Механічна робота і потужність

У фізиці поняття «робота» має точне означення, відмінне від побутового. Механічна робота сталої сили — це міра передавання енергії від одного тіла до іншого через дію сили на тіло, що переміщується. Основна формула:

$$A=F\cdot s\cdot \cos \alpha$$

де F — модуль сталої сили (Н), s — модуль переміщення (м), α — кут між напрямом сили та напрямом переміщення. Одиниця вимірювання — джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н·м. Робота — скалярна величина, тому вона не має напряму, але може бути додатною, від’ємною або нульовою.

Знак роботи та його фізичний зміст

Знак роботи визначається кутом α:

• α < 90° — cos α > 0, отже A > 0 (додатна робота). Сила «допомагає» рухові, прискорює тіло. Наприклад, сила тяги електровоза виконує додатну роботу, розганяючи потяг.

• α = 90° — cos α = 0, отже A = 0. Сила, перпендикулярна до переміщення, роботи не виконує.

• α > 90° — cos α < 0, отже A < 0 (від’ємна робота). Сила протидіє рухові, гальмує тіло. Сила тертя ковзання напрямлена проти переміщення (α = 180°, cos α = −1), тому її робота A = −Fтер·s.

Коли сила роботи не виконує

Багато сил у природі не виконують роботи, бо діють перпендикулярно до переміщення. Найважливіші приклади:

• Нормальна реакція опори N: коли тіло рухається по горизонтальній поверхні, N напрямлена вертикально вгору, а переміщення — горизонтально, кут 90°, робота нульова.

• Сила натягу нитки в маятнику: під час руху по колу натяг напрямлений до центра (по радіусу), миттєве переміщення — по дотичній, кут 90°, робота нуль.

• Доцентрова сила під час рівномірного руху по колу: напрямлена до центра, переміщення по дотичній, кут 90°, робота нуль.

Робота кількох сил і графічний спосіб

Якщо на тіло діє кілька сил, загальна (сумарна) робота дорівнює алгебраїчній сумі робіт кожної сили окремо. Той самий результат дає робота рівнодійної всіх сил. На графіку залежності проєкції сили на напрям переміщення Fₓ(s) робота чисельно дорівнює площі фігури під графіком (для сталої сили — площа прямокутника, для змінної — площа трапеції, трикутника тощо).

Наприклад: якщо на тіло діють сила тяги 100 Н уперед і сила тертя 40 Н назад, то сумарна робота на шляху 10 м становить A = Aтяги + Aтер = 100·10 + (−40·10) = 1000 − 400 = 600 Дж (або A = (100 − 40)·10 = 600 Дж через рівнодійну).

Сила тяжіння — особливий випадок сталої сили, адже поблизу поверхні Землі її модуль mg не змінюється. Робота сили тяжіння обчислюється за формулою:

$$A=mg(h_1-h_2)$$

де m — маса тіла, g — прискорення вільного падіння (зазвичай 10 м/с² у задачах НМТ), h₁ — початкова висота, h₂ — кінцева висота. Важливо: робота залежить лише від різниці висот, а не від форми траєкторії, якою тіло рухалося.

Знак роботи сили тяжіння

Коли тіло опускається (h₁ > h₂), різниця (h₁ − h₂) додатна, тому A > 0 — сила тяжіння виконує додатну роботу, «допомагаючи» рухові вниз. Коли тіло піднімають (h₁ < h₂), різниця від’ємна, тому A < 0 — сила тяжіння виконує від’ємну роботу, гальмуючи підйом.

Приклад: рівномірно піднімають вантаж масою 20 кг на висоту 3 м. Зовнішня сила виконує роботу Aзовн = mgh = 20·10·3 = 600 Дж, а сила тяжіння виконує роботу Aтяж = mg(h₁ − h₂) = 20·10·(0 − 3) = −600 Дж. Роботи рівні за модулем, але протилежні за знаком.

Незалежність від траєкторії

Робота сили тяжіння залежить тільки від різниці висот між початковою та кінцевою точками, а не від довжини шляху. Це означає, що тіло, яке зісковзує по похилій площині, падає вертикально вниз або рухається по дузі між тими самими двома точками, зазнає однакової роботи сили тяжіння. За замкненою траєкторією (повернення в початкову точку, h₁ = h₂) робота дорівнює нулю.

Пройдений шлях уздовж пологої гірки значно довший, ніж вертикальне падіння, але робота сили тяжіння однакова — вона визначається лише втратою висоти, а не довжиною маршруту.

Потужність — це фізична величина, яка характеризує швидкість виконання роботи. Вона показує, яку роботу виконує сила за одиницю часу.

$$N=\frac{A}{t}$$

Одиниця потужності — ват (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с. У техніці часто використовують кратні одиниці: кіловат (1 кВт = 10³ Вт) і мегават (1 МВт = 10⁶ Вт). Також трапляється позасистемна одиниця — кінська сила: 1 к. с. ≈ 735 Вт.

Потужність за рівномірного руху

Якщо тіло рухається рівномірно під дією сталої сили, потужність можна обчислити через силу та швидкість:

$$N=F\cdot v$$

де F — модуль сили, напрямленої вздовж переміщення, v — швидкість тіла. Формулу виводять підстановкою A = F·s у N = A/t: N = F·s/t = F·v. На рівній дорозі під час рівномірного руху сила тяги дорівнює силі опору (Fтяги = Fопору), тому потужність можна обчислити через будь-яку з них.

Важливо: N = F·v дає миттєву потужність, якщо брати миттєву швидкість, і середню потужність, якщо брати середню швидкість. Для нерівномірного руху треба чітко розрізняти ці поняття.

Робота через потужність. Кіловат-година

З означення потужності випливає, що роботу можна виразити як добуток потужності на час:

$$A=N\cdot t$$

У побуті й техніці поширена позасистемна одиниця роботи — кіловат-година (кВт·год). 1 кВт·год — це робота, яку виконує пристрій потужністю 1 кВт за 1 годину. Переведення в системні одиниці:

$$1\text{ кВт⋅год}=1000\text{ Вт}\cdot 3600\text{ с}=3,6\cdot 10^6\text{ Дж}=3,6\text{ МДж}$$

Саме за роботу (кіловат-години), а не за потужність, платять за лічильником електроенергії. Якщо праска потужністю 2 кВт працює 3 години, спожита електроенергія становить 2 кВт·3 год = 6 кВт·год.

Приклад розрахунку

Автомобіль рівномірно їде горизонтальною дорогою зі швидкістю 20 м/с. Сила опору рухові становить 1500 Н. Оскільки рух рівномірний, сила тяги дорівнює силі опору: Fтяги = 1500 Н. Тоді потужність двигуна:

N = 1500 Н · 20 м/с = 30 000 Вт = 30 кВт.

Приклад 1. Робота сили, прикладеної під кутом

Завдання: Ящик тягнуть по горизонтальній підлозі на відстань 5 м. Сила, з якою тягнуть ящик, дорівнює 40 Н і напрямлена під кутом 60° до горизонту. Визнач роботу цієї сили (у Дж).

Розв'язання:

1. Записуємо формулу роботи сталої сили: A = F·s·cos α.

2. Підставляємо дані: F = 40 Н, s = 5 м, α = 60°.

3. cos 60° = 0,5.

4. A = 40·5·0,5 = 100 Дж.

Відповідь: 100 Дж.

Чому це правильно: cos 60° = 0,5, тому лише половина сили «працює» в напрямі переміщення. Якщо забути cos α і помножити 40·5, вийшло б 200 Дж — це поширена помилка.

Приклад 2. Потужність підйомного крана

Завдання: Кран рівномірно піднімає бетонну плиту масою 500 кг на висоту 12 м за 20 с. Визнач потужність крана (у Вт). Уважай g = 10 м/с².

Розв'язання:

1. Спочатку знаходимо роботу, яку виконує кран: A = F·s = mg·h, де F = mg (кран долає силу тяжіння), s = h.

2. A = 500·10·12 = 60 000 Дж.

3. Потужність: N = A/t = 60 000 / 20 = 3000 Вт.

Відповідь: 3000 Вт.

Чому це правильно: кран виконує роботу проти сили тяжіння. Оскільки рух рівномірний, сила тяги дорівнює mg. Потужність 3000 Вт = 3 кВт — цілком реалістичне значення для будівельного крана.

Приклад 3. Знак роботи сил під час гальмування

Завдання: Автомобіль гальмує на горизонтальній дорозі. Який знак роботи сили тертя ковзання та сили нормальної реакції опори?

Варіанти відповідей:

• А: тертя — додатна, нормальна реакція — від'ємна

• Б: тертя — від'ємна, нормальна реакція — нульова

• В: тертя — нульова, нормальна реакція — додатна

• Г: обидві — додатні

Розв'язання:

Сила тертя ковзання напрямлена проти переміщення (кут 180°, cos 180° = −1), тому Aтер = −Fтер·s < 0 — робота від'ємна. Сила нормальної реакції опори напрямлена вертикально вгору, а переміщення горизонтальне (кут 90°, cos 90° = 0), тому Aнорм = 0.

Відповідь: Б. Сила тертя виконує від'ємну роботу, сила нормальної реакції — нульову.

Приклад 4. Робота сили тяжіння на різних траєкторіях

Завдання: Тіло переміщується з точки А на висоті H до точки Б на висоті h (H > h) трьома різними шляхами: вертикально вниз, по похилій площині та по дузі. Порівняй роботи сили тяжіння на цих траєкторіях.

Варіанти відповідей:

• А: найбільша на похилій площині

• Б: найбільша під час вертикального падіння

• В: найменша на дузі

• Г: однакові на всіх трьох траєкторіях

Розв'язання:

Робота сили тяжіння A = mg(h₁ − h₂) залежить лише від різниці висот, а не від траєкторії. Оскільки H − h однакова для всіх трьох випадків, робота сили тяжіння буде однаковою.

Відповідь: Г. Роботи однакові.

• Вважати, що сила, перпендикулярна до переміщення, виконує роботу. Насправді якщо α = 90°, то cos α = 0, тому A = 0. Приклади: нормальна реакція опори на горизонтальній поверхні, доцентрова сила під час руху по колу, сила натягу нитки в маятнику.

• Не враховувати cos α, коли сила не напрямлена вздовж переміщення. Загальна формула A = F·s·cos α, а не просто A = F·s. Якщо сила напрямлена під кутом, у роботі бере участь лише її проєкція на напрям переміщення.

• Підставляти шлях (довжину траєкторії) замість різниці висот у роботу сили тяжіння. Формула A = mg(h₁ − h₂) містить різницю висот, а не пройдений шлях. По похилій площині шлях довший, але робота та сама.

• Плутати потужність і роботу, ват і кіловат-годину. Потужність (Вт) — це швидкість виконання роботи, а кіловат-година (кВт·год) — це одиниця роботи (енергії). 1 кВт·год = 3,6 МДж. За лічильником платять за роботу, а не за потужність.

• Користуватися N = F·v для нерівномірного руху без уточнення, миттєва чи середня величина. Формула дає миттєву потужність, якщо v — миттєва швидкість, і середню, якщо v — середня швидкість. Для нерівномірного руху ці величини різні.

Формули A = F·s·cos α, потужності P = A/t і P = F·v, ККД і A = ΔE є в довідкових матеріалах НМТ. Увага: у довідці потужність позначено P, а не N (таке позначення прийняте в багатьох підручниках на позначення потужності). Окремої формули для роботи сили тяжіння в довідці немає — її треба вивести самостійно, підставивши F = mg і s = h₁ − h₂.

Кут між силою й переміщенням та знак роботи потрібно визначати самостійно за умовою задачі. Це вміння безпосередньо перевіряють у завданнях на розуміння фізичного змісту роботи.

Робота й потужність належать до теми 1.3 програми «Закони збереження в механіці». У демоваріанті НМТ-2026 цю тему представляє завдання № 3 (зв'язок кінетичної енергії та імпульсу, вибір однієї відповіді, 1 бал); окремого завдання саме на роботу чи потужність там немає. Крім того, розрахункові задачі з короткою відповіддю (№ 17–22, 0 або 2 бали) можуть поєднувати різні теми механіки, зокрема роботу й потужність, із кінематикою, динамікою або законами збереження.

Стратегія розв'язування

1. Уважно прочитай умову й визнач, яка саме сила виконує роботу. Знайди кут між напрямом цієї сили й напрямом переміщення.

2. Переведи всі величини в одиниці СІ: масу в кілограми, шлях у метри, час у секунди, силу в ньютони.

3. Визнач, чи є рух рівномірним. Якщо так — сила тяги дорівнює силі опору, і можна застосувати N = F·v.

4. Підстав числові значення в формулу. Для сили тяжіння використовуй різницю висот, а не пройдений шлях.

5. Перевір знак відповіді: додатна робота — сила прискорює, від'ємна — гальмує.

• A = F·s·cos α, де α — кут між силою й переміщенням. Одиниця — джоуль (Дж). Знак роботи: α < 90° — додатна, α = 90° — нуль, α > 90° — від'ємна.

• Сила, перпендикулярна до переміщення, роботи не виконує: нормальна реакція опори, доцентрова сила, сила натягу нитки в маятнику.

• Робота сили тяжіння A = mg(h₁ − h₂) не залежить від траєкторії, а тільки від різниці висот. Додатна під час опускання, від'ємна під час піднімання.

• Потужність N = A/t — швидкість виконання роботи, одиниця — ват (Вт). За рівномірного руху N = F·v.

• Позасистемна одиниця роботи 1 кВт·год = 3,6 МДж. За лічильником електроенергії платять за роботу (кВт·год), а не за потужність (кВт).