Рівномірний прямолінійний рух: рівняння і графіки

Рівномірний прямолінійний рух — це найпростіший вид механічного руху, за якого тіло за будь-які рівні проміжки часу здійснює однакові переміщення. Іншими словами, швидкість тіла лишається сталою як за модулем, так і за напрямом. Такий рух описується векторним рівнянням $\vec{v}=\frac{\vec{s}}{t}$, де $\vec{s}$ — переміщення, здійснене за час $t$.

Для опису руху вздовж прямої обирають одну координатну вісь, наприклад $Ox$. Тоді проєкція швидкості $v_x$ — це число зі знаком:

• $v_x>0$, якщо тіло рухається в додатному напрямку осі $Ox$;

• $v_x<0$, якщо тіло рухається проти осі $Ox$.

Модуль швидкості (тобто її абсолютне значення) дорівнює $v=|v_x|$. Саме модуль визначає, як швидко тіло долає відстань, а знак — у який бік воно рухається.

Рівняння координати

Координата тіла в будь-який момент часу $t$ визначається за формулою:

$$x=x_0+v_{x}t$$

де $x_0$ — початкова координата (у момент $t=0$), $v_x$ — проєкція швидкості. Це рівняння називають рівнянням руху або рівнянням координати. З нього можна знайти положення тіла в будь-який момент, а також визначити, коли тіло опиниться в заданій точці.

Проєкція переміщення за час $t$ дорівнює $s_x=v_{x}t$, а шлях (довжина траєкторії) обчислюється як $l=v\cdot t=|v_x|\cdot t$.

Як «читати» рівняння руху

Розгляньмо рівняння $x=20-4t$ (усі величини в одиницях СІ: метри й секунди). Порівняймо із загальним виглядом $x=x_0+v_{x}t$:

• $x_0=20$ м — початкова координата;

• $v_x=-4$ м/с — проєкція швидкості від'ємна, отже, тіло рухається проти осі $Ox$;

• модуль швидкості $v=4$ м/с.

Це означає, що тіло почало рух з точки 20 м і щосекунди зміщується на 4 м у бік зменшення координати. У момент $t=5$ с маємо $x=20-4\cdot 5=0$ — тіло проходить через початок координат.

Перетворення одиниць швидкості

Основна одиниця швидкості в СІ — метр за секунду (м/с). На практиці швидкість часто подають у км/год. Запам'ятай просте співвідношення:

$$1\text{км/год}=\frac{1}{3,6}\text{м/с}$$

Зручніше запам'ятати навпаки: 1 м/с = 3,6 км/год. Тоді, щоб перевести км/год у м/с, треба поділити на 3,6:

• 72 км/год $=72:3,6=20$ м/с;

• 36 км/год $=36:3,6=10$ м/с;

• 54 км/год $=54:3,6=15$ м/с.

У задачах НМТ завжди звертай увагу на одиниці: якщо швидкість дано в км/год, а час у секундах, спочатку переведи швидкість у м/с.

Графіки дають змогу побачити рух тіла «на око» й визначити його параметри без обчислень за формулами. Для рівномірного прямолінійного руху існує два основні графіки: залежність координати від часу $x(t)$ і залежність проєкції швидкості від часу $v_x(t)$.

Графік координати x(t)

Оскільки $x=x_0+v_{x}t$, графік $x(t)$ — це пряма лінія. Її вигляд дає всю інформацію про рух:

• Перетин прямої з віссю $x$ (вертикальною) дає початкову координату $x_0$.

• Нахил прямої дорівнює проєкції швидкості: $v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}$. Що крутіша пряма, то більший модуль швидкості.

• Пряма зростає (йде вгору) — $v_x>0$, тіло рухається в додатному напрямку осі.

• Пряма спадає (йде вниз) — $v_x<0$, тіло рухається проти осі.

• Горизонтальна пряма — $v_x=0$, тіло стоїть на місці.

Два паралельні графіки $x(t)$ означають, що тіла мають однакову швидкість (однаковий нахил), але різні початкові координати.

Графік проєкції швидкості vₓ(t)

Для рівномірного руху $v_x$ не змінюється з часом, тому графік $v_x(t)$ — горизонтальна пряма, паралельна осі часу:

• Якщо $v_x>0$, пряма лежить над віссю $t$.

• Якщо $v_x<0$, пряма лежить під віссю $t$.

• Якщо $v_x=0$, пряма збігається з віссю $t$.

Площа прямокутника під графіком $v_x(t)$ (між графіком і віссю часу) дорівнює проєкції переміщення за цей проміжок часу: $s_x=v_x\cdot \Delta t$. Якщо графік лежить під віссю, площу беруть зі знаком «мінус» — переміщення від'ємне.

Графік шляху l(t)

Важливо не плутати графік координати $x(t)$ із графіком шляху $l(t)$. Шлях — це довжина траєкторії, він завжди додатний і не може зменшуватися. Тому графік $l(t)$ ніколи не спадає: він або зростає (тіло рухається), або горизонтальний (тіло стоїть). Натомість графік $x(t)$ може спадати, якщо тіло рухається проти осі, і навіть перетинати вісь часу, стаючи від'ємним.

Перехід між графіками

На НМТ можуть попросити за графіком $x(t)$ визначити $v_x$ і вибрати відповідний графік $v_x(t)$, або навпаки. Ось як це робити:

• Від $x(t)$ до $v_x(t)$: обчисли нахил кожної прямолінійної ділянки $v_x=\Delta x/\Delta t$. Якщо графік складається з кількох ділянок, для кожної — своя $v_x$.

• Від $v_x(t)$ до $x(t)$: знайди $x_0$ з умови, потім проведи пряму з нахилом $v_x$. Якщо $v_x$ змінюється, кожна ділянка $x(t)$ матиме свій нахил.

Типове завдання кінематики — визначити, коли й де зустрінуться два тіла, що рухаються прямолінійно й рівномірно.

Умова зустрічі

Якщо два тіла рухаються вздовж однієї осі $Ox$, то в момент зустрічі їхні координати збігаються. Отже, умова зустрічі:

$$x_1(t)=x_2(t)$$

Підставляємо рівняння руху обох тіл, розв'язуємо отримане рівняння відносно $t$ — знаходимо час зустрічі. Потім підставляємо цей час у будь-яке з рівнянь і знаходимо координату зустрічі.

Приклад розрахунку

Нехай два тіла рухаються назустріч одне одному вздовж осі $Ox$. Їхні рівняння руху (в метрах і секундах):

$$x_1=10t,x_2=300-20t$$

Перше тіло стартує з початку координат ($x_0=0$) і рухається в додатному напрямку зі швидкістю 10 м/с. Друге тіло стартує з точки 300 м і рухається проти осі $Ox$ зі швидкістю 20 м/с (проєкція $v_x=-20$ м/с).

Прирівнюємо координати:

$$10t=300-20t$$$$30t=300$$$$t=10\text{с}$$

Підставляємо $t=10$ с у перше рівняння: $x=10\cdot 10=100$ м. Отже, тіла зустрінуться через 10 с на відстані 100 м від початку координат.

Зустріч на графіках x(t)

На графіку $x(t)$ зустріч двох тіл — це точка перетину двох прямих. Абсциса цієї точки дає час зустрічі, а ордината — координату зустрічі. Якщо прямі паралельні (однаковий нахил), тіла ніколи не зустрінуться — вони рухаються з однаковою швидкістю, і відстань між ними не змінюється.

Відстань між тілами в довільний момент $t$ дорівнює $|x_1(t)-x_2(t)|$.

Пізніший старт другого тіла

Якщо друге тіло вирушає на $\tau$ пізніше за перше, його рівняння руху набуває вигляду:

$$x=x_0+v_x(t-\tau )\text{для }t\ge \tau$$

Час $t$ в обох рівняннях відлічують від одного й того самого моменту (наприклад, від моменту старту першого тіла). Для $t<\tau$ друге тіло ще не почало руху, тому його координата дорівнює $x_0$.

Приклад 1. Читання рівняння руху

Рух тіла описує рівняння $x=12-3t$ (м). Яке з тверджень правильне?

• А) Тіло рухається в додатному напрямку осі $Ox$ зі швидкістю 3 м/с.

• Б) Тіло рухається проти осі $Ox$ зі швидкістю 3 м/с, початкова координата 12 м.

• В) Тіло рухається проти осі $Ox$ зі швидкістю 12 м/с.

• Г) Тіло рухається рівноприскорено з прискоренням −3 м/с².

Розв'язання. Порівнюємо із загальним виглядом $x=x_0+v_{x}t$. Маємо $x_0=12$ м, $v_x=-3$ м/с. Від'ємна проєкція означає рух проти осі $Ox$. Модуль швидкості $v=3$ м/с. Отже, правильна відповідь — Б.

Чому інші варіанти неправильні? А — ігнорує знак «мінус» перед $3t$. В — плутає початкову координату (12 м) зі швидкістю. Г — помилково вважає рух рівноприскореним, хоча рівняння має вигляд $x=x_0+v_{x}t$, а не $x=x_0+v_{0}t+a{t}^2/2$.

Приклад 2. Зустріч за рівняннями

Велосипедист і пішохід рухаються назустріч один одному вздовж прямої дороги. Їхні рівняння руху: $x_1=5t$, $x_2=540-t$ (м, с). Знайди час зустрічі в секундах.

Розв'язання. Умова зустрічі: $x_1=x_2$. Отже:

$$5t=540-t$$$$6t=540$$$$t=90\text{с}$$

Відповідь: 90 с. Координата зустрічі: $x=5\cdot 90=450$ м.

Перевірка за другим рівнянням: $x=540-90=450$ м — збігається.

Приклад 3. Проєкція швидкості за графіком x(t)

Графік $x(t)$ рівномірно спадає від 30 м до 0 за 6 с. Чому дорівнює проєкція швидкості $v_x$?

• А) 5 м/с

• Б) −5 м/с

• В) −0,2 м/с

• Г) 30 м/с

Розв'язання. Нахил графіка $x(t)$ дорівнює $v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}$. Зміна координати $\Delta x=0-30=-30$ м, час $\Delta t=6$ с. Отже:

$$v_x=\frac{-30}{6}=-5\text{м/с}$$

Правильна відповідь — Б.

Чому інші варіанти неправильні? А — забуто знак «мінус» (графік спадає, отже $v_x<0$). В — обчислено $\Delta t/\Delta x$ замість $\Delta x/\Delta t$ (переплутано приріст часу з приростом координати). Г — взято початкову координату 30 м замість нахилу.

Приклад 4. Зустріч за графіками x(t)

Графіки $x(t)$ двох тіл — прямі. Перше тіло рушає з $x_0=0$ зі швидкістю 4 м/с, друге — з $x_0=60$ м зі швидкістю 1 м/с у тому самому напрямку. Знайди координату зустрічі в метрах.

Розв'язання. Записуємо рівняння руху:

$$x_1=0+4t=4t$$$$x_2=60+1t=60+t$$

Прирівнюємо: $4t=60+t$, звідки $3t=60$, $t=20$ с.

Координата зустрічі: $x=4\cdot 20=80$ м (або $60+20=80$ м).

Відповідь: 80 м.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на рівномірний прямолінійний рух.

• Ігнорувати знак проєкції швидкості. Коли тіло рухається проти осі $Ox$, проєкція $v_x$ від'ємна. Помилково записують $x=x_0+vt$ замість $x=x_0-vt$ (або $x=x_0+v_{x}t$ з від'ємним $v_x$). Завжди звертай увагу на напрям руху відносно обраної осі.

• Плутати координату зі шляхом. Координата $x$ може зменшуватися й бути від'ємною, якщо тіло рухається проти осі або перетнуло початок відліку. Шлях $l$ — це завжди додатна величина, яка не спадає. Графік $x(t)$ може йти вниз, графік $l(t)$ — ні.

• Брати за швидкість значення $x$ у точці графіка $x(t)$. Швидкість — це нахил прямої $\Delta x/\Delta t$, а не координата в окремій точці. Якщо графік $x(t)$ проходить через точку $(2\text{с},10\text{м})$, це не означає, що швидкість дорівнює 10 м/с або 5 м/с.

• Підставляти швидкість у км/год, а час — у секундах. Усі величини в рівнянні $x=x_0+v_{x}t$ мають бути в узгоджених одиницях СІ: метри й секунди. Якщо швидкість дано в км/год, спочатку переведи її в м/с (поділи на 3,6).

• Шукати момент зустрічі за графіками $v_x(t)$. Зустріч двох тіл показує лише перетин графіків $x(t)$. Графіки $v_x(t)$ для рівномірного руху — горизонтальні прямі; їхній перетин нічого не означає. Якщо $v_{x1}=v_{x2}$, тіла рухаються з однаковою швидкістю, але можуть ніколи не зустрітися.

• Не врахувати пізніший старт другого тіла. Якщо друге тіло вирушає на $\tau$ пізніше, його рівняння має вигляд $x=x_0+v_x(t-\tau )$ для $t\ge \tau$. Час $t$ в обох рівняннях відлічують від одного моменту. Не можна просто записати $x=x_0+v_{x}t$ — це означало б, що обидва тіла стартували одночасно.

Формули координати й переміщення рівномірного прямолінійного руху є в довідкових матеріалах, які надають на НМТ-2026. Однак знак проєкції швидкості визначаєш ти сам, аналізуючи напрям руху тіла відносно обраної осі.

Програма НМТ з фізики (тема 1.1 «Основи кінематики») вимагає вміти аналізувати графіки руху, визначати за ними параметри руху (початкову координату, швидкість, напрям) і будувати графік однієї величини за графіком іншої (наприклад, за $x(t)$ побудувати $v_x(t)$).

Формати завдань

Стратегія розв'язування

Для задач на зустріч двох тіл дотримуйся такого алгоритму:

1. Визнач систему відліку: обери вісь $Ox$, її додатний напрям і початок відліку (точку $x=0$).

2. Запиши рівняння руху для кожного тіла у вигляді $x=x_0+v_{x}t$, узгодивши знак $v_x$ з напрямом руху.

3. Якщо тіла стартують не одночасно, скористайся формулою $x=x_0+v_x(t-\tau )$ для тіла, що вирушило пізніше.

4. Прирівняй координати: $x_1(t)=x_2(t)$.

5. Розв'яжи отримане рівняння — знайдеш час зустрічі.

6. Підстав знайдений час у будь-яке з рівнянь — отримаєш координату зустрічі.

Важливо: час $t$ в обох рівняннях має відлічуватися від одного й того самого моменту. Найчастіше зручно взяти $t=0$ як момент старту першого тіла.

• Рівномірний прямолінійний рух: $\vec{v}=\text{const}$, рівняння координати $x=x_0+v_{x}t$.

• Знак $v_x$ показує напрям руху відносно осі: $v_x>0$ — за віссю, $v_x<0$ — проти осі.

• Графік $x(t)$ — пряма, її нахил дорівнює $v_x$; графік $v_x(t)$ — горизонтальна пряма.

• Площа прямокутника під графіком $v_x(t)$ дорівнює проєкції переміщення $s_x=v_x\cdot \Delta t$.

• Умова зустрічі двох тіл: $x_1(t)=x_2(t)$; на графіку $x(t)$ — точка перетину прямих.

• Якщо друге тіло стартує на $\tau$ пізніше, його рівняння: $x=x_0+v_x(t-\tau )$ для $t\ge \tau$.

• Не плутай графік координати $x(t)$ (може спадати) із графіком шляху $l(t)$ (ніколи не спадає).