Типові завдання НМТ: числа й відсотки

Відсотки — одна з найважливіших тем НМТ, тому що вони трапляються і в завданнях із вибором відповіді, і в задачах із короткою відповіддю. Щоб не втрачати балів, треба досконало володіти чотирма базовими типами задач.

1. Відсоток від числа

Щоб знайти p % від числа A, треба помножити A на дріб p/100. Наприклад, 18 % від 250 — це $0,18\cdot 250=45$. Запам'ятай: «від» у мові задач майже завжди означає множення.

2. Число за його відсотком

Якщо відомо, що число B становить p % від невідомого X, то X = B : (p/100). Наприклад: «45 — це 18 % від якого числа?» Маємо $X=45:0,18=250$. Найпоширеніша помилка тут — помножити замість поділити.

3. Відсоткове відношення

Відсоткове відношення числа B до числа A — це $B/A\cdot 100\%$. 45 від 250 — це $45/250\cdot 100\%=18\%$.

Ключовий нюанс: база, з якою порівнюють, постійно змінюється. Зростання з 250 до 300: приріст $50/250=20\%$. Зменшення з 300 до 250: спад $50/300\approx 16,67\%$. Чому числа різні? Тому що в першому випадку база — 250, а в другому — 300. Завжди став запитання: «від чого рахуємо відсоток?»

4. Зміна на відсотки (множники)

Збільшення на p % означає множник $1+p/100$. Зменшення на p % — множник $1-p/100$. Приклади:

• +12 %: множник 1,12

• −15 %: множник 0,85

• Послідовні зміни: +20 %, потім −20 % — це $1,2\cdot 0,8=0,96$, тобто загальне зменшення на 4 %, а не повернення до початку.

Текстова задача на відсотки

У демоваріанті НМТ-2026 це завдання № 7. Алгоритм:

• визнач, яка величина є базою (100 %);

• запиши множник зміни (1 ± p/100);

• склади рівняння й обчисли;

• обов'язково перечитай питання — іноді просять не те, що ти знайшов(-ла).

Наприклад: «Ціну товару знизили на 25 %, і він став коштувати 1800 грн. Якою була початкова ціна?» База — початкова ціна (100 %). Після зниження — 75 % від бази. Отже, $0,75\cdot X=1800$, звідси $X=1800:0,75=2400$.

Пропорції й відношення — це мова, якою розмовляють масштаб, рецепти, поділ прибутку та багато інших задач НМТ. Розберімося з головним.

Основна властивість пропорції

Пропорція — це рівність двох відношень: $a:b=c:d$ (або $a/b=c/d$). Її основна властивість: добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх, тобто $a\cdot d=b\cdot c$.

Приклад: $x:12=5:8$. За властивістю: $8x=12\cdot 5=60$, звідси $x=60:8=7,5$.

Пряма й обернена пропорційність

Пряма пропорційність: коли одна величина зростає в кілька разів, інша зростає в стільки ж разів. Наприклад, ціна й кількість товару (що більше купуєш, тим більше платиш), шлях і час при сталій швидкості.

Обернена пропорційність: коли одна величина зростає, інша спадає в стільки ж разів. Класичний приклад — кількість робітників і час виконання роботи. Якщо 6 робітників фарбують паркан за 10 днів, то 4 робітники (у $6/4=1,5$ раза менше) працюватимуть у 1,5 раза довше: $10\cdot 6/4=15$ днів.

Підказка: визнач, чи залежність пряма. Якщо «більше — більше» або «менше — менше» — пряма; якщо «більше — менше» — обернена.

Поділ числа в заданому відношенні

Щоб поділити число N у відношенні a : b : c, знаходять одну частину: $\frac{N}{a+b+c}$, а потім множать на кожен член відношення.

Наприклад, поділити 360 у відношенні 2 : 3 : 4. Сума членів: $2+3+4=9$. Одна частина: $360:9=40$. Результат: $2\cdot 40=80$, $3\cdot 40=120$, $4\cdot 40=160$. Перевірка: $80+120+160=360$.

Масштаб

Масштаб 1 : 50 000 означає, що 1 см на карті відповідає 50 000 см на місцевості. Якщо відстань на карті 3,2 см, то на місцевості: $3,2\cdot 50000=160000$ см, або $160000:100=1600$ м, тобто 1,6 км.

Цей розділ об'єднує три групи вмінь, які НМТ перевіряє в завданнях з вибором відповіді (у демо 2026 — № 3 на подільність) і у відповідності № 17 (модуль).

Ознаки подільності

У демоваріанті 2026 (№ 3) перевіряють подільність суми: якщо кожен доданок ділиться на 3, то й сума ділиться на 3.

НСД і НСК

Розклади числа на прості множники: $24=2^3\cdot 3$, $36=2^2\cdot 3^2$.

• НСД (найбільший спільний дільник) — добуток спільних множників у найменшому степені: $2^2\cdot 3=12$.

• НСК (найменше спільне кратне) — добуток усіх множників у найбільшому степені: $2^3\cdot 3^2=72$.

Як відрізнити в задачах: «коли автобуси знову вирушать разом» — це НСК (через який час подія повториться); «на скільки однакових наборів можна поділити цукерки й горіхи» — це НСД (найбільший спільний дільник).

Ділення з остачею

Будь-яке натуральне число A можна записати як $A=B\cdot q+r$, де $0\le r<B$. Наприклад: $100=7\cdot 14+2$. У побутових задачах: 100 хвилин — це 1 год 40 хв, тому що $100=60\cdot 1+40$.

Дії з дробами

Звичайні дроби зводять до спільного знаменника: $\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1,5$.

Мішані числа переводять у десяткові дроби: $3\frac{1}{4}=3,25$. Тоді $3\frac{1}{4}:1,3=3,25:1,3=2,5$.

Звичайний дріб у десятковий: $\frac{3}{8}=0,375$ (діленням у стовпчик 3 : 8).

Модуль числа

Модуль — це відстань від числа до нуля на числовій прямій. $|-2,5|+|1-4|=2,5+|-3|=2,5+3=5,5$.

Коли під модулем різниця, спочатку визнач її знак: $|\sqrt{5}-3|$. Оскільки $\sqrt{5}\approx 2,236<3$, вираз під модулем від'ємний, тому модуль дорівнює $3-\sqrt{5}$.

Порівнювати числа — значить визначити, яке з них більше, і розташувати в порядку зростання чи спадання. Це завдання трапляється на НМТ у формі «Укажіть правильне розташування».

Порівняння дробів

Звичайні дроби зводять до спільного знаменника або переводять у десяткові. Наприклад: $\frac{3}{5}=0,6$, $\frac{5}{8}=0,625$. Отже, $0,6<0,62<0,625$, тобто $\frac{3}{5}<0,62<\frac{5}{8}$.

Ніколи не порівнюй дроби лише за чисельниками чи лише за знаменниками — це призводить до грубих помилок. Наприклад, $\frac{5}{8}$ більше за $\frac{3}{5}$, хоча 5 > 3, але й 8 > 5.

Корені й десяткові дроби

Щоб порівняти корені з іншими числами, зведи обидва вирази до квадрата (якщо обидва додатні). Наприклад: порівняємо $2\sqrt{3}$, $\sqrt{13}$ і $3,7$.

• $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$

• $\sqrt{13}$

• $3,7=\sqrt{13,69}$ (бо $3,7^2=13,69$)

Оскільки $12<13<13,69$, маємо $2\sqrt{3}<\sqrt{13}<3,7$.

Класифікація помилок

Після того як розв'язав(-ла) змішану серію (наприклад, 5–7 завдань на різні теми), проаналізуй кожну помилку за трьома типами:

Як це працює на НМТ

Завдання на відсотки й дії з числами — найдешевші бали тесту. Вони потребують 1–2 хвилин і закривають перші позиції бланка. Починай тест саме з них: так ти набереш упевненість і не втратиш прості бали через брак часу наприкінці.

Розгляньмо п'ять завдань, які покривають усі теми розділу: два з вибором відповіді, два з короткою відповіддю й одне на НСК.

Приклад 1. Відсотки: число за відсотком

Завдання (вибір однієї з п'яти): Ціну куртки знизили на 25 %, і вона стала коштувати 1800 грн. Якою була початкова ціна куртки?

Розв'язання: Початкова ціна — 100 %. Зниження на 25 % означає, що нова ціна становить $100\%-25\%=75\%$ від початкової. Отже, $0,75\cdot X=1800$, звідки $X=1800:0,75=2400$ (грн).

Відповідь: 2400.

Чому інші варіанти неправильні:

• 2250 — це 1800 · 1,25: помилка «помножити на те, на скільки знизили, замість поділити».

• 1350 — це 1800 · 0,75: «знайти 75 % від нової ціни, а не початкової».

• 450 — це 1800 · 0,25 або просто 1800 : 4.

• 7200 — 1800 · 4 (переплутали 25 % і 1/4 у зворотний бік).

Приклад 2. Порівняння чисел

Завдання (вибір однієї з п'яти): Укажіть правильне розташування чисел $0,7$; $\frac{5}{7}$; $\sqrt{0,5}$ у порядку зростання.

Розв'язання: Переведемо всі числа в десятковий вигляд або наближено:

• $0,7=0,700$

• $\sqrt{0,5}\approx 0,7071$ (оскільки $0,7071^2\approx 0,5$)

• $\frac{5}{7}\approx 0,7143$

Отже, $0,7<\sqrt{0,5}<\frac{5}{7}$.

Відповідь: «0,7; √0,5; 5/7». Решта варіантів — інші порядки цих самих чисел.

Приклад 3. Пропорція (коротка відповідь)

Завдання: Малину й цукор для варення беруть у відношенні 3 : 2. Скільки кілограмів цукру треба на 4,5 кг малини?

Розв'язання: Відношення 3 : 2 означає, що на 3 частини малини припадає 2 частини цукру. 4,5 кг малини — це 3 частини. Одна частина: $4,5:3=1,5$ кг. Цукру потрібно 2 частини: $1,5\cdot 2=3$ кг.

Відповідь: 3.

Пастка: 6,75 — це результат $4,5:2\cdot 3=6,75$ (обернене відношення: поділили малину на 2, а не на 3).

Приклад 4. Відсоткова зміна (коротка відповідь)

Завдання: Кількість учнів школи зросла з 640 до 704. На скільки відсотків зросла кількість учнів?

Розв'язання: Приріст: $704-640=64$. Відсоткове відношення приросту до початкового значення: $\frac{64}{640}\cdot 100\%=0,1\cdot 100\%=10\%$.

Відповідь: 10.

Пастка: $\frac{64}{704}\approx 0,0909=9,09\%$ — якщо поділити на нове число замість початкового, відповідь буде неправильною.

Приклад 5. НСК у сюжетній задачі

Завдання (вибір однієї з п'яти): Автобуси двох маршрутів вирушили разом о 7:00; перший вирушає кожні 12 хв, другий — кожні 18 хв. О котрій годині вони вперше знову вирушать одночасно?

Розв'язання: Час, через який подія повториться, — це НСК чисел 12 і 18. Розклад: $12=2^2\cdot 3$, $18=2\cdot 3^2$. НСК = $2^2\cdot 3^2=4\cdot 9=36$ хв. Отже, $7:00+36\text{хв}=7:36$.

Відповідь: 7:36.

Чому інші варіанти неправильні:

• 7:06 — це НСД(12; 18) = 6 хв (плутанина НСД і НСК).

• 10:36 — це 12 · 18 = 216 хв = 3 год 36 хв (просто перемножили числа).

• 7:30 — інтуїтивна, але невірна оцінка.

• 7:18 — помилка: узяли інтервал 18 хв другого маршруту.

Ось сім найпоширеніших пасток, які чекають на учнів у завданнях на числа й відсотки. Прочитай уважно й перевір себе, чи не потрапляєш ти в кожну з них.

• Брати за 100 % не ту величину. У задачі «На скільки відсотків куртка дешевша за пальто?» базою є ціна пальто (те, з чим порівнюють). Завжди став запитання: «від чого рахуємо?»

• Шукати число за відсотком множенням замість ділення. Якщо 1800 — це 75 % від початкової ціни, то 1800 · 0,75 дасть 1350 — це ще менше. Правильно: 1800 : 0,75.

• Додавати відсотки послідовних змін. +20 %, потім −20 % — це не 0 %. Множники: 1,2 · 0,8 = 0,96, тобто −4 %.

• Обертати відношення 3 : 2 у пропорції. Якщо малина й цукор у відношенні 3 : 2, то на 4,5 кг малини потрібно 4,5 : 3 · 2 = 3 кг цукру, а не 4,5 : 2 · 3 = 6,75.

• Плутати НСД і НСК у сюжетних задачах. «Коли вперше знову разом?» — НСК (через скільки часу подія повториться). «На скільки однакових наборів?» — НСД (найбільший спільний дільник).

• Порівнювати дроби лише за чисельниками чи знаменниками. 5/8 > 3/5, хоча 5 > 3 і 8 > 5. Завжди зводь до спільного знаменника або до десяткового дробу.

• Розкривати модуль |√5 − 3| без визначення знака. Оскільки √5 ≈ 2,236 < 3, вираз від'ємний, тому |√5 − 3| = 3 − √5, а не √5 − 3.

Розділ «Числа і вирази» програми НМТ — один із найвагоміших: у демоваріанті 2026 він дає 5 завдань і 7 балів. Конкретно теми 1.1 (дійсні числа, подільність, модуль, степені, корені, дроби) і 1.2 (відношення, пропорції, відсотки, текстові задачі) покривають ~2–3 завдання тесту.

Що було в демоваріанті 2026

Статистика й формати

За аналізом програми НМТ, тема 1.1 дає в середньому 1,5 завдання на тест (1–2), тема 1.2 — приблизно 1 завдання (0–2). В аналізі програми відсотки названо серед типових «втрат балів» на простих завданнях.

Прохідний поріг НМТ-2026 — 5 тестових балів із 32 можливих. Тобто навіть базові завдання цього розділу можуть перекрити весь поріг.

Форми завдань

• Завдання 1–15 (вибір однієї відповіді): 0 або 1 бал.

• Завдання 19–22 (коротка відповідь): якщо на відсотки чи пропорцію трапиться задача в цьому блоці, то 0 або 2 бали, а відповідь потрібно записати десятковим дробом.

Рекомендація: на тесті починай саме з цих завдань — вони найшвидші й найнадійніші.

Тут зібрано відповіді на запитання, які найчастіше виникають під час вивчення теми.

• Спершу визнач базу — 100 %. Усі відсоткові розрахунки починаються з відповіді на питання «від чого?».

• Зміна на p % — множник 1 ± p/100. Послідовні зміни — добуток множників: +20 %, потім −20 % дають 0,96, а не 1.

• У пропорції добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх. ad = bc — це єдине, що треба пам'ятати.

• Поділ у відношенні — через одну частину. Сума членів відношення дає кількість частин; поділи число на цю суму й помнож на кожен член.

• Одночасні події — НСК, однакові набори — НСД. Запам'ятай цю пару: повторення — НСК, поділ — НСД.

• Кожну помилку класифікуй: правило, обчислення чи неуважність. Це допоможе вибрати правильний засіб і не повторювати ту саму помилку.