Відносність руху і додавання швидкостей

У класичній механіці рух завжди відносний. Це означає, що швидкість тіла, його траєкторія, шлях і переміщення залежать від того, яку систему відліку обрано. Наприклад, людина йде вагоном потяга зі швидкістю 1 м/с проти напрямку руху потяга, а сам потяг рухається зі швидкістю 20 м/с відносно землі. Відносно вагона людина рухається зі швидкістю 1 м/с, а відносно землі — зі швидкістю 19 м/с у напрямку руху потяга. Та сама людина за одну секунду відносно вагона проходить 1 м, а відносно землі — 19 м.

У класичній механіці є величини, які не залежать від вибору системи відліку: проміжки часу, відстань між двома точками в той самий момент і маса тіла. Вони однакові в усіх системах відліку. Це важливо: час у класичній фізиці плине однаково для всіх спостерігачів.

Нерухомою системою відліку зазвичай вважають систему, пов'язану із Землею: берег річки, дорога, платформа. Рухомою системою відліку називають систему, пов'язану з тілом, що рухається відносно нерухомої: вагон потяга, вода річки, ескалатор, повітря під час вітру.

Яскравий приклад відносності траєкторії — краплі дощу. У безвітряну погоду краплі падають вертикально відносно землі. Але якщо ти їдеш у вагоні, на склі з'являються похилі сліди. Чому? Тому що відносно вагона, який рухається горизонтально, краплі мають і горизонтальну, і вертикальну складові швидкості — їхня траєкторія відносно вагона похила. Отже, траєкторія, як і швидкість, відносна.

Основний інструмент для розв'язування задач на відносний рух — класичний закон додавання швидкостей. Він стверджує: швидкість тіла відносно нерухомої системи відліку дорівнює векторній сумі швидкості тіла відносно рухомої системи та швидкості самої рухомої системи відносно нерухомої:

$$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$$

Тут v — швидкість тіла відносно нерухомої системи (наприклад, берега), v₁ — швидкість тіла відносно рухомої системи (човна відносно води), v₂ — швидкість рухомої системи відносно нерухомої (течії відносно берега). Так само додають і переміщення за той самий час.

Коли всі швидкості напрямлені вздовж однієї прямої, векторне додавання зводиться до додавання проєкцій: $$v_x=v_{1x}+v_{2x}$$. Якщо напрямки збігаються, модулі додають; якщо протилежні — віднімають, а напрям результівної швидкості збігається з напрямком більшої за модулем швидкості.

Човен за течією і проти течії

Нехай човен має швидкість v відносно води, а течія річки — швидкість u відносно берега. Тоді швидкість човна відносно берега:

• за течією: v + u (напрямки збігаються)

• проти течії: v − u (напрямки протилежні)

Час руху човна на відстань L туди й назад (за течією і проти): $$t=\frac{L}{v+u}+\frac{L}{v-u}$$. Цей час завжди більший, ніж $$\frac{2L}{v}$$ у стоячій воді, адже проти течії човен рухається довше, ніж за течією, і повільна ділянка забирає більше часу, ніж виграє швидка.

Пасажир на ескалаторі

Ескалатор завдовжки L рухається зі швидкістю u. Пасажир іде по сходинках зі швидкістю v відносно них. Тоді швидкість пасажира відносно нерухомої платформи:

• у напрямку руху ескалатора: v + u, час підйому $$t=L/(v+u)$$

• проти напрямку руху ескалатора: v − u, час $$t=L/(v-u)$$ (можливо лише за v > u)

Часто в задачах відомі не швидкості, а часи. Якщо пасажир, стоячи на рухомому ескалаторі, піднімається за t₁, а йдучи нерухомим ескалатором — за t₂, то час підйому, коли він іде рухомим ескалатором, обчислюють за формулою:

$$t = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$$

Наприклад, якщо t₁ = 60 с, t₂ = 40 с, то t = 60·40 / (60 + 40) = 2400 / 100 = 24 с.

Важливо пам'ятати: класичний закон додавання швидкостей справедливий лише для швидкостей, значно менших за швидкість світла (≈ 3·10⁸ м/с). Для швидкостей, близьких до неї, діє релятивістський закон додавання швидкостей. Ця тема входить до програми НМТ (блок «Елементи теорії відносності»), а формула є в довідкових матеріалах; класичний закон застосовуй, коли швидкості значно менші за c.

У багатьох задачах потрібно знайти швидкість одного тіла відносно іншого. Для цього використовують формулу:

$$\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$$

Тут v₁₂ — швидкість тіла 1 відносно тіла 2. Іншими словами, ти переходиш у систему відліку, пов'язану з тілом 2, і розглядаєш рух тіла 1 відносно нього. У цій системі тіло 2 нерухоме, а тіло 1 рухається з відносною швидкістю v₁₂.

Попутний і зустрічний рух

Якщо тіла рухаються вздовж однієї прямої, то:

• попутний рух (в одному напрямку): модуль відносної швидкості дорівнює $$|v_1-v_2|$$

• зустрічний рух (назустріч одне одному): модуль відносної швидкості дорівнює $$v_1+v_2$$

Час зустрічі тіл, які початково перебувають на відстані L і рухаються назустріч:

$$t = \frac{L}{v_1 + v_2}$$

Час, за який швидше тіло наздожене повільніше (попутний рух, початкова відстань L):

$$t = \frac{L}{v_1 - v_2}$$

Потяги минають один одного

Коли два потяги проїжджають один повз одного, відносний шлях, який вони мають подолати, дорівнює сумі їхніх довжин. Розгляньмо приклад: потяг завдовжки 200 м рухається зі швидкістю 72 км/год, а зустрічний потяг завдовжки 100 м — зі швидкістю 36 км/год. Переведи швидкості в м/с: 72 км/год = 20 м/с, 36 км/год = 10 м/с. Оскільки потяги рухаються назустріч, відносна швидкість дорівнює 20 + 10 = 30 м/с. Відносний шлях — сума довжин: 200 + 100 = 300 м. Час, за який вони минуть один одного: t = 300 / 30 = 10 с.

Ключова ідея: перейди в систему відліку, пов'язану з одним із тіл. У цій системі воно нерухоме, а друге тіло рухається з відносною швидкістю. Тоді задача зводиться до простого руху одного тіла.

Коли швидкості напрямлені не вздовж однієї прямої, а під кутом, зокрема перпендикулярно, векторне додавання виконують за правилом трикутника або паралелограма. Типовий приклад — переправа через річку, коли курс човна перпендикулярний до берега.

Курс човна перпендикулярний до берега

Нехай човен тримає курс строго перпендикулярно до берега (тобто його швидкість v відносно води напрямлена поперек річки), а течія зі швидкістю u напрямлена вздовж річки. Тоді швидкість човна відносно берега знаходять за теоремою Піфагора:

$$v_{\text{б}} = \sqrt{v^2 + u^2}$$

Час переправи t залежить лише від ширини річки d і швидкості човна відносно води v, а не від течії:

$$t = \frac{d}{v}$$

За цей час течія знесе човен униз на відстань:

$$l = u \cdot t$$

Модуль переміщення човна відносно берега дорівнює $$\sqrt{d^2+l^2}$$.

Приклад

Річка завширшки 120 м. Човен пливе зі швидкістю 4 м/с відносно води перпендикулярно до берега. Течія має швидкість 3 м/с. Швидкість човна відносно берега: $$\sqrt{4^2+3^2}=5$$ м/с. Час переправи: t = 120 / 4 = 30 с. Знесення течією: l = 3 · 30 = 90 м. Модуль переміщення: $$\sqrt{120^2+90^2}=150$$ м.

Найкоротший шлях: під кутом проти течії

Щоб перепливти річку найкоротшим шляхом (перпендикулярно до берега), човен має спрямовуватися під кутом проти течії. Тоді його швидкість відносно берега буде перпендикулярною до берега, а її модуль:

$$v_{\text{б}} = \sqrt{v^2 - u^2}$$

Це можливо лише за умови v > u. Наприклад, якщо v = 5 м/с, u = 3 м/с, то $$v_{\text{б}}=\sqrt{25-9}=4$$ м/с.

Запам'ятай: найменший час переправи — коли курс човна перпендикулярний до берега; найкоротший шлях — коли до берега перпендикулярна його швидкість відносно берега.

Інші приклади перпендикулярних швидкостей

Так само додають швидкість літака відносно повітря й швидкість вітру. Якщо вітер дме перпендикулярно до курсу літака, його швидкість відносно землі знаходять за теоремою Піфагора.

Краплі дощу в безвітряну погоду падають вертикально зі швидкістю v_кр. Якщо автомобіль рухається горизонтально зі швидкістю v_авт, то відносно автомобіля краплі летять під кутом α до вертикалі, де $$\mathrm{tg}\alpha =\frac{v_{\text{авт}}}{v_{\text{кр}}}$$.

Приклад 1. Ескалатор

Пасажир піднімається нерухомим ескалатором за 90 с, а стоячи на рухомому ескалаторі — за 60 с. За скільки секунд він підніметься, ідучи рухомим ескалатором?

Розв'язання. Позначимо довжину ескалатора L. Швидкість пасажира відносно нерухомого ескалатора: v = L / t₂ = L / 90. Швидкість ескалатора: u = L / t₁ = L / 60. Коли пасажир іде рухомим ескалатором у напрямку його руху, їхні швидкості додаються: v + u = L / 90 + L / 60 = L · (1/90 + 1/60) = L · (2/180 + 3/180) = L · (5/180) = L / 36. Отже, час підйому t = L / (v + u) = L / (L / 36) = 36 с.

Відповідь: 36 с.

Можна скористатися готовою формулою: t = t₁t₂ / (t₁ + t₂) = 90 · 60 / (90 + 60) = 5400 / 150 = 36 с.

Приклад 2. Автомобілі назустріч

Два автомобілі рухаються назустріч один одному зі швидкостями 60 км/год і 90 км/год. Чому дорівнює модуль швидкості першого автомобіля відносно другого?

Розв'язання. Автомобілі рухаються назустріч, тому їхні швидкості напрямлені протилежно. Швидкість першого автомобіля відносно другого: v₁₂ = v₁ + v₂ = 60 + 90 = 150 км/год. Модуль відносної швидкості дорівнює сумі модулів швидкостей.

Відповідь: 150 км/год.

Типові помилкові відповіді: 30 км/год (віднімання замість додавання), 75 км/год (середнє арифметичне), 90 км/год (швидкість другого автомобіля).

Приклад 3. Човен за течією і проти

Моторний човен проходить 36 км за течією річки за 2 год, а проти течії — за 3 год. Знайди швидкість течії в км/год.

Розв'язання. Швидкість човна за течією: v + u = 36 / 2 = 18 км/год. Швидкість човна проти течії: v − u = 36 / 3 = 12 км/год. Віднімемо друге рівняння від першого: (v + u) − (v − u) = 18 − 12, звідки 2u = 6, u = 3 км/год.

Відповідь: 3 км/год.

Приклад 4. Переправа через річку

Човен перетинає річку завширшки 60 м, тримаючи курс перпендикулярно до берега зі швидкістю 2 м/с відносно води. Швидкість течії — 1,5 м/с. На скільки метрів знесе човен течією?

Розв'язання. Час переправи залежить лише від ширини річки та швидкості човна відносно води: t = d / v = 60 / 2 = 30 с. За цей час течія знесе човен на відстань: l = u · t = 1,5 · 30 = 45 м.

Відповідь: 45 м.

Типові помилки: 80 м (d · v / u = 60 · 2 / 1,5), 75 м (модуль переміщення √(60² + 45²) ≈ 75 м — його не питали), 30 м (сплутано з часом 30 с).

Приклад 5. Потяг і спортсмен

Потяг завдовжки 180 м їде зі швидкістю 54 км/год, а назустріч йому вздовж колії біжить спортсмен зі швидкістю 3 м/с. За скільки секунд потяг мине спортсмена?

Розв'язання. Переведемо швидкість потяга в м/с: 54 км/год = 54 : 3,6 = 15 м/с. Потяг і спортсмен рухаються назустріч, тому відносна швидкість: v_відн = 15 + 3 = 18 м/с. Відносний шлях дорівнює довжині потяга (спортсмена вважаємо матеріальною точкою): L = 180 м. Час: t = L / v_відн = 180 / 18 = 10 с.

Відповідь: 10 с.

• Додавати модулі швидкостей під час попутного руху. Насправді відносна швидкість — це різниця модулів: якщо два тіла рухаються в одному напрямку, швидкість одного відносно іншого дорівнює |v₁ − v₂|, а не v₁ + v₂.

• Плутати, відносно чого задано швидкість. У задачах про рух човна за течією швидкість човна завжди задано відносно води, а не берега. Швидкість течії — це швидкість води відносно берега. Не переплутай ці дві величини.

• Додавати перпендикулярні швидкості як числа. Якщо v = 4 м/с, а u = 3 м/с, то результівна швидкість дорівнює √(4² + 3²) = 5 м/с, а не 4 + 3 = 7 м/с. Завжди використовуй теорему Піфагора для перпендикулярних напрямків.

• Вважати, що течія збільшує час переправи, коли курс човна перпендикулярний до берега. Насправді час переправи t = d / v залежить лише від ширини річки та швидкості човна відносно води. Течія впливає на знесення, але не на час.

• Під час роз'їзду двох потягів ураховувати довжину лише одного з них. Відносний шлях, який потяги мають подолати, щоб минути один одного, дорівнює сумі їхніх довжин.

• Забувати, що траєкторія і шлях теж залежать від системи відліку. Людина, що йде вагоном, відносно вагона проходить кілька метрів, а відносно землі — сотні метрів. Швидкість — не єдина відносна величина.

Програма НМТ з фізики (тема 1.1 «Основи кінематики») вимагає вміння розв'язувати задачі на відносний рух і додавання швидкостей. Завдання з цієї теми можуть мати дві форми:

• вибір однієї відповіді з чотирьох (завдання № 1–14, 1 бал)

• коротка відповідь — число (завдання № 17–22, 0 або 2 бали)

У довідкових матеріалах НМТ-2026, які ти отримаєш разом із тестом, є формули для проєкцій вектора на осі координат і таблиця значень sin, cos, tg для кутів 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Вони стануть у пригоді, коли швидкості напрямлені під кутом одна до одної (наприклад, під час переправи через річку з курсом, не перпендикулярним до берега).

Відповідь у завданні з короткою відповіддю — це ціле число або десятковий дріб в одиниці, указаній в умові. Якщо в умові швидкість дано в км/год, а відповідь треба в м/с, поділи на 3,6. Якщо одиниця відповіді збігається з одиницею в умові, переводити не потрібно.

Стратегія розв'язування: перейди в систему відліку, пов'язану з одним із тіл. У цій системі воно нерухоме, а друге тіло рухається з відносною швидкістю. Тоді задача зводиться до простого руху одного тіла, і ти можеш застосувати формули рівномірного прямолінійного руху.

• Швидкість, траєкторія, шлях і переміщення відносні — вони залежать від вибору системи відліку. Час у класичній механіці однаковий в усіх системах відліку.

• Класичний закон додавання швидкостей: $$\vec{v}={\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2$$ — швидкість відносно нерухомої системи дорівнює векторній сумі швидкості відносно рухомої системи та швидкості рухомої системи.

• Попутний рух (в одному напрямку): відносна швидкість $$|v_1-v_2|$$. Зустрічний рух: відносна швидкість $$v_1+v_2$$. Час зустрічі: $$t=L/(v_1+v_2)$$.

• Рух за течією: v + u. Рух проти течії: v − u. Час туди й назад: $$t=L/(v+u)+L/(v-u)$$.

• Перпендикулярні швидкості: результівна швидкість $$\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$. Час переправи d/v не залежить від течії. Знесення: l = u · t.

• Ескалатор: якщо відомі часи t₁ (стоячи на рухомому) і t₂ (йдучи нерухомим), то час рухомим ескалатором: $$t=t_1{t}_2/(t_1+t_2)$$.