Перший закон термодинаміки та ізопроцеси

Перший закон термодинаміки — це закон збереження енергії, записаний для теплових процесів. Він пов'язує три величини: кількість теплоти Q, зміну внутрішньої енергії ΔU і роботу газу A. У довідкових матеріалах НМТ і в цьому курсі закон має вигляд:

$$Q=\Delta U+A$$

Словесне формулювання: кількість теплоти, передана газу, витрачається на зміну його внутрішньої енергії та на виконання газом роботи проти зовнішніх сил.

Правило знаків

Знаки величин у рівнянні визначають напрямок процесу:

• Q > 0 — газ отримує теплоту (нагрівається ззовні); Q < 0 — газ віддає теплоту (охолоджується, віддає енергію назовні).

• A > 0 — газ виконує роботу (розширюється, долаючи зовнішній тиск); A < 0 — над газом виконують роботу (газ стискають зовнішні сили).

• ΔU > 0 — внутрішня енергія газу зростає (температура підвищується); ΔU < 0 — внутрішня енергія зменшується (температура знижується).

Зверни увагу: у деяких підручниках використовують роботу зовнішніх сил A′ = −A. Тоді закон набуває форми ΔU = Q + A′. Обидві форми правильні, але на НМТ і в офіційній довідці застосовують саме Q = ΔU + A, де A — робота газу. Користуйся цією формою під час тесту.

Вічний двигун першого роду

Перший закон термодинаміки прямо забороняє існування вічного двигуна першого роду — пристрою, який виконував би роботу без жодних затрат енергії. Якщо Q = 0, то A = −ΔU, тобто газ може виконувати роботу лише за рахунок зменшення своєї внутрішньої енергії, а вона скінченна. Щоб двигун працював необмежено довго, потрібен постійний приплив теплоти ззовні.

Приклад застосування

Нехай газу передали 500 Дж теплоти, і він виконав роботу 200 Дж. Тоді зміна внутрішньої енергії:

$$\Delta U=Q-A=500\text{Дж}-200\text{Дж}=300\text{Дж}$$

Внутрішня енергія зросла на 300 Дж, отже, газ нагрівся.

Ізопроцеси — це процеси, у яких один із макропараметрів газу (об'єм V, тиск p або температура T) залишається сталим. Для кожного з них перший закон термодинаміки набуває характерного спрощення.

Ізохорний процес (V = const)

Якщо об'єм газу не змінюється, то газ не виконує роботи: A = 0. Тоді перший закон спрощується до Q = ΔU. Уся теплота, передана газу, йде виключно на збільшення його внутрішньої енергії (нагрівання). Для одноатомного ідеального газу:

$$Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$$

Якщо газ охолоджують (Q < 0), то його внутрішня енергія зменшується на ту саму величину.

Ізотермічний процес (T = const)

За незмінної температури внутрішня енергія ідеального газу не змінюється: ΔU = 0. Перший закон набуває вигляду Q = A. Уся теплота, отримана газом, повністю перетворюється на роботу розширення. Навпаки, під час ізотермічного стиснення газ виконує від'ємну роботу (A < 0): робота зовнішніх сил A′ = −A > 0 перетворюється на теплоту, яку газ віддає назовні (Q < 0).

Ізобарний процес (p = const)

За сталого тиску газ виконує роботу A = pΔV. Перший закон записується як:

$$Q=\Delta U+p\Delta V$$

Для одноатомного ідеального газу ΔU = (3/2)νRΔT, а pΔV = νRΔT (з рівняння Клапейрона-Менделєєва). Отже:

$$Q=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\nu R\Delta T=\frac{5}{2}\nu R\Delta T$$

Звідси можна знайти, яка частка теплоти йде на роботу, а яка — на зміну внутрішньої енергії:

Це означає, що в ізобарному процесі лише 40 % отриманої теплоти перетворюється на роботу, а 60 % витрачається на нагрівання газу.

Числовий приклад

Візьмемо 2 моль одноатомного газу, який нагрівають ізобарно на 100 К. Стала R = 8,31 Дж/(моль·К). Обчислимо:

• ΔU = (3/2) · 2 · 8,31 · 100 = 2493 Дж

• A = pΔV = νRΔT = 2 · 8,31 · 100 = 1662 Дж

• Q = ΔU + A = 2493 + 1662 = 4155 Дж

Перевірка часток: A/Q = 1662/4155 = 0,4 = 40 %, ΔU/Q = 2493/4155 = 0,6 = 60 %.

Адіабатний процес — це процес, що відбувається без теплообміну газу з навколишнім середовищем. Це означає, що Q = 0, і перший закон термодинаміки набуває вигляду:

$$A=-\Delta U$$

Газ виконує роботу виключно за рахунок своєї внутрішньої енергії. Якщо газ розширюється (A > 0), то ΔU < 0 — внутрішня енергія зменшується, і газ охолоджується. Якщо газ стискають (A < 0), то ΔU > 0 — внутрішня енергія зростає, і газ нагрівається.

Коли процес близький до адіабатного

У реальності ідеальної теплоізоляції не буває, але процес можна вважати адіабатним, якщо він відбувається дуже швидко або посудина добре теплоізольована. Ось кілька прикладів:

• Різке стискання повітря в насосі для накачування шин — корпус насоса помітно нагрівається.

• У циліндрі дизельного двигуна повітря стискається настільки швидко й сильно, що його температура зростає до запалювання пального — ніякої свічки запалювання не потрібно.

• Розширення газу з балона — балон і вихідний отвір стають холодними (ефект «холоду» від газового балона).

Адіабата на графіку p(V)

На діаграмі p–V адіабата (лінія адіабатного процесу) завжди йде крутіше за ізотерму. Чому? Під час адіабатного розширення тиск падає з двох причин: по-перше, через збільшення об'єму (як у будь-якому процесі), а по-друге, через охолодження газу (температура знижується, а отже, тиск падає додатково). Тому за однакової зміни об'єму тиск в адіабатному процесі змінюється сильніше, ніж в ізотермічному.

Числовий приклад

Газ адіабатно виконав роботу 300 Дж. Оскільки Q = 0, то A = −ΔU, отже ΔU = −300 Дж. Внутрішня енергія газу зменшилась на 300 Дж, тому температура газу знизилась.

Графік залежності тиску від об'єму p(V) дає змогу визначити знаки всіх трьох величин — A, ΔU і Q — для кожної ділянки процесу, не виконуючи обчислень. Це ключова навичка для завдань НМТ.

Алгоритм аналізу ділянки графіка

1. Знак A визначають за зміною об'єму V: якщо V зростає (графік іде вправо), то A > 0 — газ виконує роботу; якщо V зменшується (графік іде вліво), то A < 0 — над газом виконують роботу; якщо V не змінюється (вертикальна лінія), то A = 0.

2. Знак ΔU визначають за зміною температури T, а T пропорційна добутку pV (з рівняння Клапейрона-Менделєєва pV = νRT). Якщо добуток pV у кінці ділянки більший, ніж на початку, то ΔU > 0; якщо менший — ΔU < 0; якщо однаковий (ізотерма) — ΔU = 0.

3. Знак Q знаходять за першим законом: Q = ΔU + A. Додають знаки ΔU і A (з урахуванням числових значень, але для якісного аналізу достатньо знаків).

Типові ділянки та їхні знаки

Зверни увагу: на ізотермі добуток pV не змінюється, тому ΔU = 0. На адіабаті Q = 0, тому A = −ΔU, і графік іде крутіше за ізотерму.

Формат «логічні пари» на НМТ

У завданнях типу «логічні пари» до кожного процесу на графіку p(V) потрібно підібрати правильне співвідношення між Q, ΔU і A. Наприклад:

• ізохорний процес → A = 0 (або Q = ΔU)

• ізотермічний процес → ΔU = 0 (або Q = A)

• адіабатний процес → Q = 0 (або A = −ΔU)

• ізобарний процес → Q = ΔU + pΔV

Склади для себе зведену таблицю «процес — що стале — A, ΔU, Q» — це допоможе швидко орієнтуватися під час тесту.

Розгляньмо типові завдання НМТ на перший закон термодинаміки та ізопроцеси.

Приклад 1. Обчислення зміни внутрішньої енергії

Газу передали 500 Дж теплоти. Водночас газ виконав роботу 200 Дж. На скільки джоулів змінилась його внутрішня енергія?

Розв'язання. За першим законом термодинаміки Q = ΔU + A. Звідси ΔU = Q − A. Підставляємо значення: ΔU = 500 Дж − 200 Дж = 300 Дж. Внутрішня енергія зросла на 300 Дж.

Відповідь: 300.

Типова помилка: плутають знаки й обчислюють ΔU = Q + A = 700 Дж, забуваючи, що робота газу зменшує внутрішню енергію.

Приклад 2. Ізобарний процес для одноатомного газу

Одноатомний ідеальний газ в ізобарному процесі виконав роботу 200 Дж. Яку кількість теплоти (у Дж) отримав газ?

Розв'язання. Для одноатомного газу в ізобарному процесі Q = (5/2)νRΔT, а A = νRΔT. Отже, Q = (5/2)·A. Підставляємо: Q = (5/2) · 200 Дж = 500 Дж.

Відповідь: 500.

Типова помилка: вважають, що Q = A (як в ізотермічному процесі), і дають відповідь 200 Дж. Насправді в ізобарному процесі частина теплоти йде на збільшення внутрішньої енергії.

Приклад 3. Температура під час адіабатного стиснення

Як змінюється температура ідеального газу під час адіабатного стиснення?

• А) не змінюється

• Б) зростає

• В) зменшується

• Г) спочатку зростає, потім зменшується

Розв'язання. Адіабатний процес відбувається без теплообміну: Q = 0. За першим законом A = −ΔU. Під час стиснення над газом виконують роботу (A < 0), тому ΔU > 0 — внутрішня енергія зростає, а отже, температура зростає.

Ключ: Б) зростає.

Чому інші варіанти неправильні: А) «не змінюється» — це ізотермічний процес, а не адіабатний; В) «зменшується» — це було б під час адіабатного розширення, а не стиснення; Г) «спочатку зростає, потім зменшується» — немає фізичних підстав.

Приклад 4. Знаки A, ΔU і Q за графіком p(V)

На діаграмі p(V) зображено ділянку, на якій об'єм V зростає, а тиск p залишається сталим. Які знаки A, ΔU і Q на цій ділянці?

• А) A > 0, ΔU < 0, Q > 0

• Б) A > 0, ΔU > 0, Q > 0

• В) A < 0, ΔU > 0, Q < 0

• Г) A > 0, ΔU = 0, Q > 0

Розв'язання. V зростає → A > 0 (газ виконує роботу). p = const, V зростає → за рівнянням pV = νRT температура T зростає, отже ΔU > 0. За першим законом Q = ΔU + A > 0.

Ключ: Б) A > 0, ΔU > 0, Q > 0.

Чому інші варіанти неправильні: А) ΔU < 0 — помилка, бо T зростає; В) A < 0 — помилка, бо V зростає; Г) ΔU = 0 — це було б для ізотерми, а тут p = const і V зростає, тому T зростає.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на перший закон термодинаміки.

• Плутати знаки Q, ΔU і A під час стиснення й охолодження. Запам'ятай: коли газ стискають (V зменшується), A < 0 — це робота зовнішніх сил над газом. Коли газ охолоджується (T знижується), ΔU < 0. Якщо газ віддає теплоту, Q < 0. Не плутай ці три різні процеси.

• Підставляти роботу зовнішніх сил A′ = −A замість роботи газу. У довідці НМТ закон записано як Q = ΔU + A, де A — робота газу. Якщо ти звик до форми ΔU = Q + A′, обов'язково перевіряй, яку саме величину використовуєш. На НМТ — тільки робота газу A.

• Вважати, що в ізотермічному процесі газ не обмінюється теплотою. Це помилка! За ΔU = 0 маємо Q = A ≠ 0. В ізотермічному розширенні газ отримує теплоту (Q > 0) і перетворює її на роботу. В ізотермічному стисненні газ віддає теплоту (Q < 0).

• Вважати адіабатний процес ізотермічним, бо «теплообміну немає». В адіабатному процесі Q = 0, але температура змінюється (на відміну від ізотерми). Розширення охолоджує газ, стиснення нагріває. Ізотерма — це T = const, адіабата — Q = 0.

• Забувати, що в ізобарному процесі не вся теплота йде на роботу. Для одноатомного газу лише 40 % теплоти перетворюється на роботу, а 60 % витрачається на збільшення внутрішньої енергії. Не плутай з ізотермічним процесом, де Q = A.

Перший закон термодинаміки та ізопроцеси — одна з ключових тем розділу «Молекулярна фізика і термодинаміка» в програмі НМТ (тема 2.2). Розберімося, як саме цю тему перевіряють на тестуванні.

Довідкові матеріали НМТ

У довідкових матеріалах, які ти отримаєш на тестуванні, перший закон термодинаміки записано саме у формі Q = ΔU + A, де A — робота газу. Також у довідці наведено формули для внутрішньої енергії одноатомного ідеального газу U = (3/2)νRT і для роботи газу в ізобарному процесі A = pΔV. Користуйся ними під час розв'язування.

Формат завдань

У демоваріанті НМТ 2026 року завдання № 15 (тема 2.2 із 2.1) було представлене у форматі «логічні пари» (0–3 бали, по 1 балу за кожну правильно встановлену пару). У ньому за графіком p(V) потрібно було визначити, якому процесу відповідає те чи інше співвідношення між Q, ΔU і A.

Що вимагає програма

Програма НМТ (тема 2.2) вимагає вміння застосовувати перший закон термодинаміки до ізопроцесів. Адіабатний процес у програмі винесено окремим пунктом, тому на нього також варто звернути увагу. Ти маєш уміти:

• записувати перший закон для кожного з ізопроцесів;

• визначати знаки Q, ΔU і A за графіком p(V);

• обчислювати частку теплоти, що йде на роботу в ізобарному процесі;

• пояснювати зміну температури в адіабатному процесі.

Стратегія виконання

Для завдань з графіком p(V) дотримуйся такого алгоритму:

1. Визнач тип кожної ділянки графіка (ізохора, ізобара, ізотерма, адіабата).

2. Для кожної ділянки запиши знаки A (за зміною V), ΔU (за зміною pV) і Q (за сумою).

3. Лише після цього вибирай відповідність у завданні «логічні пари».

Не поспішай — уважний аналіз графіка дає всі потрібні знаки.

• Перший закон термодинаміки: Q = ΔU + A, де A — робота газу. Q > 0 — газ отримує теплоту, A > 0 — газ виконує роботу (розширення), ΔU > 0 — газ нагрівається.

• Ізохорний (V = const): A = 0, Q = ΔU = (3/2)νRΔT — уся теплота йде на зміну внутрішньої енергії.

• Ізотермічний (T = const): ΔU = 0, Q = A — уся теплота перетворюється на роботу (або робота стиснення віддається як теплота).

• Ізобарний (p = const): Q = ΔU + pΔV. Для одноатомного газу A/Q = 2/5 = 40 %, ΔU/Q = 3/5 = 60 %.

• Адіабатний (Q = 0): A = −ΔU. Розширення охолоджує газ, стиснення нагріває.

• Знаки за графіком p(V): ΔU — за добутком pV (більший pV → ΔU > 0); A — за зміною V (V зростає → A > 0); Q — за сумою ΔU + A.