Площа трикутника: формули й вибір потрібної

Основа всіх формул площі трикутника — це добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони, поділений навпіл. Запам’ятай: висоту беруть саме ту, що проведена до обраної сторони, а не будь-яку.

Формула: $$S=\frac{a\cdot h_a}{2}$$, де $a$ — довжина сторони, $h_a$ — висота, проведена до цієї сторони.

Висота поза трикутником

У тупокутному трикутнику висота, опущена з вершини гострого кута на сторону при тупому куті, падає не на саму сторону, а на її продовження. Це не змінює формулу: береш довжину сторони (а не її частини) і довжину висоти, проведеної до прямої, що містить цю сторону. На рисунку таку висоту й продовження сторони зручно позначати пунктиром.

Прямокутний трикутник

У прямокутному трикутнику катети є висотами один до одного. Тому площа дорівнює половині добутку катетів: $$S=\frac{ab}{2}$$. Це окремий випадок формули $S=a\cdot h/2$.

Висоту, проведену до гіпотенузи, знаходять через площу. Якщо катети $a=6$ і $b=8$, то площа $S=6\cdot 8/2=24$. Гіпотенуза за теоремою Піфагора: $c=\sqrt{6^2+8^2}=10$. З формули $S=c\cdot h_c/2$ отримуємо $h_c=2S/c=48/10=4,8$. Отже, висота до гіпотенузи дорівнює $ab/c$.

Висота за площею

Якщо відома площа трикутника й сторона, висоту до цієї сторони знаходять так: $$h_a=\frac{2S}{a}$$. Наприклад, площа трикутника дорівнює $84$, а сторона — $14$. Тоді висота до цієї сторони $h=2\cdot 84/14=12$.

Найменша висота трикутника проведена до найбільшої сторони, адже вона обернено пропорційна стороні. Отже, якщо треба знайти найменшу висоту — діли $2S$ на найбільшу сторону.

Трикутники зі спільною висотою

Якщо два трикутники мають спільну висоту (або рівні висоти), їхні площі відносяться як основи, до яких проведено цю висоту. Цю властивість часто використовують у задачах з медіаною — вона ділить трикутник на два рівновеликі.

Коли відомі дві сторони трикутника й кут між ними, площу обчислюють за формулою: $$S=\frac{ab\sin C}{2}$$, де $a$ і $b$ — довжини сторін, а $C$ — кут саме між ними. Ця формула є в довідкових матеріалах НМТ.

Важливо: кут $C$ обов'язково має лежати між сторонами $a$ і $b$. Якщо дано кут при вершині, що не є кутом між заданими сторонами, спочатку треба знайти потрібний кут (через суму кутів трикутника або теорему синусів).

Обчислення для стандартних кутів

Розгляньмо кілька прикладів:

• Сторони $a=6$, $b=10$, кут між ними $30^{\circ }$. $\sin 30^{\circ }=1/2$, тому $S=6\cdot 10\cdot 1/2/2=15$.

• Ті самі сторони, але кут $150^{\circ }$. $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=1/2$, отже площа теж $15$. Це тому, що синуси доповняльних до $180^{\circ }$ кутів рівні.

• Рівні сторони $a=b=4$, кут між ними $60^{\circ }$. $\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}/2$, тому $S=4\cdot 4\cdot \sqrt{3}/2/2=4\sqrt{3}$.

Окремі випадки

Для рівностороннього трикутника зі стороною $a$ всі кути по $60^{\circ }$. Підставивши у формулу $S=a\cdot a\cdot \sin 60^{\circ }/2$, отримуємо: $$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Цієї формули в довідці НМТ немає: її виводять із формули площі через дві сторони й кут між ними.

За двох фіксованих сторін площа трикутника найбільша, коли кут між ними прямий, адже $\sin 90^{\circ }=1$ — це найбільше значення синуса. Наприклад, зі сторонами $6$ і $10$ найбільша можлива площа $6\cdot 10/2=30$.

Коли відомі всі три сторони трикутника, але невідома жодна висота й жоден кут, на допомогу приходить формула Герона. Вона дозволяє знайти площу лише за трьома сторонами.

Спочатку обчислюють півпериметр: $$p=\frac{a+b+c}{2}$$. Потім площу: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$. Обидві формули є в довідкових матеріалах НМТ.

Класичний приклад: сторони 13, 14, 15

Обчислимо півпериметр: $p=(13+14+15)/2=21$. Тепер підставимо у формулу: $$S=\sqrt{21\cdot (21-13)\cdot (21-14)\cdot (21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}$$.

Розкладемо на прості множники: $21=3\cdot 7$, $8=2^3$, $7=7$, $6=2\cdot 3$. Добуток: $3\cdot 7\cdot 2^3\cdot 7\cdot 2\cdot 3=2^4\cdot 3^2\cdot 7^2$. Тоді $\sqrt{2^4\cdot 3^2\cdot 7^2}=2^2\cdot 3\cdot 7=4\cdot 3\cdot 7=84$. Отже, $S=84$.

Порада: не поспішай множити всі числа докупи — розклади на прості множники, згрупуй квадрати й лише тоді добувай корінь.

Приклад: рівнобедрений трикутник 5, 5, 6

Півпериметр: $p=(5+5+6)/2=8$. Площа: $$S=\sqrt{8\cdot (8-5)\cdot (8-5)\cdot (8-6)}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{144}=12$$.

Перевірмо іншим способом: у рівнобедреному трикутнику з основою $6$ і бічними сторонами $5$ висота до основи $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (за теоремою Піфагора). Тоді $S=6\cdot 4/2=12$. Результат збігається — це добра самоперевірка.

Вибір формули залежить від того, які елементи трикутника відомі. Найзручніше звести це в таблицю.

Складніший випадок: дві сторони й кут не між ними

Якщо дано дві сторони й кут, що не лежить між ними, то формулу $ab\sin C/2$ застосувати не можна. Спершу за теоремою синусів знайди кут, протилежний другій відомій стороні, потім через суму кутів трикутника ($180^{\circ }$) — кут між відомими сторонами, а тоді застосуй $S=ab\sin C/2$. Інший шлях — знайти третю сторону за теоремою косинусів (з квадратного рівняння) і скористатися формулою Герона.

Інші формули

Існують також формули площі через радіуси вписаного й описаного кіл: $S=p\cdot r$ і $S=abc/(4R)$. Їх розглядають в окремому юніті «Вписане й описане кола трикутника».

Практичні задачі

У реальному житті формули площі трикутника застосовують, наприклад, для обчислення площі трикутної земельної ділянки: знаючи довжини двох меж і кут між ними, використовують $S=ab\sin C/2$. Або для розрахунку фарби на трикутний фронтон даху: вимірюють основу й висоту — беруть $S=a\cdot h/2$.

Приклад 1. Площа за трьома сторонами

Умова: Знайдіть площу трикутника зі сторонами 13, 14 і 15.

Розв'язання: Відомі три сторони — застосовуємо формулу Герона. Півпериметр: $p=(13+14+15)/2=21$. Тоді $S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$.

Відповідь: 84.

Поширені пастки:

• 42 — це периметр трикутника, а не площа.

• 7056 — не добули квадратний корінь.

Приклад 2. Дві сторони й кут 150°

Умова: Дві сторони трикутника дорівнюють 8 і 12, кут між ними 150°. Знайдіть площу трикутника.

Розв'язання: Застосовуємо формулу $S=ab\sin C/2$. $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }=1/2$. Отже $S=8\cdot 12\cdot 1/2/2=48/2=24$.

Відповідь: 24.

Чому інші варіанти неправильні:

• 48 — забули поділити на 2.

• 24√3 — узяли cos 30° замість sin 150°.

• 48√3 — і cos 30°, і не поділили на 2.

• 96 — узяли добуток сторін без синуса й без ділення.

Приклад 3. Відповідність: трикутник — площа

Умова: Установіть відповідність між трикутником (1–3) і його площею (А–Д).

Розв'язання: 1) Прямокутний трикутник: $S=5\cdot 12/2=30$ (Г). 2) $S=6\cdot 8\cdot 1/2/2=12$ (А). 3) $S=10\cdot 3/2=15$ (Б).

Відповідь: 1–Г, 2–А, 3–Б.

Приклад 4. Найменша висота

Умова: Сторони трикутника дорівнюють 10, 17 і 21. Знайдіть найменшу з його висот.

Розв'язання: Спочатку знайдемо площу за формулою Герона. $p=(10+17+21)/2=24$. $S=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84$. Найменша висота проведена до найбільшої сторони (21): $h=2S/21=168/21=8$.

Відповідь: 8.

Поширена пастка: 16,8 — поділили 2S на найменшу сторону (10) замість найбільшої.

Приклад 5. Висота до гіпотенузи

Умова: Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9 і 12. Знайдіть висоту, проведену до гіпотенузи.

Розв'язання: Площа $S=9\cdot 12/2=54$. Гіпотенуза $c=\sqrt{9^2+12^2}=15$. Висота $h_c=2S/c=108/15=7,2$. Або коротше: $h_c=ab/c=9\cdot 12/15=7,2$.

Відповідь: 7,2.

Чому дистрактори неправильні:

• 10,8 — обчислили 9·12/10.

• 7,5 — половина гіпотенузи.

• 6 — площу 54 поділили на катет 9, а треба подвоєну площу поділити на гіпотенузу.

• 54 — площа, не висота.

• Беруть висоту, проведену не до тієї сторони, яку множать. Пам'ятай: у формулі $S=a\cdot h/2$ висота $h$ має бути проведена саме до сторони $a$, а не до іншої.

• Забувають множник $1/2$ у формулах $a\cdot h/2$ і $ab\sin C/2$. Без ділення на 2 ти знаходиш площу паралелограма, а не трикутника.

• У формулі $ab\sin C/2$ беруть кут, що не лежить між сторонами $a$ і $b$. Якщо дано кут при вершині, яка не утворена цими сторонами, спершу знайди потрібний кут.

• У формулі Герона беруть периметр замість півпериметра. Периметр — це $a+b+c$, а $p$ — це його половина. Плутанина дає величезне число під коренем.

• Рахують площу прямокутного трикутника як половину добутку катета й гіпотенузи. Правильно: половина добутку катетів, адже катети взаємно перпендикулярні.

• Шукаючи найменшу висоту, ділять подвоєну площу на найменшу сторону. Найменша висота проведена до найбільшої сторони, тому ділити треба на найбільшу сторону.

Формули площі трикутника належать до теми 5.6 «Геометричні величини та вимірювання їх» програми рівня стандарту.

У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, подано півпериметр ($p$) і три формули площі довільного трикутника: через сторону й висоту, через дві сторони й синус кута між ними, формула Герона. Твоє завдання — обрати потрібну формулу залежно від того, які елементи трикутника відомі в умові.

У завданні 10 демоваріанта НМТ-2026 перевіряли властивості медіани трикутника (твердження І–ІІІ, вибір однієї відповіді з п'яти, 1 бал). У карті демоваріанта це завдання віднесено до тем 5.3 та 5.6 — отже, площа трикутника може поєднуватись з іншими темами планіметрії.

У цьому юніті ти зустрінеш три форми завдань:

• Вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, 1 бал).

• Відповідність 1–3 → А–Д (завдання 16–18, до 3 балів).

• Коротка відповідь — число (завдання 19–22, 0 або 2 бали, лише десятковий дріб, наприклад 7,2).

• $S=a\cdot h/2$ — висота має бути проведена саме до тієї сторони, яку множиш.

• $S=ab\sin C/2$ — кут $C$ лежить між сторонами $a$ і $b$.

• Формула Герона $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ з півпериметром $p$ — для трьох відомих сторін.

• Прямокутний трикутник: $S=ab/2$, висота до гіпотенузи $h_c=ab/c$.

• Висота за площею: $h=2S/a$; найменша висота — до найбільшої сторони.