Теорема косинусів

У довільному трикутнику кути можуть бути як гострими, так і тупими. Косинус кута трикутника змінює знак залежно від того, чи кут гострий (менше 90°), прямий (90°) чи тупий (більше 90°). Це впливає на обчислення за теоремою косинусів, тому спершу розберімося з косинусом тупого кута.

Знак косинуса кута

Для кутів трикутника виконується просте правило:

Отже, за знаком косинуса можна одразу визначити вид кута, не знаючи його градусної міри.

Формула зведення для тупого кута

У довідкових матеріалах НМТ є формула зведення: cos(180° − α) = −cos α. Скориставшись нею, знаходять косинуси тупих кутів через косинуси гострих:

• cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2

• cos 135° = cos(180° − 45°) = −cos 45° = −√2/2

• cos 150° = cos(180° − 30°) = −cos 30° = −√3/2

Запам'ятай найуживаніші значення: cos 60° = 1/2, cos 90° = 0, cos 120° = −1/2.

Косинус дає однозначну відповідь

На відміну від синуса, косинус визначає кут у трикутнику однозначно. Якщо sin C = 1/2, то C може бути 30° або 150° — обидва варіанти можливі. Але якщо cos C = −1/2, то C = 120°, і жодного іншого кута з таким косинусом у діапазоні (0°; 180°) немає. Тому теорема косинусів, яка працює через cos C, дає змогу знайти кут без двозначності.

Теорема косинусів — одна з основних теорем, що пов'язує сторони й кути довільного трикутника. Вона є в довідкових матеріалах НМТ, тому важливо знати, як її правильно застосовувати.

Формулювання

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

У вигляді формули для сторони c, що лежить проти кута C:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos C$$

Тут C — кут між сторонами a і b, а сторона c лежить навпроти кута C. Для інших сторін формулу записують аналогічно: a² = b² + c² − 2bc · cos A, b² = a² + c² − 2ac · cos B. Завжди звертай увагу: кут, косинус якого береш, лежить між двома сторонами, що входять у добуток 2ab, і протилежний тій стороні, квадрат якої шукаєш.

Узагальнення теореми Піфагора

Якщо кут C прямий (90°), то cos 90° = 0, і формула спрощується:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot 0=a^2+b^2$$

Саме тому теорему косинусів називають узагальненням теореми Піфагора: вона працює для будь-якого трикутника, а для прямокутного збігається з теоремою Піфагора.

Приклади: знаходження третьої сторони

Розглянемо два приклади, які показують, як знак косинуса впливає на результат.

Приклад A: a = 5, b = 8, C = 60°. cos 60° = 1/2.

c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 25 + 64 − 40 = 49, отже c = 7.

Приклад B: a = 3, b = 5, C = 120°. cos 120° = −1/2.

c² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · (−1/2) = 9 + 25 + 15 = 49, отже c = 7.

Зверни увагу: для тупого кута cos C < 0, тому доданок −2ab cos C стає додатним і c² виходить більшим, ніж a² + b². Це логічно: навпроти тупого кута лежить найбільша сторона трикутника.

Теорему косинусів можна застосувати й у зворотному напрямку: за трьома відомими сторонами знайти косинус будь-якого кута, а потім і сам кут.

Косинус кута за трьома сторонами

Якщо відомі всі три сторони трикутника a, b, c, то косинус кута C, протилежного стороні c, можна обчислити за формулою:

$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

Цю формулу отримують із теореми косинусів, виражаючи cos C. У довідці НМТ є сама теорема косинусів, а формулу для cos C виводять із неї.

Приклади

Приклад 1. Сторони трикутника 5, 7 і 8. Знайдемо кут, протилежний стороні 7.

cos C = (5² + 8² − 7²) / (2 · 5 · 8) = (25 + 64 − 49) / 80 = 40 / 80 = 1/2. Отже, C = 60°.

Приклад 2. Сторони трикутника 3, 5 і 7. Знайдемо кут, протилежний стороні 7.

cos C = (3² + 5² − 7²) / (2 · 3 · 5) = (9 + 25 − 49) / 30 = (−15) / 30 = −1/2. Отже, C = 120°.

Вид кута за знаком a² + b² − c²

Оскільки знаменник 2ab завжди додатний, знак cos C визначається чисельником a² + b² − c²:

Вид трикутника за найбільшою стороною

Вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний) визначає найбільший кут. Найбільший кут лежить проти найбільшої сторони. Тому достатньо перевірити знак a² + b² − c² для найбільшої сторони c:

• Сторони 4, 5, 6: найбільша 6. 4² + 5² − 6² = 16 + 25 − 36 = 5 > 0 — трикутник гострокутний.

• Сторони 4, 5, 7: найбільша 7. 4² + 5² − 7² = 16 + 25 − 49 = −8 < 0 — трикутник тупокутний.

Запам'ятай: якщо a² + b² = c² — прямокутний трикутник; якщо a² + b² > c² — гострокутний; якщо a² + b² < c² — тупокутний, де c — найбільша сторона.

Ти вже знаєш дві потужні теореми для розв'язування трикутників: теорему синусів і теорему косинусів. Важливо вміти обирати, яку з них застосувати в кожній конкретній задачі.

Коли яку теорему використовувати?

Комбінування теорем

Часто одну задачу розв'язують, послідовно застосовуючи обидві теореми. Наприклад: маємо трикутник зі сторонами a = 3, b = 5 і кутом C = 120° між ними. Спочатку теорема косинусів дає третю сторону:

c² = 3² + 5² − 2 · 3 · 5 · cos 120° = 9 + 25 − 30 · (−1/2) = 9 + 25 + 15 = 49, c = 7.

Далі за теоремою синусів можна знайти радіус описаного кола:

$$R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{7}{2\cdot \sin 120°}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$

Практичні задачі

Теорема косинусів часто виникає в прикладних задачах. Наприклад, два катери вийшли з одного порту під кутом 60° один до одного. Перший пройшов 5 км, другий — 8 км. Відстань між катерами — це третя сторона трикутника, утвореного їхніми шляхами:

c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 25 + 64 − 40 = 49, c = 7 км.

Так само можна знайти відстань між двома пунктами, які видно з третього пункту під відомим кутом, якщо відомі відстані від третього пункту до кожного з них.

Розгляньмо типові завдання НМТ, які перевіряють уміння застосовувати теорему косинусів. Кожен приклад супроводжується покроковим розв'язанням.

Приклад 1. Дві сторони та кут між ними (вибір однієї відповіді)

Дві сторони трикутника дорівнюють 5 і 8, а кут між ними — 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв'язання:

• За теоремою косинусів: c² = a² + b² − 2ab · cos C.

• Підставляємо: c² = 5² + 8² − 2 · 5 · 8 · cos 60° = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 25 + 64 − 40 = 49.

• c = √49 = 7.

Відповідь: 7.

Розбір дистракторів: √129 — отримали б, якби замість «− 2ab cos C» поставили «+ 2ab cos C» (25 + 64 + 40 = 129); √89 — результат за теоремою Піфагора (25 + 64 = 89), ігноруючи кут; 13 — сума сторін (5 + 8); 49 — знайшли c², але не добули квадратний корінь.

Приклад 2. Тупокутний трикутник (коротка відповідь)

Дві сторони трикутника дорівнюють 6 і 10, а кут між ними — 120°. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв'язання:

• c² = 6² + 10² − 2 · 6 · 10 · cos 120° = 36 + 100 − 120 · (−1/2) = 36 + 100 + 60 = 196.

• c = √196 = 14.

Відповідь: 14.

Пастка: якщо помилково взяти cos 120° = 1/2, отримаємо c² = 36 + 100 − 60 = 76, тоді c = √76 — цього варіанта немає серед правильних, але в задачах на вибір він може бути дистрактором.

Приклад 3. Визначення виду трикутника (вибір однієї відповіді)

Сторони трикутника дорівнюють 5, 6 і 9. Яким є цей трикутник?

Розв'язання:

• Найбільша сторона — 9. Перевіряємо: 5² + 6² − 9² = 25 + 36 − 81 = −20 < 0.

• Сума квадратів менших сторін менша за квадрат найбільшої — трикутник тупокутний.

Відповідь: тупокутний.

Дистрактори: «гострокутний» — отримали б, якби порівняли з не найбільшою стороною; «прямокутний» — перевірка 5² + 6² = 61 ≠ 81; «рівнобедрений» — усі сторони різні; «такого трикутника не існує» — нерівність трикутника 5 + 6 > 9 виконується (11 > 9), тому трикутник існує.

Приклад 4. Кут за трьома сторонами (коротка відповідь)

Сторони трикутника дорівнюють 7, 8 і 13. Знайдіть найбільший кут трикутника (у градусах).

Розв'язання:

• Найбільша сторона — 13, вона лежить проти найбільшого кута.

• cos C = (7² + 8² − 13²) / (2 · 7 · 8) = (49 + 64 − 169) / 112 = (−56) / 112 = −1/2.

• C = 120°.

Відповідь: 120.

Пастка: якщо загубити знак «−» і взяти cos C = 1/2, то C = 60°, але це неправильно — кут проти найбільшої сторони завжди найбільший, а 60° не може бути найбільшим кутом у трикутнику зі сторонами 7, 8 і 13.

Приклад 5. Практична задача (вибір однієї відповіді)

Два катери вийшли з порту під кутом 60° один до одного. Перший пройшов 8 км, другий — 15 км. Знайдіть відстань між катерами.

Розв'язання:

• Це трикутник зі сторонами 8 і 15 та кутом 60° між ними. Шукаємо третю сторону.

• c² = 8² + 15² − 2 · 8 · 15 · cos 60° = 64 + 225 − 240 · 1/2 = 64 + 225 − 120 = 169.

• c = √169 = 13 км.

Відповідь: 13 км.

Дистрактори: 17 км — результат за теоремою Піфагора (64 + 225 = 289, √289 = 17), ігноруючи кут 60°; √409 км — отримали б, якби взяли cos 60° = −1/2 (64 + 225 + 120 = 409); 23 км — сума сторін (8 + 15); 7 км — різниця сторін (15 − 8), помилкова спроба застосувати нерівність трикутника.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час застосування теореми косинусів. Уникаючи їх, ти значно підвищиш свої шанси на правильну відповідь.

• Ставлять «+» перед 2ab cos C замість «−». Правильна формула: c² = a² + b² − 2ab · cos C. Для тупого кута cos C від'ємний, тому −2ab cos C стає додатним — це природно, але знак «−» у формулі залишається.

• Для тупого кута помилково беруть cos 120° = 1/2 замість −1/2. Запам'ятай: cos 120° = −1/2, cos 135° = −√2/2, cos 150° = −√3/2.

• Беруть кут, що не лежить між двома відомими сторонами. У формулі c² = a² + b² − 2ab · cos C кут C обов'язково має бути кутом між сторонами a і b. Якщо кут при вершині A, то формула має вигляд a² = b² + c² − 2bc · cos A.

• Забувають добути квадратний корінь. Якщо c² = 49, то c = 7, а не 49. Це найпростіша помилка, яка коштує бала.

• Гублять множник 2 у доданку 2ab cos C. Не забувай, що перед добутком сторін стоїть 2ab, а не просто ab.

• Визначають вид трикутника за кутом проти не найбільшої сторони. Вид трикутника визначає найбільший кут, який лежить проти найбільшої сторони. Перевіряй знак a² + b² − c² саме для найбільшої c.

• Шукають кут за трьома сторонами теоремою синусів. Теорема синусів вимагає знати хоча б один кут. Якщо відомі лише три сторони, кут знаходять через теорему косинусів: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab).

Теорема косинусів входить до теми «Трикутники» програми НМТ рівня стандарту. Вона є в довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, разом із теоремою синусів. Формула зведення cos(180° − α) = −cos α також є серед формул зведення в довідці.

Форми завдань

Стратегія виконання

• Перш ніж рахувати, перевір, що кут лежить між двома відомими сторонами. Якщо кут C не лежить між відомими сторонами a і b, пряма підстановка не спрацює: розв'язуй квадратне рівняння відносно невідомої сторони або скористайся теоремою синусів.

• Підставляючи косинус, обов'язково врахуй знак: для гострого кута cos > 0, для тупого cos < 0.

• Після обчислення сторони звір її з нерівністю трикутника: будь-яка сторона має бути меншою за суму двох інших і більшою за їхню різницю.

• Якщо отримав c², не забудь добути квадратний корінь — інакше втратиш бал.

Тут зібрані відповіді на найпоширеніші запитання, які виникають під час вивчення теореми косинусів.

• c² = a² + b² − 2ab · cos C, де C — кут між сторонами a і b, а c — сторона, протилежна цьому куту.

• cos 60° = 1/2, cos 90° = 0, cos 120° = −1/2: для тупого кута cos C < 0, тому c² збільшується порівняно з a² + b². Навпроти тупого кута лежить найбільша сторона.

• cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) — шукаємо кут за трьома сторонами. Косинус дає однозначну відповідь на відміну від синуса.

• Знак a² + b² − c² для найбільшої сторони c визначає вид трикутника: додатний — гострокутний, нуль — прямокутний, від'ємний — тупокутний.

• Дві сторони й кут між ними або три сторони — застосовуй теорему косинусів. Сторона й два кути або дві сторони й кут, протилежний одній із них — застосовуй теорему синусів.