Графіки швидкості і координати рівноприскореного руху

~20 хв · 8 розділів · 9 тестових запитань

Механіка

Фізичні величини, графіки й вимірювання

Фізика НМТ

Увійдіть, щоб приєднатися Переглянути курс

Аналізуй графіки vₓ(t), x(t) і aₓ(t) рівноприскореного руху: визначай прискорення за нахилом, переміщення і шлях за площею під графіком, момент розвороту за перетином осі часу, а також перебудовуй один графік в інший.

Графік vₓ(t): нахил — це прискорення

У рівноприскореному прямолінійному русі проєкція швидкості змінюється лінійно з часом: $v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t$ . Тому графік $v_{x} (t)$ — це завжди похила пряма (або кілька прямолінійних відрізків, якщо прискорення змінюється стрибком). Вісь, на якій відкладають час, називають віссю $t$ , а вісь проєкції швидкості — віссю $v_{x}$ .

Нахил прямої — проєкція прискорення

Кут нахилу прямої $v_{x} (t)$ до осі часу визначає проєкцію прискорення. Чисельно:

$a_{x} = \frac{Δ v _{x}}{Δ t} = \frac{v _{x} ( t _{2} ) - v _{x} ( t _{1} )}{t _{2} - t _{1}}$

Якщо пряма піднімається, то $a_{x} > 0$ ; якщо опускається, то $a_{x} < 0$ . Віддалення графіка від осі $t$ чи наближення до неї показує лише розгін чи гальмування, а не знак $a_{x}$ . Чим крутіша пряма, тим більший модуль прискорення. Точка перетину прямої з віссю $v_{x}$ дає початкову швидкість $v_{0 x}$ .

Характер руху за графіком $v_{x} (t)$

За тим, як змінюється відстань від графіка до осі часу, визначають:

розгін — графік віддаляється від осі $t$ , модуль швидкості $∣ v_{x} ∣$ зростає;
гальмування — графік наближається до осі $t$ , модуль швидкості спадає;
рівномірний рух — графік горизонтальний, $a_{x} = 0$ .

Коли пряма $v_{x} (t)$ перетинає вісь часу, швидкість у цей момент дорівнює нулю. Це момент зупинки й розвороту: одразу після нього проєкція швидкості змінює знак, тобто тіло починає рухатися в протилежному напрямку.

Графік $a_{x} (t)$ за графіком $v_{x} (t)$

Оскільки прискорення стале на кожній ділянці з незмінним нахилом, графік $a_{x} (t)$ складається з горизонтальних відрізків. Висота кожного відрізка дорівнює нахилу відповідної ділянки $v_{x} (t)$ . Якщо $v_{x} (t)$ — одна пряма, то $a_{x} (t)$ — одна горизонтальна лінія.

Два тіла на одному графіку

Коли на одному рисунку зображено графіки $v_{x} (t)$ двох тіл, крутіша пряма відповідає більшому модулю прискорення. Точка перетину цих графіків — момент, коли швидкості тіл однакові. Це не момент зустрічі: для зустрічі потрібно, щоб збігалися координати, а не швидкості.

mermaid

graph TD
    A["Графік v_x(t) — похила пряма"] --> B["Нахил = a_x"]
    A --> C["Перетин з віссю v_x = v_{0x}"]
    A --> D["Перетин з віссю t — момент розвороту"]
    B --> E["a_x > 0: пряма піднімається"]
    B --> F["a_x < 0: пряма опускається"]
    B --> G["a_x = 0: рівномірний рух"]
    D --> H["v_x змінює знак"]

Площа під графіком vₓ(t): переміщення і шлях

Проєкція переміщення $s_{x}$ за проміжок часу $Δ t$ чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком $v_{x} (t)$ і віссю часу. Це випливає з означення: $s_{x} = v_{x сер} Δ t$ , а для рівноприскореного руху середня швидкість дорівнює півсумі початкового й кінцевого значень, що геометрично відповідає площі трапеції або трикутника.

Знак площі: над віссю і під віссю

Площа між графіком $v_{x} (t)$ і віссю часу має знак:

над віссю $t$ (де $v_{x} > 0$ ) — площа додатна, переміщення в додатному напрямку осі $x$ ;
під віссю $t$ (де $v_{x} < 0$ ) — площа від'ємна, переміщення в протилежному напрямку.

Шлях $l$ — це довжина траєкторії, тому він завжди додатний. Шлях дорівнює сумі модулів площ усіх ділянок, а проєкція переміщення — алгебраїчній сумі (додатні площі додають, від'ємні віднімають). Якщо графік перетинає вісь $t$ , шлях більший за модуль переміщення.

Приклад 1: рух без зміни напрямку

Розгляньмо графік $v_{x} (t)$ :

0–4 с: швидкість рівномірно зростає від 0 до 8 м/с;
4–8 с: швидкість стала, 8 м/с;
8–10 с: швидкість рівномірно спадає до 0.

Площі окремих ділянок:

0–4 с: площа трикутника $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$ м;
4–8 с: площа прямокутника $8 \cdot 4 = 32$ м;
8–10 с: площа трикутника $\frac{8 \cdot 2}{2} = 8$ м.

Шлях за 10 с: $16 + 32 + 8 = 56$ м. Оскільки графік увесь час над віссю $t$ , переміщення теж дорівнює 56 м.

Приклад 2: рух із розворотом

Нехай $v_{0 x} = 6$ м/с, $a_{x} = - 2$ м/с². Рівняння швидкості: $v_{x} = 6 - 2 t$ . Графік перетинає вісь $t$ у момент $t = 3$ с — це момент зупинки й розвороту. Розгляньмо проміжок 0–5 с.

0–3 с: $v_{x} > 0$ , площа трикутника $\frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ м (над віссю);
3–5 с: $v_{x} < 0$ , площа трикутника $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м (під віссю).

Шлях: $l = 9 + 4 = 13$ м. Проєкція переміщення: $s_{x} = 9 - 4 = 5$ м. Тіло від'їхало на 9 м уперед, потім повернулося на 4 м назад, тому опинилося на відстані 5 м від початкової точки, але подолало 13 м.

Рендеринг діаграми…

Графік x(t): парабола і її вершина

Рівняння координати для рівноприскореного прямолінійного руху: $x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a _{x} t ^{2}}{2}$ . Це квадратична функція, тому її графік — парабола. За формою параболи можна визначити знак проєкції прискорення, а за нахилом дотичної — миттєву швидкість.

Форма параболи та знак прискорення

Якщо $a_{x} > 0$ , вітки параболи напрямлені вгору. Якщо $a_{x} < 0$ , вітки параболи напрямлені вниз. Точка перетину параболи з віссю $x$ дає початкову координату $x_{0}$ .

Знак $a_{x}$	Форма параболи $x (t)$	Характер руху
$a_{x} > 0$	Вітки вгору	Швидкість зростає (розгін) або спадає до нуля й зростає в протилежному напрямку
$a_{x} < 0$	Вітки вниз	Швидкість спадає (гальмування) або зростає в протилежному напрямку

Вершина параболи — момент зупинки й розвороту

Вершина параболи відповідає моменту, коли миттєва швидкість дорівнює нулю: $v_{x} = 0$ . У цей момент тіло зупиняється й змінює напрямок руху. Час вершини знаходять за формулою:

$t_{верш} = - \frac{v _{0 x}}{a _{x}}$

Якщо тіло починає рух зі стану спокою ( $v_{0 x} = 0$ ), вершина параболи лежить у точці $t = 0$ — це початок руху.

Миттєва швидкість — нахил дотичної

Миттєву швидкість у будь-який момент часу визначають як нахил дотичної до графіка $x (t)$ у цій точці. Чим крутіша дотична, тим більша швидкість. У вершині параболи дотична горизонтальна — це відповідає $v_{x} = 0$ .

Ніколи не плутай значення $x$ у точці зі швидкістю! Швидкість — це нахил дотичної, а не сама координата. Тіло може мати велику координату, але нульову швидкість (наприклад, у вершині параболи).

Зв'язок графіків $x (t)$ і $v_{x} (t)$

Між графіками $x (t)$ і $v_{x} (t)$ існує прямий зв'язок:

$v_{x} (t)$ перетинає вісь $t$ у той самий момент, коли $x (t)$ має вершину;
на ділянці, де $v_{x} > 0$ , координата $x$ зростає (графік $x (t)$ піднімається);
на ділянці, де $v_{x} < 0$ , координата $x$ спадає (графік $x (t)$ опускається).

Прискорення у вершині параболи

Важливий момент: у вершині параболи швидкість дорівнює нулю, але прискорення — ні. Прискорення стале протягом усього руху, тому воно не змінюється в момент зупинки. Саме стале прискорення «змушує» тіло зупинитися й почати рух у протилежному напрямку.

Рендеринг діаграми…

Розбираємо завдання

Приклад 1. Шлях за графіком vₓ(t) без розвороту

Завдання (коротка відповідь). На рисунку зображено графік залежності проєкції швидкості тіла від часу. На ділянці 0–4 с швидкість рівномірно зростає від 0 до 6 м/с, на ділянці 4–8 с швидкість стала й дорівнює 6 м/с, на ділянці 8–10 с швидкість рівномірно спадає до 0. Визнач шлях, який пройшло тіло за перші 10 с руху. Відповідь дай у метрах.

Розв'язання. Розбиваємо графік на три ділянки й обчислюємо площу під кожною:

0–4 с: трикутник з основою 4 с і висотою 6 м/с. Площа: $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ м.
4–8 с: прямокутник зі сторонами 4 с і 6 м/с. Площа: $6 \cdot 4 = 24$ м.
8–10 с: трикутник з основою 2 с і висотою 6 м/с. Площа: $\frac{6 \cdot 2}{2} = 6$ м.

Шлях — це сума площ усіх ділянок, оскільки графік увесь час лежить над віссю часу: $l = 12 + 24 + 6 = 42$ м.

Відповідь: 42.

Приклад 2. Момент розвороту й прискорення за графіком vₓ(t)

Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Графік $v_{x} (t)$ — пряма лінія, яка при $t = 0$ проходить через точку 10 м/с, а при $t = 4$ с — через точку -10 м/с. Визнач момент розвороту тіла (у секундах) і проєкцію прискорення (у м/с²).

Розв'язання. Момент розвороту — це момент, коли $v_{x} = 0$ . Оскільки графік лінійний, нульове значення припадає на середину проміжку: $t_{розв} = 2$ с. Проєкцію прискорення знаходимо як нахил прямої:

$a_{x} = \frac{Δ v _{x}}{Δ t} = \frac{- 10 - 10}{4 - 0} = \frac{- 20}{4} = - 5$ м/с².

Відповідь: 2 с і -5 м/с².

Чому інші варіанти неправильні:

4 с і -5 м/с² — момент розвороту не 4 с, бо в цей момент $v_{x} = - 10$ м/с, а не 0.
2 с і 5 м/с² — знак прискорення неправильний: швидкість спадає від 10 до -10, тому $a_{x} < 0$ .
2 с і -2,5 м/с² — нахил обчислено неправильно: $Δ v_{x} = - 20$ м/с, а не -10 м/с.

Приклад 3. Аналіз графіка x(t) — параболи

Завдання (вибір однієї відповіді з чотирьох). Графік $x (t)$ — парабола з вершиною в точці (3 с; 9 м), вітки напрямлені вниз. Що відбувається з тілом у момент $t = 3$ с?

Розв'язання. Вершина параболи $x (t)$ відповідає моменту, коли миттєва швидкість дорівнює нулю. Оскільки вітки параболи напрямлені вниз ( $a_{x} < 0$ ), до вершини координата зростала (тіло рухалося в додатному напрямку), а після вершини спадає (тіло рухається в протилежному напрямку). Отже, у момент $t = 3$ с тіло зупиняється й починає рух у протилежному напрямку.

Чому інші варіанти неправильні:

«Тіло має найбільшу швидкість» — навпаки, у вершині швидкість дорівнює нулю, дотична горизонтальна.
«Прискорення дорівнює нулю» — прискорення стале й не дорівнює нулю, саме воно «примушує» тіло зупинитися.
«Тіло проходить початок координат» — вершина має координату 9 м, а не 0.

Приклад 4. Шлях і переміщення за графіком vₓ(t) з розворотом

Завдання (коротка відповідь). Графік $v_{x} (t)$ — пряма лінія, яка при $t = 0$ проходить через точку 4 м/с, а при $t = 4$ с — через точку -4 м/с. Визнач шлях, який пройшло тіло за 4 с. Відповідь дай у метрах.

Розв'язання. Графік перетинає вісь часу в момент $t = 2$ с — це момент розвороту. Розбиваємо на дві ділянки:

0–2 с: $v_{x} > 0$ , площа трикутника $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м (над віссю).
2–4 с: $v_{x} < 0$ , площа трикутника $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ м (під віссю).

Шлях — сума модулів площ: $l = 4 + 4 = 8$ м. Проєкція переміщення — алгебраїчна сума: $s_{x} = 4 - 4 = 0$ м. Тіло повернулося в початкову точку, подолавши 8 м.

Відповідь: 8.

Типові помилки й пастки

Шукати швидкість за значенням x(t) у точці замість нахилу дотичної. На графіку $x (t)$ миттєва швидкість — це нахил дотичної до кривої в цій точці, а не сама координата $x$ . Наприклад, у вершині параболи $x$ може бути великим, а $v_{x} = 0$ .
Вважати перетин графіків vₓ(t) двох тіл моментом їхньої зустрічі. Перетин графіків $v_{x} (t)$ показує лише момент, коли швидкості тіл однакові. Для зустрічі потрібно, щоб збігалися координати $x (t)$ , а це зовсім інша умова.
Віднімати площу під віссю часу, коли шукають шлях. Шлях — це сума модулів площ усіх ділянок. Якщо графік перетинає вісь $t$ , віднімання площі дасть переміщення, а не шлях. Приклад: за графіком від 4 до -4 м/с за 4 с шлях 8 м, а переміщення 0 м.
Брати значення vₓ у точці за прискорення, плутаючи висоту точки з нахилом. Прискорення — це нахил прямої $v_{x} (t)$ , тобто $Δ v_{x} /Δ t$ , а не саме значення $v_{x}$ в окремій точці.
Вважати, що у вершині параболи x(t) прискорення дорівнює нулю. У вершині $v_{x} = 0$ , але прискорення $a_{x}$ стале й не змінюється. Саме воно спричиняє зупинку й подальший розворот.
Не звертати уваги на одиниці й множники на осях (с і хв, м і км). Завжди перевіряй, у яких одиницях подано час і швидкість. Якщо вісь $t$ у хвилинах, а $v_{x}$ у км/год, площу треба перераховувати в метри або кілометри.

Як це перевіряють на НМТ

Програма НМТ з фізики (тема 1.1 «Основи кінематики») вимагає аналізувати графіки залежності кінематичних величин від часу в рівномірному й рівноприскореному рухах, визначати за ними параметри руху й будувати графік однієї величини за графіком іншої.

У довідкових матеріалах НМТ-2026 наведено формули рівноприскореного руху: $v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t$ , $x = x_{0} + v_{0 x} t + a_{x} t^{2} /2$ , $v_{x}^{2} - v_{0 x}^{2} = 2 a_{x} s_{x}$ . Однак графічні прийоми — нахил, площа під графіком, вершина параболи — треба знати самостійно, вони в довіднику не пояснюються.

Формати завдань на НМТ, де перевіряють цю тему:

Завдання з вибором однієї відповіді з чотирьох (№ 1–14) — графічне завдання, де треба визначити прискорення, момент розвороту, характер руху або вибрати правильний графік. Оцінюється в 1 бал.
Завдання з короткою відповіддю (№ 17–22) — обчислення шляху або переміщення за графіком $v_{x} (t)$ . Оцінюється в 0 або 2 бали.

Стратегія виконання

Щоб успішно розв'язати графічне завдання на НМТ, дотримуйся такого алгоритму:

Прочитай осі й одиниці вимірювання. Переконайся, що вісь часу в секундах (с), а вісь швидкості в метрах на секунду (м/с). Якщо одиниці інші (хв, км/год), переведи їх у СІ.
Розбий графік на ділянки. Знайди межі, де змінюється нахил або де графік перетинає вісь часу. Кожна ділянка з постійним нахилом — окрема зона для обчислень.
Обчисли площу кожної ділянки. Для прямокутника — добуток сторін, для трикутника — половина добутка основи на висоту, для трапеції — півсума основ на висоту.
Визнач, що питають: шлях чи переміщення. Шлях — сума модулів площ, переміщення — алгебраїчна сума (площі над віссю додатні, під віссю від'ємні).

Питання й відповіді

Як за графіком vₓ(t) відрізнити шлях від переміщення?

Шлях — це сума модулів площ усіх ділянок між графіком $v_{x} (t)$ і віссю часу. Переміщення — це алгебраїчна сума тих самих площ: площі над віссю $t$ беруть зі знаком «+», а площі під віссю $t$ — зі знаком «−». Якщо графік увесь час лежить над віссю $t$ , шлях і модуль переміщення збігаються. Якщо графік перетинає вісь $t$ , шлях більший за модуль переміщення.

Чому у вершині параболи x(t) швидкість нульова, а прискорення — ні?

Швидкість — це похідна координати за часом. У вершині параболи дотична горизонтальна, тому $v_{x} = 0$ . Але прискорення — це похідна швидкості за часом, тобто друга похідна координати. Для квадратичної функції $x = x_{0} + v_{0 x} t + a_{x} t^{2} /2$ друга похідна дорівнює $a_{x}$ і є сталою величиною. Отже, прискорення не змінюється в момент зупинки — саме воно «примушує» тіло спочатку сповільнитися до нуля, а потім розігнатися в протилежному напрямку.

Що означає точка перетину графіків швидкості двох тіл?

Перетин графіків $v_{x} (t)$ двох тіл означає, що в цей момент часу їхні швидкості однакові. Це не означає, що тіла зустрілися: для зустрічі потрібно, щоб збігалися їхні координати $x (t)$ . Тіла можуть мати однакову швидкість, але перебувати в різних точках простору. Щоб визначити момент зустрічі, треба аналізувати графіки $x (t)$ або розв'язувати рівняння $x_{1} (t) = x_{2} (t)$ .

Як за графіком x(t) зрозуміти, розганяється тіло чи гальмує?

За графіком $x (t)$ безпосередньо видно лише знак швидкості (зростання $x$ — $v_{x} > 0$ , спадання $x$ — $v_{x} < 0$ ) і знак прискорення (вітки параболи вгору — $a_{x} > 0$ , вітки вниз — $a_{x} < 0$ ). Щоб визначити, розганяється тіло чи гальмує, треба порівняти знаки $v_{x}$ і $a_{x}$ : якщо знаки однакові — модуль швидкості зростає (розгін); якщо різні — модуль швидкості спадає (гальмування). Наприклад, парабола з вітками вниз ( $a_{x} < 0$ ) на ділянці, де $x$ зростає ( $v_{x} > 0$ ), означає гальмування.

Як побудувати графік aₓ(t), маючи графік vₓ(t)?

Графік $a_{x} (t)$ будують за нахилом графіка $v_{x} (t)$ . Для кожної прямолінійної ділянки $v_{x} (t)$ обчислюють нахил $a_{x} = Δ v_{x} /Δ t$ . Це значення буде сталим на всій ділянці. На графіку $a_{x} (t)$ цій ділянці відповідає горизонтальний відрізок на висоті $a_{x}$ . Якщо $v_{x} (t)$ складається з кількох прямолінійних відрізків з різними нахилами, то $a_{x} (t)$ матиме кілька горизонтальних відрізків різної висоти. Якщо $v_{x} (t)$ — одна похила пряма, то $a_{x} (t)$ — одна горизонтальна лінія.

Коротко: головне

$v_{x} (t)$ — пряма: нахил = $a_{x}$ , площа під графіком = проєкція переміщення.
Шлях — сума модулів площ, переміщення — алгебраїчна сума площ (над віссю «+», під віссю «−»).
Перетин $v_{x} (t)$ з віссю $t$ — момент зупинки й розвороту (швидкість змінює знак).
$x (t)$ — парабола: вітки вгору при $a_{x} > 0$ , вітки вниз при $a_{x} < 0$ ; вершина — зупинка й розворот.
Швидкість за графіком $x (t)$ — нахил дотичної, а не значення $x$ у точці.
$a_{x} (t)$ — горизонтальні відрізки на рівні нахилу кожної ділянки $v_{x} (t)$ .

Графіки швидкості і координати рівноприскореного руху

Графіки швидкості і координати рівноприскореного руху

Графік vₓ(t): нахил — це прискорення

Нахил прямої — проєкція прискорення

Характер руху за графіком $v_{x} (t)$

Графік $a_{x} (t)$ за графіком $v_{x} (t)$

Два тіла на одному графіку

Площа під графіком vₓ(t): переміщення і шлях

Знак площі: над віссю і під віссю

Приклад 1: рух без зміни напрямку

Приклад 2: рух із розворотом

Графік x(t): парабола і її вершина

Форма параболи та знак прискорення

Вершина параболи — момент зупинки й розвороту

Миттєва швидкість — нахил дотичної

Зв'язок графіків $x (t)$ і $v_{x} (t)$

Прискорення у вершині параболи

Розбираємо завдання

Приклад 1. Шлях за графіком vₓ(t) без розвороту

Приклад 2. Момент розвороту й прискорення за графіком vₓ(t)

Приклад 3. Аналіз графіка x(t) — параболи

Приклад 4. Шлях і переміщення за графіком vₓ(t) з розворотом

Типові помилки й пастки

Як це перевіряють на НМТ

Стратегія виконання

Питання й відповіді

Коротко: головне

Підготовка до НМТ 2027: Фізика — повний курс

НМТ 2027: 3 обов’язкові + фізика

Графік vₓ(t): нахил — це прискорення

Нахил прямої — проєкція прискорення

Характер руху за графіком vx​(t)

Графік ax​(t) за графіком vx​(t)

Два тіла на одному графіку

Площа під графіком vₓ(t): переміщення і шлях

Знак площі: над віссю і під віссю

Приклад 1: рух без зміни напрямку

Приклад 2: рух із розворотом

Графік x(t): парабола і її вершина

Форма параболи та знак прискорення

Вершина параболи — момент зупинки й розвороту

Миттєва швидкість — нахил дотичної

Зв'язок графіків x(t) і vx​(t)

Прискорення у вершині параболи

Розбираємо завдання

Приклад 1. Шлях за графіком vₓ(t) без розвороту

Приклад 2. Момент розвороту й прискорення за графіком vₓ(t)

Приклад 3. Аналіз графіка x(t) — параболи

Приклад 4. Шлях і переміщення за графіком vₓ(t) з розворотом

Типові помилки й пастки

Як це перевіряють на НМТ

Стратегія виконання

Питання й відповіді

Коротко: головне

Входить до цих кар’єрних траєкторій

Підготовка до НМТ 2027: Фізика — повний курс

НМТ 2027: 3 обов’язкові + фізика

Характер руху за графіком $v_{x} (t)$

Графік $a_{x} (t)$ за графіком $v_{x} (t)$

Зв'язок графіків $x (t)$ і $v_{x} (t)$