Тригонометричне рівняння в завданнях 1–15 НМТ: корені на проміжку

Тригонометричне рівняння в завданнях 1–15 НМТ — це завдання з вибором однієї правильної відповіді з п'яти. Типове таке рівняння зводять до найпростішого або до квадратного відносно sin x або cos x. Після цього питають про корені на проміжку: їхній набір, кількість, суму, найбільший чи найменший корінь. Інколи у варіантах відповіді подають загальні розв'язки, і треба впізнати правильний запис.

Ланцюжок розв'язання

Весь розв'язок складається з чотирьох чітких кроків:

1. Спростити вираз за допомогою тригонометричних формул.

2. Розв'язати найпростіше тригонометричне рівняння або квадратне рівняння відносно t = sin x (або t = cos x).

3. Відібрати корені на заданому проміжку (відрізку чи інтервалі).

4. Звірити здобутий набір (або кількість, суму) з п'ятьма варіантами відповідей.

Формули для першого кроку

У довідці НМТ є таблиця значень sin, cos, tg для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π, а також формули sin 2α, cos 2α. Найчастіше на першому кроці використовують такі співвідношення:

• Основна тригонометрична тотожність: sin²x + cos²x = 1.

• Синус подвійного кута: sin 2x = 2 sin x cos x.

• Косинус подвійного кута: cos 2x = cos²x − sin²x = 1 − 2 sin²x = 2 cos²x − 1.

• Формули зведення: sin(π/2 + x) = cos x, cos(π − x) = −cos x.

Загальні формули розв'язків — знати напам'ять

У довідці НМТ загальних формул розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь немає. Їх треба пам'ятати:

Запам'ятай: для sin x використовуємо (−1)ⁿ, для cos x — ± (тобто дві серії), для tg x — додаємо πn. Коли a дорівнює одному з табличних значень (0, ±1/2, ±√2/2, ±√3/2, ±1), ми підставляємо відповідний табличний кут. Наприклад, sin x = 1/2 дає x = (−1)ⁿ · π/6 + πn, а cos x = −1/2 дає x = ±2π/3 + 2πn.

Найпоширеніший спосіб ускладнити тригонометричне рівняння на НМТ — використати формули подвійного кута або основну тотожність так, щоб одержати рівняння, яке зводиться до двох найпростіших. Розгляньмо основні прийоми.

Подвійний кут і розкладання на множники

Рівняння виду sin 2x = cos x розв'язують так: замінюють sin 2x за формулою 2 sin x cos x, дають 2 sin x cos x = cos x, переносять усе в один бік і виносять спільний множник:

$$2\sin x\cos x-\cos x=0\Rightarrow \cos x(2\sin x-1)=0.$$

Увага! Ділити на cos x не можна! Якщо поділити, то втратиш серію коренів cos x = 0, тобто x = π/2 + πn. Завжди переноси все в один бік і розкладай на множники.

Після розкладу маємо два рівняння: cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, і sin x = 1/2 ⇒ x = (−1)ⁿ · π/6 + πn. Обидві серії входять до відповіді.

Квадратне рівняння відносно sin x або cos x

Коли в рівнянні одночасно є sin²x, cos²x і sin x (або cos x), використовують основну тотожність, щоб звести все до однієї функції.

Розгляньмо рівняння 2cos²x + 3 sin x − 3 = 0. Замінюємо cos²x на 1 − sin²x:

$$2(1-{\sin }^{2}x)+3\sin x-3=0\Rightarrow 2-2{\sin }^{2}x+3\sin x-3=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x+3\sin x-1=0.$$

Помножимо на −1:

$$2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0.$$

Позначимо t = sin x. Тоді маємо квадратне рівняння 2t² − 3t + 1 = 0. Його корені: t = 1 і t = 1/2. Повертаємось до заміни:

• sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn;

• sin x = 1/2 ⇒ x = (−1)ⁿ · π/6 + πn.

Обмеження нової змінної

Коли ми робимо заміну t = sin x або t = cos x, обов'язково перевіряємо умову |t| ≤ 1. Якщо квадратне рівняння дає корінь, який не задовольняє цю умову, його відкидають.

Наприклад, для рівняння 2cos²x + cos x − 3 = 0 робимо заміну t = cos x:

$$2t^2+t-3=0\Rightarrow t=1\text{або}t=-\frac{3}{2}.$$

Значення t = −3/2 відкидаємо, бо |cos x| ≤ 1, а |−3/2| = 3/2 > 1. Залишається cos x = 1, звідки x = 2πn.

Формули зведення в умові

Іноді саме рівняння містить формулу зведення, і перший крок — застосувати її. Наприклад:

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}.$$

Звідси x = ±arccos(−1/2) + 2πn = ±2π/3 + 2πn. arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3.

Після того як ти отримав загальні розв'язки, треба відібрати ті корені, які належать заданому проміжку. Цей крок найчастіше призводить до помилок, тому розберімо його докладно.

Перебір цілого параметра n

Для кожної серії коренів (наприклад, x = 2π/3 + 2πn та x = −2π/3 + 2πn) окремо підставляємо n = 0, ±1, ±2, … і перевіряємо, чи потрапляє результат у проміжок. Важливо перебирати не лише додатні, а й від'ємні n — інакше можна втратити корені зліва від нуля. Корені й кінці проміжку завжди порівнюй в однакових частках π.

Розгляньмо cos x = −1/2 на проміжку [0; 3π]. Серія x = 2π/3 + 2πn:

Серія x = −2π/3 + 2πn:

Відповідь: три корені: 2π/3, 4π/3, 8π/3.

Відрізок чи інтервал?

Кінці відрізка (квадратні дужки [a; b]) входять у розв'язок. Кінці інтервалу (круглі дужки (a; b)) не входять. Якщо проміжок [0; π], то 0 і π можуть бути коренями; якщо (0; π), то ні.

Перевірка варіанта-набору коренів

Коли варіанти відповіді — це набори коренів, перевіряй двоетапно: по-перше, кожне число набору має задовольняти рівняння (підстав і перевір); по-друге, переконайся, що на проміжку немає інших коренів. Наприклад, для sin x = 1/2 на [0; 2π] повний набір — {π/6; 5π/6}. Набір {π/6} неповний, хоча π/6 — справді корінь.

Рівносильні записи загального розв'язку

Іноді правильний загальний розв'язок записано інакше, ніж ти звик. Наприклад, π/4 + πn/2 і ±π/4 + πn — це одна й та сама множина чисел. Щоб перевірити, підстав n = 0, 1, −1 і подивись, чи збігаються значення.

Формула x = (−1)ⁿ · π/6 + πn насправді описує дві серії: x = π/6 + 2πn (коли n парне) і x = 5π/6 + 2πn (коли n непарне). Запам'ятай: (−1)ⁿ дає чергування знаків, тому arcsin a та π − arcsin a повторюються через 2π.

Власна задача-аналог для тренування

Візьми будь-який приклад із цього уроку й зміни одну умову: праву частину (замість 1/2 постав −1/2), функцію (sin → cos) або проміжок (наприклад, звуж [0; 2π] до [π/2; 3π/2]). Перед тим як розв'язувати, передбач, як зміниться кількість коренів. Потім зроби повний розв'язок і перевір себе.

Розгляньмо чотири типові завдання, які трапляються в НМТ. Кожне з них іде за ланцюжком: спростити → розв'язати → відібрати → звірити з варіантами.

Приклад 1. Скільки коренів?

Завдання. Скільки коренів має рівняння 2 sin²x − sin x = 1 на відрізку [0; 2π]?

Розв'язання.

Перенесемо 1 вліво: 2 sin²x − sin x − 1 = 0. Позначимо t = sin x. Маємо квадратне рівняння 2t² − t − 1 = 0.

Дискримінант: D = 1 + 8 = 9. Корені: t₁ = (1 + 3)/(4) = 1, t₂ = (1 − 3)/(4) = −1/2.

Повертаємось до заміни:

• sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn.

• sin x = −1/2 ⇒ arcsin(−1/2) = −π/6. Загальний розв'язок: x = (−1)ⁿ · (−π/6) + πn. Для n = 0: x = −π/6. Для n = 1: x = π + π/6 = 7π/6. Для n = 2: x = −π/6 + 2π = 11π/6.

Відбір на [0; 2π]:

• Із sin x = 1: x = π/2 — входить.

• Із sin x = −1/2: x = 7π/6 — входить; x = 11π/6 — входить. x = −π/6 не входить (від'ємне).

Відповідь: 3 корені.

Чому інші варіанти неправильні.

• Варіант «2» — узяли лише серію sin x = −1/2 і забули про sin x = 1.

• Варіант «1» — знайшли лише один корінь (наприклад, π/2) і не шукали далі.

• Варіанти «4» і «5» — додали зайві корені, які не задовольняють рівняння або лежать поза проміжком.

Приклад 2. Укажіть усі корені на проміжку

Завдання. Укажіть усі корені рівняння sin 2x = √3 cos x, що належать відрізку [0; π].

Розв'язання.

За формулою sin 2x = 2 sin x cos x маємо:

$$2\sin x\cos x=\sqrt{3}\cos x\Rightarrow 2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0\Rightarrow \cos x(2\sin x-\sqrt{3})=0.$$

Звідси:

• cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn.

• sin x = √3/2 ⇒ x = (−1)ⁿ · π/3 + πn.

Відбір на [0; π]:

• Із cos x = 0: n = 0 дає π/2 — входить; n = 1 дає 3π/2 > π — не входить; n = −1 дає −π/2 < 0 — не входить.

• Із sin x = √3/2: n = 0 дає π/3 — входить; n = 1 дає π − π/3 = 2π/3 — входить; n = 2 дає π/3 + 2π > π — не входить; n = −1 дає −π/3 < 0 — не входить.

Відповідь: {π/3; π/2; 2π/3}.

Чому інші варіанти неправильні.

• «π/3; 2π/3» — поділили на cos x і втратили корінь π/2.

• «π/2» — забули, що sin 2x = √3 cos x дає ще корені з sin x = √3/2.

• «π/6; π/2; 5π/6» — переплутали sin(π/6) = 1/2 із sin(π/3) = √3/2.

• «π/3» — неповний набір.

Приклад 3. Сума коренів

Завдання. Знайдіть суму коренів рівняння cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 на відрізку [0; 2π].

Розв'язання.

Замінимо cos 2x = 2 cos²x − 1:

$$2{\cos }^{2}x-1+3\cos x+2=0\Rightarrow 2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0.$$

Позначимо t = cos x. Тоді 2t² + 3t + 1 = 0. Дискримінант D = 9 − 8 = 1. Корені: t₁ = (−3 + 1)/(4) = −1/2, t₂ = (−3 − 1)/(4) = −1.

Повертаємось:

• cos x = −1 ⇒ x = π + 2πn.

• cos x = −1/2 ⇒ x = ±2π/3 + 2πn.

Відбір на [0; 2π]:

• Із cos x = −1: n = 0 дає π — входить.

• Із cos x = −1/2: n = 0 дає 2π/3 (входить) і −2π/3 (не входить, від'ємне). n = 1 дає 2π/3 + 2π = 8π/3 > 2π (не входить) і −2π/3 + 2π = 4π/3 — входить.

Корені на проміжку: π, 2π/3, 4π/3. Сума: π + 2π/3 + 4π/3 = π + 6π/3 = π + 2π = 3π.

Відповідь: 3π.

Чому інші варіанти неправильні.

• 2π — пропустили корінь x = π.

• π — узяли лише один корінь.

• 4π — зайвий доданок у сумі, наприклад корінь π порахували двічі: 3π + π = 4π.

• 5π/3 — помилка в обчисленні суми або відборі.

Приклад 4. Загальний розв'язок

Завдання. Розв'яжіть рівняння tg(x − π/4) = 1.

Розв'язання.

Для tg α = 1 маємо α = arctg 1 + πn = π/4 + πn. Тут α = x − π/4. Отже:

$$x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n.$$

Відповідь: x = π/2 + πn.

Чому інші варіанти неправильні.

• π/2 + 2πn — період тангенса π, а не 2π.

• πn — відняли π/4 замість додати (x = π/4 + πn − π/4 = πn).

• π/4 + πn — забули додати π/4 до лівої частини.

• 3π/4 + πn — помилка: arctg 1 = π/4, а не 3π/4.

Навіть добре підготовлені учні роблять характерні помилки. Ось найпоширеніші — і як їх уникнути.

• Пропускають корінь на кінці відрізка або включають кінець інтервалу. Коли проміжок задано як [a; b], числа a і b входять у множину коренів. Коли проміжок (a; b) — не входять. Завжди перевіряй, які дужки в умові.

• Ділять рівняння на cos x чи sin x і гублять серію коренів. Наприклад, у рівнянні 2 sin x cos x = √3 cos x деякі ділять на cos x і отримують 2 sin x = √3, втрачаючи cos x = 0. Правильно: перенести все в один бік і винести cos x за дужки.

• Не відкидають значення нової змінної t, для якого |t| > 1. Якщо після заміни t = cos x одержали t = −3/2, це значення треба відкинути, бо косинус не може бути меншим за −1 або більшим за 1.

• Плутають табличні значення: sin(π/3) і sin(π/6). sin(π/6) = 1/2, sin(π/3) = √3/2, sin(π/4) = √2/2. Користуйся довідкою НМТ — у ній є повна таблиця.

• Перебирають лише n ≥ 0 і гублять від'ємні корені. Якщо проміжок містить від'ємні числа (наприклад, [−π; π]), треба підставляти n = 0, 1, −1, 2, −2, … і перевіряти кожне значення.

• Беруть період 2π для tg x замість π. Тангенс має період π, тому загальний розв'язок tg x = a — це x = arctg a + πn, а не + 2πn.

• Вибирають неповний набір коренів, перевіривши лише, що кожне число набору підходить. Мало того, що кожен корінь з набору задовольняє рівняння, — треба ще переконатися, що на проміжку немає інших коренів, яких у наборі немає. Інакше можна вибрати варіант, де подано лише частину коренів.

Тригонометричне рівняння з відбором коренів на проміжку — це завдання з вибором однієї відповіді з п'яти, воно дає 0 або 1 бал. У демоваріанті НМТ-2026 таке завдання стоїть на позиції № 11 і належить до теми 2.1 («Рівняння, нерівності й системи»). У вибірці реальних тестів 2023–2024 років тригонометричне рівняння траплялося й на позиції № 15 — у тій самій формі з вибором однієї відповіді.

В аналізі програми (експертна оцінка, а не дані УЦОЯО) тригонометричні рівняння з відбором коренів на проміжку віднесено до найскладніших позицій тесту. Це означає, що тут легко втратити бали через неуважність, але водночас правильне розв'язання дає перевагу в конкурентному відборі.

Що можна взяти з довідки

У довідці, яку дають на НМТ, є:

• таблиця значень sin, cos, tg для кутів 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2, 2π;

• формули sin 2α та cos 2α.

Чого в довідці немає: загальних формул розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь. Їх треба знати напам'ять (див. розділ «Позиція в тесті й ланцюжок розв'язання»).

Стратегія виконання

Якщо варіанти відповіді — набори коренів, спершу підстав кожен корінь з набору у вихідне рівняння — перевір, чи справді він його задовольняє. Потім переконайся, що набір повний (на проміжку немає інших коренів).

Якщо розв'язання затягується, познач варіанти, які точно неправильні, на полях, і повернися до цього завдання в другому проході — спершу зроби простіші завдання, щоб не втратити час.

• Ланцюжок: спростити формулами → розв'язати найпростіше рівняння або квадратне відносно sin x (cos x) → відібрати корені на проміжку → звірити з варіантами.

• Загальних формул розв'язків у довідці немає — знай їх напам'ять: sin x = a ⇒ x = (−1)ⁿ arcsin a + πn; cos x = a ⇒ x = ±arccos a + 2πn; tg x = a ⇒ x = arctg a + πn.

• Не діли на вираз зі змінною — розкладай на множники. Ділення на cos x або sin x губить цілу серію коренів.

• Після заміни t = sin x чи cos x залишай лише |t| ≤ 1. Якщо квадратне рівняння дало t = −3/2 — відкинь, бо косинус не буває таким.

• Кінці відрізка входять, кінці інтервалу — ні. Завжди звертай увагу на дужки: [a; b] чи (a; b).

• Набір коренів у варіанті має бути повним. Перевір не лише кожен корінь окремо, а й те, чи всі корені проміжку представлені.