Рівномірний рух по колу: період, частота, кутова швидкість

Уявіть, що ви спостерігаєте за каруселлю. Кожне крісло описує коло, і через однакові проміжки часу повертається в ту саму точку. Такий рух називають рівномірним рухом по колу: тіло за будь-які рівні проміжки часу проходить однакові дуги кола. Модуль (числове значення) швидкості залишається сталим, але напрям швидкості безперервно змінюється — саме тому цей рух не є рівномірним прямолінійним.

Основною характеристикою такого руху є період обертання T. Період — це час, за який тіло робить один повний оберт. Якщо за час t тіло зробило N обертів, то період обчислюють за формулою:

$$T=\frac{t}{N}$$

Одиниця періоду — секунда (с). Наприклад, якщо колесо за 2 хвилини (120 с) зробило 60 обертів, то T = 120 / 60 = 2 с. Це означає, що один повний оберт триває 2 секунди.

Частота обертання ν (грецька літера «ню») — це кількість обертів за одиницю часу. Вона є оберненою величиною до періоду:

$$\nu =\frac{N}{t}=\frac{1}{T}$$

Одиниця частоти — оберт за секунду, або с⁻¹ (читають «секунда в мінус першому степені»). У техніці часто використовують об/хв (обертів за хвилину). Перехід простий: поділіть число обертів за хвилину на 60. Наприклад, 600 об/хв = 600 / 60 = 10 с⁻¹. Тоді період T = 1 / 10 = 0,1 с — один оберт триває лише 0,1 секунди.

Навколишній світ дає багато прикладів різних періодів обертання:

Зверніть увагу: чим більша частота, тим менший період, і навпаки. Цей простий обернений зв'язок — основа всіх подальших обчислень.

Коли тіло рухається по колу, його положення зручно описувати не пройденим шляхом, а кутом повороту φ (фі). Кут повороту вимірюють у радіанах (рад). Повний оберт — це кут $2\pi$ рад, що відповідає 360°. Звідси 1 рад ≈ 57°. Чому саме радіани? Тому що довжина дуги кола дорівнює добутку радіуса на кут у радіанах: l = φR. Це робить формули простими й природними.

Кутова швидкість ω (омега) показує, на який кут повертається тіло за одиницю часу:

$$\omega =\frac{\phi }{t}=\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu$$

Одиниця кутової швидкості — радіан за секунду (рад/с), що в розмірності збігається з с⁻¹. Наприклад, якщо частота обертання ν = 10 с⁻¹, то ω = $2\pi \cdot 10=20\pi$ ≈ 62,8 рад/с. Кутова швидкість — це скалярна величина, яка характеризує, як швидко тіло обертається навколо осі.

Лінійна швидкість v — це звичайна швидкість, з якою точка рухається вздовж кола. Її модуль обчислюють як довжину дуги, поділену на час:

$$v=\frac{l}{t}=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu =\omega R$$

Одиниця лінійної швидкості — метр за секунду (м/с). Зверніть увагу на останню рівність: v = ωR. Вона пов'язує лінійну й кутову швидкості через радіус. Чим далі точка від осі обертання, тим більша її лінійна швидкість за тієї самої кутової швидкості.

Напрям лінійної швидкості

Лінійна швидкість у кожній точці кола напрямлена по дотичній до кола, тобто перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку. Це легко спостерігати в побуті: іскри від точильного круга летять по дотичних до кола, бризки з-під коліс автомобіля на мокрій дорозі відлітають так само по дотичних. Якщо ви крутите на мотузці камінь і раптом відпускаєте мотузку, камінь полетить не по радіусу, а по дотичній до кола в точці, де його відпустили.

Пам'ятайте: під час рівномірного руху по колу модуль лінійної швидкості залишається сталим, але її напрям безперервно змінюється. Отже, швидкість як вектор не є сталою — тому цей рух відбувається з прискоренням (доцентровим), про яке йтиметься в наступному уроці.

У реальному світі ми рідко маємо справу з однією точкою на колі — частіше йдеться про колеса, диски, шківи та зубчасті передачі. Розберімо, як пов'язані швидкості різних точок таких систем.

Точки одного твердого диска

Усі точки одного твердого диска (або колеса) обертаються разом, тому вони мають однакові період T, частоту ν і кутову швидкість ω. А от лінійна швидкість залежить від відстані точки до осі обертання: v = ωr. Точка на ободі (на відстані R від осі) рухається вдвічі швидше, ніж точка посередині радіуса (на відстані R/2). Якщо радіус колеса 0,4 м, а кутова швидкість 10 рад/с, то лінійна швидкість точки на ободі v = 10 · 0,4 = 4 м/с, а точки на півдорозі до осі — лише 2 м/с.

Шківи, з'єднані пасом

Коли два шківи з'єднані пасом без проковзування (або зубчасті колеса перебувають у зачепленні), пас рухається з однаковою лінійною швидкістю на обох шківах. Отже, лінійні швидкості точок ободів обох шківів однакові. Це дає ключове співвідношення:

$${\omega }_1{R}_1={\omega }_2{R}_2$$

Менший шків обертається частіше: його частота обертання більша. Відношення частот обернене до відношення радіусів:

$$\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}=\frac{R_2}{R_1}$$

Наприклад, якщо радіус меншого шківа 10 см, а більшого 30 см, то менший робить у 3 рази більше обертів за секунду, ніж більший. Якщо менший робить 6 об/с, то більший — лише 2 об/с.

Колеса на одній осі

Якщо два колеса або шківи закріплені на одній осі (наприклад, зірочка велосипеда й заднє колесо), вони обертаються разом. Усі точки такої системи мають однакову кутову швидкість ω, а лінійні швидкості пропорційні радіусам.

Колесо, що котиться без проковзування

Коли колесо котиться по поверхні без проковзування, точки його обода рухаються відносно осі з лінійною швидкістю, що дорівнює швидкості руху центра колеса (тобто швидкості велосипеда чи автомобіля). Тому кутову швидкість такого колеса можна знайти як ω = v/R, де v — швидкість транспортного засобу, R — радіус колеса.

Приклад 1. Період обертання колеса

Завдання (коротка відповідь). Колесо робить 120 обертів за 1 хвилину. Визначте період обертання колеса в секундах.

Розв'язання. Період T — це час одного повного оберту. Загальний час t = 1 хв = 60 с. Кількість обертів N = 120. За формулою T = t / N = 60 / 120 = 0,5 с.

Відповідь: 0,5.

Чому інші відповіді неправильні? Якщо поділити 120 на 60, отримаєте 2 — це частота в об/с, а не період. Якщо забути перевести хвилини в секунди, T = 1 / 120 ≈ 0,008 хв, що не відповідає формату відповіді.

Приклад 2. Лінійні швидкості точок колеса

Завдання (вибір однієї відповіді). Як відносяться лінійні швидкості точки на ободі колеса й точки, розташованої посередині радіуса?

Варіанти: А) 1 : 1; Б) 1 : 2; В) 2 : 1; Г) 4 : 1.

Розв'язання. Усі точки одного колеса мають однакову кутову швидкість ω. Лінійна швидкість v = ωr, де r — відстань до осі. Для точки на ободі r₁ = R, для точки посередині радіуса r₂ = R/2. Тоді v₁ / v₂ = (ωR) / (ω · R/2) = 2. Отже, v₁ : v₂ = 2 : 1.

Відповідь: В) 2 : 1.

Чому інші варіанти неправильні? А) 1 : 1 — цю відповідь обирають ті, хто плутає однакову кутову швидкість з однаковою лінійною. Б) 1 : 2 — обернене відношення, яке виникає, якщо помилково вважати, що швидкість менша на більшому радіусі. Г) 4 : 1 — з'являється, якщо помилково взяти відношення квадратів радіусів.

Приклад 3. Кутова швидкість диска

Завдання (коротка відповідь). Точка на ободі диска радіусом 0,2 м рухається з лінійною швидкістю 4 м/с. Визначте кутову швидкість диска в рад/с.

Розв'язання. Лінійна швидкість v і кутова швидкість ω пов'язані формулою v = ωR. Звідси ω = v / R = 4 / 0,2 = 20 рад/с.

Відповідь: 20.

Поширена помилка — підставити діаметр замість радіуса. Якби взяти діаметр 0,4 м, то ω = 4 / 0,4 = 10 рад/с — це неправильно.

Приклад 4. Шківи, з'єднані пасом

Завдання (вибір однієї відповіді). Два шківи радіусами 10 см і 30 см з'єднано пасом без проковзування. Менший шків робить 6 обертів за секунду. Яка частота обертання більшого шківа?

Варіанти: А) 18 с⁻¹; Б) 6 с⁻¹; В) 3 с⁻¹; Г) 2 с⁻¹.

Розв'язання. Для шківів, з'єднаних пасом, лінійні швидкості ободів однакові: v₁ = v₂. Оскільки v = 2πRν, маємо 2πR₁ν₁ = 2πR₂ν₂, звідки R₁ν₁ = R₂ν₂. Тоді ν₂ = ν₁ · R₁ / R₂ = 6 · 10 / 30 = 2 с⁻¹.

Відповідь: Г) 2 с⁻¹.

Чому інші варіанти неправильні? А) 18 с⁻¹ — обернене відношення (ν₂ = ν₁ · R₂ / R₁ = 6 · 30 / 10 = 18), яке виникає, якщо помилково вважати, що частота пропорційна радіусу. Б) 6 с⁻¹ — однакова частота, що була б правильною для коліс на одній осі, а не для пасової передачі. В) 3 с⁻¹ — результат ділення 6 на 2 замість 3.

• Плутати частоту обертання (об/с) з кутовою швидкістю (рад/с). Запам'ятайте: ω = 2πν, а не просто ν. Якщо частота 5 с⁻¹, то кутова швидкість дорівнює $2\pi \cdot 5=10\pi$ рад/с, а не 5 рад/с.

• Вважати, що всі точки диска мають однакову лінійну швидкість. Насправді однакова лише кутова швидкість ω, а лінійна швидкість v = ωr пропорційна відстані до осі. Точка на ободі рухається швидше, ніж точка ближче до центра.

• Вважати, що шківи, з'єднані пасом, мають однакову частоту обертання. Насправді однакова лінійна швидкість ободів, а частота обернено пропорційна радіусу: ν₁/ν₂ = R₂/R₁.

• Підставляти діаметр замість радіуса у формулу v = 2πR/T. Якщо в задачі дано діаметр D, спочатку знайдіть радіус R = D/2.

• Ділити кількість обертів на час у хвилинах і отримувати об/хв замість с⁻¹. Завжди переводьте час у секунди: t (с) = t (хв) · 60.

• Вважати швидкість під час рівномірного руху по колу сталою як вектор. Модуль швидкості сталий, але напрям безперервно змінюється, тому вектор швидкості не є сталим.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 з фізики, які ви матимете під час тесту, є всі необхідні формули: період і частота обертання, лінійна й кутова швидкості руху по колу, а також довжина кола. Ці формули є в розділі «Основи кінематики» довідкових матеріалів.

Програма НМТ з фізики (тема 1.1 «Основи кінематики») включає рівномірний рух по колу, період і частоту, лінійну й кутову швидкості. Вимога програми — розв'язувати задачі на рівномірний рух по колу.

У демоваріанті НМТ-2026 рух по колу (основна тема 1.1) представлено задачею № 18 з короткою відповіддю (оцінюється в 0 або 2 бали). У тій задачі йшлося про доцентрове прискорення під час руху супутника по колу — цю тему ви вивчатимете в наступному уроці. Але для її розв'язання потрібно вміти знаходити лінійну швидкість через період обертання.

Числа в демоваріанті 2026 підібрано так, щоб обчислення можна було виконати без калькулятора. Наприклад, у задачі № 18 використано наближення π² = 10. Стратегія розв'язання: зберігайте π у виразі до кінця й скорочуйте, де можна. Не поспішайте підставляти 3,14 — часто π взаємно скорочується, і відповідь виходить цілим числом.

Порада: у задачах на рух по колу завжди спочатку запишіть формулу в символьному вигляді, підставте числа й лише тоді виконайте обчислення. Це допомагає уникнути помилок з одиницями вимірювання.

• T = t/N, ν = N/t = 1/T — період і частота обертання

• ω = 2π/T = 2πν (рад/с); v = 2πR/T = ωR — кутова й лінійна швидкості

• Лінійна швидкість напрямлена по дотичній до кола

• Точки одного диска: однакова ω, v пропорційна відстані до осі

• Шківи з пасом: однакова v ободів, ω₁R₁ = ω₂R₂