/с.

Відповідь: 0 м/с.

Пояснення: модулі імпульсів візків до удару однакові (40·3 = 120 кг·м/с і 20·6 = 120 кг·м/с), але напрями протилежні. Тому сумарний імпульс дорівнює нулю — після зчіпки візки зупиняються. Типова помилка: не поставити знак «мінус» перед швидкістю другого візка, отримавши u = (120 + 120)/60 = 4 м/с, що неправильно.

Приклад 3. Людина стрибає з човна

Умова: З нерухомого човна масою 80 кг на берег стрибає людина масою 60 кг зі швидкістю 2 м/с відносно берега. Як при цьому рухається човен?

Варіанти відповідей (вибір однієї з чотирьох):

• А. Човен рухається в той самий бік, що й людина, зі швидкістю 1,5 м/с.

• Б. Човен рухається в бік, протилежний рухові людини, зі швидкістю 0,5 м/с.

• В. Човен рухається в бік, протилежний рухові людини, зі швидкістю 1,5 м/с.

• Г. Човен рухається в той самий бік, що й людина, зі швидкістю 2 м/с.

Розв’язання:

1. До стрибка система «човен + людина» нерухома, тому сумарний імпульс дорівнює нулю.

2. Вісь ОХ напрямляємо в бік руху людини (до берега).

3. Після стрибка: імпульс людини m·v = 60·2 кг·м/с, імпульс човна M·V (V — швидкість човна, яку шукаємо).

4. Рівняння: 0 = m·v − M·V. Знак «мінус» — тому що човен рухається в протилежний бік (проєкція його швидкості від’ємна, але ми записуємо V як модуль і ставимо мінус явно).

5. Звідси V = (m·v)/M = (60·2)/80 = 120/80 = 1,5 м/с.

Відповідь: В. Човен рухається в бік, протилежний рухові людини, зі швидкістю 1,5 м/с.

Чому інші варіанти неправильні? А і Г — хибний напрям: човен не може рухатися в той самий бік, що й людина, бо тоді сумарний імпульс після стрибка не дорівнював би нулю. Б — напрям правильний, але швидкість 0,5 м/с хибна: за законом збереження імпульсу V = 60·2/80 = 1,5 м/с.

Приклад 4. Відскок м’яча від стіни

Умова: М’яч масою 200 г рухається горизонтально зі швидкістю 5 м/с, ударяється об стіну й відскакує з тією самою за модулем швидкістю. Чому дорівнює модуль зміни імпульсу м’яча?

Варіанти відповідей (вибір однієї з чотирьох):

• А. 0 кг·м/с

• Б. 1 кг·м/с

• В. 2 кг·м/с

• Г. 4 кг·м/с

Розв’язання:

1. m = 200 г = 0,2 кг. Початкова швидкість v₁ = +5 м/с. Кінцева v₂ = −5 м/с (відскок у протилежний бік).

2. Зміна імпульсу: Δp = m·v₂ − m·v₁ = 0,2·(−5) − 0,2·5 = −1 − 1 = −2 кг·м/с.

3. Модуль зміни: |Δp| = 2 кг·м/с.

Відповідь: В. 2 кг·м/с.

Чому інші варіанти неправильні? А (0 кг·м/с) — студенти помилково вважають, що раз швидкість за модулем не змінилась, то й імпульс не змінився, ігноруючи векторну природу імпульсу. Б (1 кг·м/с) — це m·v = 0,2·5 = 1, тобто зміну імпульсу плутають із самим імпульсом або беруть зміну тільки для випадку «зупинився». Г (4 кг·м/с) — удвічі більше за правильну відповідь: зміну імпульсу 2mv подвоїли ще раз.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв’язування задач на закон збереження імпульсу. Уникаючи їх, ти значно підвищиш свої шанси на правильну відповідь.

• Додавання модулів імпульсів замість проєкцій зі знаками. Коли тіла рухаються назустріч, один із імпульсів треба брати з мінусом. Якщо просто додати модулі, сумарний імпульс вийде завищеним, а швидкість після взаємодії — неправильною.

• Забувати, що імпульс — векторна величина. Пружний відскок від стіни змінює імпульс на 2mv, а не на нуль. Багато хто помилково вважає, що коли швидкість за модулем не змінилась, то й імпульс не змінився. Насправді напрям швидкості змінився на протилежний, тому зміна імпульсу дорівнює 2mv.

• Брати швидкість викиду газів відносно ракети, а не відносно Землі. У рівнянні 0 = M·v − m·u величина u — це швидкість газів відносно Землі. Якщо в умові дано швидкість газів відносно ракети, її треба перерахувати: u(відносно Землі) = u(відносно ракети) − v(ракети).

• Застосовувати закон збереження імпульсу до незамкненої системи, не перевіривши умови. Система має бути замкненою — без зовнішніх сил або з дуже малими зовнішніми силами порівняно з внутрішніми. Якщо вздовж осі діє значна зовнішня сила (наприклад, тертя), закон збереження вздовж цієї осі не виконується.

• Змішувати масу в грамах і кілограмах. У рівнянні збереження імпульсу всі маси мають бути в кілограмах, а швидкості — у метрах за секунду. Якщо маса кулі 10 г, обов’язково переведи її в 0,01 кг. Інакше числовий результат буде хибним.

Розуміння того, як саме тему перевіряють на НМТ, допомагає правильно розподілити час і зусилля під час підготовки.

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 року завдання № 3 (тема 1.3, вибір однієї відповіді, 1 бал) перевіряє зв’язок кінетичної енергії та імпульсу у формі «як зміниться». Це означає, що тебе можуть попросити визначити, як зміниться імпульс тіла, якщо змінити його масу або швидкість, або як зміниться кінетична енергія за заданої зміни імпульсу.

У довідкових матеріалах НМТ, які ти отримаєш на тестуванні, є формули:

• імпульс тіла: $p=mv$;

• імпульс сили: $F\Delta t=\Delta p$;

• закон збереження імпульсу: $m_1{\vec{v}}_1+m_2{\vec{v}}_2=m_1{\vec{u}}_1+m_2{\vec{u}}_2$.

Однак у довіднику немає підказок щодо знаків проєкцій та умови замкненості системи — це ти маєш визначити самостійно, аналізуючи умову задачі.

Задачі на закони збереження можуть бути комбінованими з іншими розділами механіки. Наприклад, після знаходження швидкості бруска з кулею (закон збереження імпульсу) тебе можуть попросити обчислити кінетичну енергію системи (закон збереження енергії) або висоту, на яку підніметься брусок (перетворення кінетичної енергії в потенціальну).

У формі з короткою відповіддю (завдання № 17–22) такі задачі оцінюються в 0 або 2 бали. Тобто за правильне розв’язання ти отримуєш 2 бали, а за неправильне — 0 балів. Часткового бала не дають. Тому особливо уважно перевіряй перетворення одиниць і знаки проєкцій.

• Імпульс тіла: $\vec{p}=m\vec{v}$ — векторна величина, напрямлена як швидкість. Одиниця: кг·м/с.

• Імпульс сили: $F\cdot \Delta t=\Delta p$ — імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла.

• У замкненій системі сумарний імпульс не змінюється. Рівняння пишуть у проєкціях на вісь із правильними знаками.

• Непружний удар (тіла зчіплюються): $m_1{v}_1+m_2{v}_2=(m_1+m_2)u$.

• Постріл (система в спокої до взаємодії): $0=mv-MV$, звідки $V=mv/M$.

• Реактивний рух: $0=M\cdot v-m\cdot u$. Швидкість викинутих газів $u$ беруть відносно Землі.

• Систему можна вважати замкненою, якщо взаємодія короткочасна (удар, постріл, вибух). Якщо зовнішня сила вертикальна, зберігається горизонтальна проєкція імпульсу.