Типові завдання НМТ: вирази

~20 хв · 9 розділів · 12 тестових запитань

Перетворення виразів

Математика НМТ

Увійдіть, щоб приєднатися Переглянути курс

Спрощуй раціональні дроби, степеневі, логарифмічні й тригонометричні вирази зі змінною — завдання № 14 і № 17 НМТ. Перевіряй результат частинним значенням з ОДЗ і уникай типових пасток: знак, модуль, неіснуючі «властивості».

Раціональні дроби: розклад, скорочення, ОДЗ

Раціональний дріб — це дріб виду P(x)/Q(x), де P(x) і Q(x) — многочлени. Скорочувати такий дріб можна лише після того, як чисельник і знаменник розкладено на множники, — скорочують множники, а не доданки.

Скорочення дробу

Розгляньмо приклад, подібний до завдання № 14 демоваріанта НМТ-2026:

Скоротіть дріб ${}(x^2 - 25)/(x^2 + 5x)$ .

Розкладаємо чисельник за формулою різниці квадратів: $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ . У знаменнику виносимо спільний множник $x$ : $x^{2} + 5 x = x (x + 5)$ . Тоді:

$\frac{( x - 5 ) ( x + 5 )}{x ( x + 5 )} = \frac{x - 5}{x}$

Скоротили спільний множник $(x + 5)$ . Відповідь — ${}(x - 5)/x$ . Вираз має зміст (тобто його можна обчислити) за умови, що знаменник не дорівнює нулю: $x \neq 0$ і $x \neq -5$ — це область допустимих значень (ОДЗ). Поза ОДЗ дріб втрачає зміст.

Розклад на множники

Щоб скоротити дріб, потрібно вміти розкладати многочлени на множники трьома основними способами:

Винесення спільного множника за дужки: $3x^2 + 6x = 3x(x + 2)$
Формули скороченого множення (є в довідці НМТ): $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ ; $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Розклад квадратного тричлена: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , де $x_1$ , $x_2$ — корені рівняння $ax^2 + bx + c = 0$

Приклад: ${}(x^2 - 5x + 6)/(x^2 - 9)$ . Квадратний тричлен $x^2 - 5x + 6$ має корені $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ (бо $2 + 3 = 5$ , $2 \cdot 3 = 6$ ), отже $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Знаменник — різниця квадратів: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ . Скорочуємо $(x - 3)$ :

$\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x - 2}{x + 3}$

Дії з дробами: додавання й віднімання

Щоб додати або відняти раціональні дроби, зводять їх до спільного знаменника.

Приклад: обчисліть ${}1/(a - 2) - 4/(a^2 - 4)$ . Помічаємо, що $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$ . Спільний знаменник — $(a - 2)(a + 2)$ . Зводимо:

$\frac{1}{a - 2} - \frac{4}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{a + 2 - 4}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{a - 2}{( a - 2 ) ( a + 2 )} = \frac{1}{a + 2}$

Протилежні множники

Запам'ятай: $b - a = -(a - b)$ . Це часто допомагає скоротити дріб:

$\frac{a - b}{b - a} = \frac{a - b}{- ( a - b )} = - 1$

Так само ${}(x - y)/(y - x) = -1$ . Якщо в чисельнику й знаменнику стоять протилежні множники, дріб дорівнює $-1$ — але не забудь перевірити, чи не нульовий знаменник!

Степені, корені й логарифми зі змінною

У завданнях НМТ трапляються вирази, що містять степені з раціональним показником, корені та логарифми. Головне правило — застосовувати властивості, наведені в довідці, та слідкувати за модулем.

Степені з раціональним показником

Нагадаємо: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ ; $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ; $a^{m} : a^{n} = a^{m-n}$ . Ці властивості працюють і для дробових показників.

Приклади:

$a^{2/3} \cdot a^{1/3} = a^{2/3 + 1/3} = a^{1} = a$
$(a^{3/4})^{8} = a^{3/4 \cdot 8} = a^{6}$
$4 a^{8} = a^{8/4} = a^{2}$ (корінь 4-го степеня — це степінь $1/4$ )

Квадратний корінь і модуль

Найпоширеніша пастка: $\sqrt{a^{2}} = |a|$ , а не $a$ . Арифметичний квадратний корінь завжди невід'ємний.

Якщо $a \ge 0$ , то $\sqrt{a^{2}} = a$
Якщо $a < 0$ , то $\sqrt{a^{2}} = -a$ (наприклад, $\sqrt{(-3)^{2}} = \sqrt{9} = 3 = -(-3)$

Приклад із змінною: спростіть $\sqrt{(x - 3)^{2}}$ за умови $x < 3$ . Оскільки $x - 3 < 0$ , маємо $\sqrt{(x - 3)^{2}} = -(x - 3) = 3 - x$ .

Різниця квадратів із коренями

Якщо вираз містить квадратні корені, застосовуй формули скороченого множення:

$(a - b) (a + b) = a - b$
$\frac{a - b}{a - b} = a + b$ (після домноження чисельника й знаменника на спряжений вираз)

Логарифми зі змінною

Логарифми означені тільки для додатних основ (a > 0, a ≠ 1) і додатних аргументів. Основні властивості з довідки:

$lo g_{a} (b c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$
$lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$
$a^{l o g_{a} b} = b$

Приклади:

$lo g_{2} (8 a) - lo g_{2} a = lo g_{2} 8 + lo g_{2} a - lo g_{2} a = lo g_{2} 8 = 3$
$lo g_{3} a^{2} = 2 lo g_{3} a$ (при a > 0)
$1 0^{l g a} = a$ — основна логарифмічна тотожність при a > 0

Увага: $\log_{a}(b + c) \neq \log_{a} b + \log_{a} c$ ! Логарифм суми не дорівнює сумі логарифмів. Це одна з найчастіших помилок типу «властивість».

Тригонометричні вирази зі змінною

Тригонометричні вирази на НМТ спрощують за допомогою основних тотожностей, які є в довідці, та формул додавання, яких у довідці немає — їх треба знати напам'ять.

Основна тригонометрична тотожність

Для будь-якого кута α виконується:

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$

Звідси:

$1 - cos^{2} α = sin^{2} α$
$(1 - sin α) (1 + sin α) = 1 - sin^{2} α = cos^{2} α$
$sin^{4} α - cos^{4} α = (sin^{2} α - cos^{2} α) (sin^{2} α + cos^{2} α) = sin^{2} α - cos^{2} α = - cos 2 α$

Формули подвійного кута

У довідці НМТ є формули:

$sin 2 α = 2 sin α cos α$
$cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1 = 1 - 2 sin^{2} α$

Приклад: спростіть ${}\sin 2\alpha / (1 + \cos 2\alpha)$ .

$\frac{sin 2 α}{1 + cos 2 α} = \frac{2 sin α cos α}{2 cos ^{2} α} = \frac{sin α}{cos α} = t g α$

Формули зведення

Формули зведення для кутів $90^{\circ} + \alpha$ (π/2 + α) і $180^{\circ} - \alpha$ (π − α) є в довідці НМТ.

Приклади зі змінною:

$sin (π - α) + cos (π /2 + α) = sin α - sin α = 0$
$t g (π + α) = t g α$

Уважно стеж за знаком у формулах зведення! $\cos(\pi/2 + \alpha) = -\sin\alpha$ , а не $\sin\alpha$ . Помилка у знаку — один із типових «підводних каменів».

Формули додавання — напам'ять

У довідці НМТ немає формул додавання. Їх обов'язково треба пам'ятати:

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$
$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

Ці формули не виводять на тесті — їх просто застосовують до готових числових кутів, тому вивчи їх заздалегідь.

Самоперевірка й розбір помилок

Навіть якщо ти впевнений у перетворенні, варто перевірити результат. На НМТ для цього є простий прийом — частинне значення змінної.

Метод частинного значення

Візьми одне зручне число з ОДЗ, підстав його у вихідний вираз і в отриманий результат. Якщо значення збігаються — перетворення правильне.

Наприклад, спростили ${}(3x^{2} - 12)/(x^{2} + 2x)$ до ${}3(x - 2)/x$ . Беремо $x = 4$ (входить в ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq -2$ ):

Вихідний: ${}(3 \cdot 4^{2} - 12)/(4^{2} + 2 \cdot 4) = (48 - 12)/(16 + 8) = 36/24 = 3/2$

Результат: ${}3(4 - 2)/4 = 3 \cdot 2/4 = 3/2$

Збіглося — молодці!

Три типи помилок

Класифікація допомагає швидко знайти причину неправильної відповіді:

Тип помилки	Приклад	Як уникнути
Властивість	$lo g_{a} (b + c) = lo g_{a} b + lo g_{a} c$ ; $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; $a + b = a + b$	Перевір за довідкою: такої властивості там немає
Знак	$- \frac{a - b}{c + d} = \frac{- a - b}{c + d}$ (змінили знак лише першого доданка; правильно: $\frac{- a + b}{c + d}$ ); $b - a = - (a - b)$ ігнорують	Став дужки перед зміною знака
ОДЗ	$a^{2} = a$ без модуля; підстановка значення, що обнуляє знаменник	Завжди пиши модуль і перевіряй ОДЗ

Як працювати зі змішаною серією

У завданні на відповідність № 17 дають три різні вирази — раціональний, степеневий, логарифмічний або тригонометричний. Стратегія:

Визнач тип кожного виразу (раціональний дріб / степінь / логарифм / тригонометрія).
Згадай властивість, яка потрібна для спрощення.
Спрости окремо кожен вираз.
Перевір кожен результат частинним значенням.
Зістав три відповіді з варіантами А–Д.

Не намагайся вгадати відповідність цілісно: спрощуй кожен вираз незалежно.

Розбираємо завдання

Розв'яжемо чотири типові завдання НМТ — три з вибором однієї відповіді й одне на відповідність.

Приклад 1. Скорочення дробово-раціонального виразу

Скоротіть дріб ${}(3x^{2} - 12)/(x^{2} + 2x)$ .

Варіанти відповіді: А) ${}(x - 2)/x$ ; Б) ${}3(x + 2)/x$ ; В) ${}3(x - 2)/x$ ; Г) ${}3(x - 2)/(x + 2)$ ; Д) ${}(3x - 12)/(2x)$ .

Крок 1. Розкладаємо чисельник: $3x^{2} - 12 = 3(x^{2} - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$ .

Крок 2. Розкладаємо знаменник: $x^{2} + 2x = x(x + 2)$ .

Крок 3. Скорочуємо спільний множник $(x + 2)$ :

$\frac{3 ( x - 2 ) ( x + 2 )}{x ( x + 2 )} = \frac{3 ( x - 2 )}{x}$

Відповідь: В) ${}3(x - 2)/x$ .

Розбір дистракторів:

А) ${}(x - 2)/x$ — забули множник 3, винесений за дужки.
Б) ${}3(x + 2)/x$ — неправильно розклали різницю квадратів (залишили $x + 2$ замість $x - 2$ ).
Г) ${}3(x - 2)/(x + 2)$ — скоротили $x$ замість $x + 2$ .
Д) ${}(3x - 12)/(2x)$ — скоротили доданки $x^{2}$ і $x^{2}$ , а не множники (груба помилка).

Приклад 2. Ірраціональний вираз

Спростіть вираз ${}(a - 9)/(\sqrt{a} + 3)$ .

Варіанти: А) $\sqrt{a} + 3$ ; Б) $\sqrt{a} - 3$ ; В) $a - 3$ ; Г) $\sqrt{a} - 9$ ; Д) ${}1/(\sqrt{a} - 3)$ .

Крок 1. Помічаємо, що $a - 9 = (\sqrt{a})^{2} - 3^{2} = (\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)$ — різниця квадратів.

Крок 2. Скорочуємо спільний множник $(\sqrt{a} + 3)$ :

$\frac{( a - 3 ) ( a + 3 )}{a + 3} = a - 3$

Відповідь: Б) $\sqrt{a} - 3$ .

Перевірка: візьмемо $a = 16$ (ОДЗ: $a \ge 0$ ). Вихідний: ${}(16 - 9)/(4 + 3) = 7/7 = 1$ . Результат: $4 - 3 = 1$ . Збіг!

Розбір дистракторів: А) $\sqrt{a} + 3$ — переплутали знак; В) $a - 3$ — не помітили коренів; Г) $\sqrt{a} - 9$ — скоротили доданки «a» і «9» окремо; Д) ${}1/(\sqrt{a} - 3)$ — перевернули дріб.

Приклад 3. Тригонометричний вираз

Спростіть вираз ${}(\sin\alpha + \cos\alpha)^{2} - \sin 2\alpha$ .

Варіанти: А) $1 - \sin 2\alpha$ ; Б) $0$ ; В) $1$ ; Г) $\cos 2\alpha$ ; Д) $2$ .

Крок 1. Розкриваємо квадрат суми: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^{2} = \sin^{2}\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^{2}\alpha$ .

Крок 2. Застосовуємо основну тотожність: $\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$ . Маємо $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$ .

Крок 3. $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ . Отже, $1 + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 1$ .

Відповідь: В) 1.

Розбір дистракторів: А) $1 - \sin 2\alpha$ — помилка «властивість»: квадрат суми взяли як суму квадратів; Б) 0 — загубили одиницю; Г) $\cos 2\alpha$ — сплутали подвійний кут; Д) 2 — подвоїли одиницю.

Приклад 4. Відповідність 1–3 → А–Д

Установіть відповідність між виразами (1–3) та їхніми значеннями (А–Д).

Вираз	Значення
1. $\log_{2}(4x) - \log_{2} x$ , $x > 0$	А. 2
2. $(x^{1/2} \cdot x^{3/2}) : x^{2}$	Б. 1
3. $\sqrt{(x - 5)^{2}} + x$ при $x < 5$	В. 5
	Г. $2x - 5$
	Д. 0

Розв'язання:

Вираз 1: $\log_{2}(4x) - \log_{2} x = \log_{2}\dfrac{4x}{x} = \log_{2} 4 = 2$ . Отже, 1 → А.

Вираз 2: $x^{1/2} \cdot x^{3/2} = x^{1/2 + 3/2} = x^{2}$ ; потім $x^{2} : x^{2} = 1$ . Отже, 2 → Б.

Вираз 3: за умови $x < 5$ маємо $x - 5 < 0$ , тому $\sqrt{(x - 5)^{2}} = |x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$ . Тоді $(5 - x) + x = 5$ . Отже, 3 → В.

Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В. Варіант Г $2x - 5$ виникає, якщо розкрити модуль як $x - 5$ без урахування знака.

Типові помилки й пастки

Нижче — найпоширеніші помилки, яких припускаються на НМТ під час спрощення виразів. Запам'ятай їх, щоб не втратити бали.

Скорочувати доданки, а не множники. Приклад: ${}(x^{2} + 2x)/x^{2} \neq 2x$ . Скорочувати можна лише множники, тому спершу розкладай чисельник і знаменник.
Губити множник, винесений за дужки. У виразі ${}(3x^{2} - 12)$ виносять 3: ${}3(x^{2} - 4)$ . Після скорочення трійку не можна відкидати.
Писати $\sqrt{a^{2}} = a$ без модуля. Це правильно лише при $a \ge 0$ . Якщо знак змінної невідомий або задано умову $a < 0$ , то $\sqrt{a^{2}} = -a$ . Приклад: $\sqrt{(x - 5)^{2}}$ при $x < 5$ дорівнює $5 - x$ , а не $x - 5$ .
Вважати $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ і $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ . Це неіснуючі «властивості». Квадрат суми розкривають за формулою, а корінь із суми не розкладається.
Змінювати знак лише першого доданка чисельника, коли перед дробом стоїть мінус. Правильно: $-\dfrac{a - b}{c} = \dfrac{-a + b}{c}$ , а не $\dfrac{-a - b}{c}$ .
Брати для перевірки значення поза ОДЗ. Наприклад, для знаменника $x(x + 2)$ не можна брати $x = 0$ або $x = -2$ — на нуль ділити не можна.
Шукати формулу $\sin(\alpha + \beta)$ у довідці НМТ — її там немає. Формули додавання треба знати напам'ять.

Рендеринг діаграми…

Як це перевіряють на НМТ

Перетворення виразів — одна з наскрізних тем НМТ з математики. Розгляньмо, у яких завданнях і в якій формі її перевіряють.

Завдання в демоваріанті 2026 року

Номер завдання	Тема	Форма	Бали
№ 9	Обчислення з коренями n-го степеня (теми 1.1 + 1.3)	Вибір однієї з п'яти	0 або 1
№ 14	Скорочення дробового раціонального виразу (тема 1.3)	Вибір однієї з п'яти	0 або 1
№ 17	Відповідність «вираз ↔ значення» (теми 1.1 + 1.3)	Відповідність 1–3 → А–Д	0–3 (по 1 за пару)

За аналізом програми, тема 1.3 дає в середньому близько 2–3 завдань на тест (у вибірці 2023–2024 років). При цьому перетворення раціональних виразів названо серед типових «втрат балів» на простих завданнях.

Форми завдань

Завдання 1–15: вибір однієї правильної відповіді з п'яти. 0 балів або 1 бал.
Завдання 16–18: логічні пари (відповідність). Три вирази ліворуч (1–3) і п'ять варіантів праворуч (А–Д, два зайві). До 3 балів, по 1 балу за кожну правильно встановлену пару.

Що є в довідці НМТ

Під час тесту ти матимеш доступ до довідки, яка містить:

Формули скороченого множення (різниця квадратів, квадрат суми/різниці)
Розклад квадратного тричлена на множники
Властивості степенів і коренів
Властивості логарифмів
Основні тригонометричні тотожності, формули подвійного кута, формули зведення для $90^{\circ} + \alpha$ і $180^{\circ} - \alpha$

Важливо: формул додавання немає в довідці. $\sin(\alpha + \beta)$ , $\cos(\alpha - \beta)$ та похідні від них треба знати напам'ять.

Питання й відповіді

Короткі відповіді на найпоширеніші запитання.

Як вибрати зручне значення змінної для перевірки?

Візьми невелике ціле число, яке входить в ОДЗ і зручне для обчислень. Якщо вираз містить корені, обирай повний квадрат (4, 9, 16). Для логарифмів — степінь основи (2, 4, 8 для log₂). Уникай 0, 1, −1, бо вони можуть давати збіг випадково. Наприклад, для перевірки ${}(x^{2} - 25)/(x^{2} + 5x)$ підстав $x = 2$ — легко обчислити й не випадає з ОДЗ.

Чому не можна скорочувати доданки?

Скорочення — це ділення чисельника й знаменника на спільний множник. Доданки не є множниками: вони з'єднані знаком «+» або «−». Якщо «скоротити» доданки, наприклад, у ${}(x^{2} + 2x)/x^{2}$ прибрати $x^{2}$ з чисельника й знаменника, отримаєш $2x$ , а правильна відповідь — ${}(x + 2)/x$ . Запам'ятай: спершу розклади на множники, потім скорочуй.

Коли √(a²) дорівнює a, а коли −a?

Арифметичний квадратний корінь завжди невід'ємний. Тому $\sqrt{a^{2}} = |a|$ . Якщо $a \ge 0$ , то модуль розкривається як $a$ ; якщо $a < 0$ , то як $-a$ . Приклад: $\sqrt{(-5)^{2}} = \sqrt{25} = 5 = -(-5)$ . У виразах зі змінною звертай увагу на умову задачі — часто буває сказано «при x < 3» або подібне.

Чи треба в завданні з вибором відповіді зважати на ОДЗ?

Так, і часто саме ОДЗ допомагає відкинути неправильні варіанти. Наприклад, якщо у відповіді запропоновано вираз, який має зміст при всіх x, а вихідний дріб — ні, то така відповідь хибна. Крім того, коли перевіряєш себе частинним значенням, обов'язково бери число з ОДЗ, інакше обидва вирази — вихідний і твій — можуть бути не визначені, і перевірка нічого не дасть.

Як швидко розпізнати тип виразу в змішаній серії?

Поглянь на символи:

Є риска дробу й многочлени в чисельнику й знаменнику → раціональний дріб.
Є знак кореня $\sqrt{\phantom{a}}$ або дробовий показник $a^{1/2}$ → степеневий / ірраціональний вираз.
Є $\log$ , $\ln$ або $\lg$ → логарифмічний вираз.
Є $\sin$ , $\cos$ , $\tg$ , $\ctg$ → тригонометричний вираз.

Далі згадай, яка властивість потрібна для цього типу, і застосуй її.

Коротко: головне

Скорочують лише множники: спершу розклади чисельник і знаменник на множники (винесення, формули скороченого множення, корені квадратного тричлена).
$a^{2} = ∣ a ∣$ — ніколи не забувай про модуль!
Мінус перед дробом змінює знак усього чисельника, а не лише першого доданка.
Формули додавання — напам'ять, їх немає в довідці НМТ.
Перевіряй результат частинним значенням змінної з ОДЗ.
Класифікуй помилки за трьома типами: «властивість», «знак», «ОДЗ».