Період пружинного маятника

Пружинний маятник — це система, що складається з вантажу масою m, прикріпленого до пружини жорсткістю k. Якщо вивести вантаж із положення рівноваги (стиснути або розтягнути пружину на невелику відстань x), виникає сила пружності, яка прагне повернути вантаж назад:

$$F=-kx$$де k — жорсткість пружини (у Н/м), x — зміщення від положення рівноваги. Знак «мінус» показує, що сила завжди напрямлена до положення рівноваги. За другим законом Ньютона ma = −kx, звідки прискорення a = −(k/m)·x. Оскільки прискорення пропорційне зміщенню й напрямлене протилежно до нього, рух є гармонічним коливанням.

Формула періоду

Період коливань пружинного маятника визначають за формулою:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

Частота коливань — величина, обернена до періоду:

$$\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Циклічна (кутова) частота:

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Усі три величини пов'язані: ω = 2πν = 2π/T.

Числовий приклад

Візьмемо вантаж масою m = 1 кг і пружину жорсткістю k = 100 Н/м. Тоді:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{1}{100}}=2\pi \cdot 0,1=0,2\pi \approx 0,63\text{с}$$$$\nu =\frac{1}{0,63}\approx 1,6\text{Гц}$$

Це означає, що за 1 секунду вантаж виконує приблизно 1,6 повних коливань.

Одиниці вимірювання

У формулу T = 2π√(m/k) масу завжди підставляють у кілограмах, а жорсткість — у ньютонах на метр (Н/м). Якщо маса дана в грамах, її обов'язково переводять: 200 г = 0,2 кг. Якщо жорсткість дана в Н/см, її множать на 100: 2 Н/см = 200 Н/м.

Експериментальне визначення

Період і частоту можна знайти й без формули — за вимірюваннями. Якщо за час t вантаж виконав N повних коливань, то:

$$T=\frac{t}{N},\nu =\frac{N}{t}$$

Наприклад, якщо за 10 с маятник зробив 20 коливань, то T = 10/20 = 0,5 с, а ν = 20/10 = 2 Гц.

Період пружинного маятника залежить від двох параметрів системи: маси вантажу та жорсткості пружини. Розгляньмо кожну залежність окремо.

Залежність від маси: T ∝ √m

Оскільки T = 2π√(m/k), період пропорційний квадратному кореню з маси. Це означає:

• Якщо масу збільшити в 4 рази, період зросте в √4 = 2 рази (частота зменшиться вдвічі).

• Якщо масу збільшити вдвічі, період зросте в √2 ≈ 1,41 раза.

• Якщо масу зменшити в 9 разів, період зменшиться в √9 = 3 рази.

Приклад: до вантажу масою m підвісили ще один такий самий. Загальна маса стала 2m, тому період зріс у √2 разів, а частота зменшилась у √2 разів.

Залежність від жорсткості: T ∝ 1/√k

Період обернено пропорційний квадратному кореню з жорсткості пружини:

• Якщо жорсткість збільшити в 4 рази, період зменшиться в √4 = 2 рази.

• Якщо жорсткість зменшити вдвічі, період зросте в √2 ≈ 1,41 раза.

Важливий окремий випадок: пружину розрізають навпіл. Коротша пружина має вдвічі більшу жорсткість (k' = 2k), тому період коливань зменшиться в √2 разів. Це пояснюється тим, що жорсткість пружини обернено пропорційна її довжині.

Незалежність від амплітуди

За малих деформацій (коли виконується закон Гука) період пружинного маятника не залежить від амплітуди коливань. Інтуїтивно: якщо відхилити вантаж далі, сила пружності буде більшою, тому вантаж рухатиметься швидше й «надолужить» більший шлях за той самий час. У результаті тривалість одного повного коливання залишається незмінною.

Ця властивість називається ізохронністю коливань — вона справедлива для будь-якого гармонічного осцилятора, доки деформації залишаються пружними.

Пружинний маятник може коливатися як горизонтально (на гладенькій поверхні), так і вертикально (підвішений до пружини). Незважаючи на різне розташування, період коливань у цих випадках однаковий.

Чому період не залежить від g

Погляньмо на формулу T = 2π√(m/k). У ній немає прискорення вільного падіння g. Це означає, що період пружинного маятника не залежить від того, чи коливається вантаж на Землі, на Місяці чи в космічній станції. За тієї самої маси й жорсткості пружини період буде однаковим.

Зверни увагу: це докорінно відрізняє пружинний маятник від нитяного (математичного), період якого T = 2π√(l/g) залежить від g. На Місяці нитяний маятник коливався б повільніше, а пружинний — із тією самою частотою, що й на Землі.

Вертикальний маятник і положення рівноваги

Коли вантаж підвішують до пружини вертикально, пружина розтягується під дією сили тяжіння. Положення рівноваги зміщується вниз на величину:

$$\Delta l=\frac{mg}{k}$$

Коливання відбуваються навколо цього нового положення рівноваги. Відлік зміщення x ведуть саме від нього, а не від нерозтягнутої пружини. Сила, що повертає вантаж до рівноваги, — це різниця між силою пружності й силою тяжіння, і вона дорівнює −kx, де x — зміщення від положення рівноваги.

Зв'язок із видовженням

Із рівняння рівноваги mg = k·Δl випливає, що m/k = Δl/g. Підставивши це в формулу періоду, отримаємо:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{\Delta l}{g}}$$

Це зручна форма: вимірявши видовження пружини в рівновазі, можна одразу знайти період, не знаючи окремо маси й жорсткості.

Приклад: видовження пружини в рівновазі становить 10 см = 0,1 м, g = 10 м/с². Тоді:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{0,1}{10}}=2\pi \sqrt{0,01}=0,2\pi \approx 0,63\text{с}$$

Невагомість

У невагомості (на орбіті) і вантаж, і пружина рухаються лише під дією сили тяжіння з однаковим прискоренням, тому пружина в рівновазі не розтягнута: Δl = 0. Однак вантаж на пружині все одно може коливатися, якщо його вивести з рівноваги. Формула T = 2π√(m/k) працює й тут. А от формулу T = 2π√(Δl/g) застосовувати не можна, бо вона виведена з припущення, що є вага.

Розгляньмо типові завдання НМТ на тему періоду пружинного маятника.

Приклад 1. Обчислення періоду за формулою

Умова: вантаж масою 0,4 кг коливається на пружині жорсткістю 40 Н/м. Знайди період коливань у секундах, прийнявши π = 3,14.

Розв'язання:

Запишемо формулу періоду пружинного маятника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{0,4}{40}}=2\pi \sqrt{0,01}=2\pi \cdot 0,1=0,2\pi$$

Підставимо π = 3,14:

$$T=0,2\cdot 3,14=0,628\approx 0,63\text{с}$$

Відповідь: 0,63 с.

Типова помилка: не помітити, що маса вже в кілограмах, і намагатися переводити 0,4 кг у щось інше. Усе в СІ — обчислюй одразу.

Приклад 2. Як зміниться період зі зміною маси

Умова: як зміниться період коливань пружинного маятника, якщо масу вантажу збільшити в 9 разів?

Розв'язання:

Період пропорційний √m. Якщо маса зросла в 9 разів, то період зросте в √9 = 3 рази.

Відповідь: збільшиться в 3 рази.

Чому інші варіанти неправильні:

• «Збільшиться в 9 разів» — плутають пряму пропорційність із кореневою.

• «Зменшиться в 3 рази» — плутають залежність маси й жорсткості або плутають період із частотою.

• «Не зміниться» — ігнорують залежність періоду від маси.

Приклад 3. Перенесення на іншу планету

Умова: пружинний маятник перенесли з Землі на Місяць. Як зміниться його період?

Розв'язання:

Формула T = 2π√(m/k) не містить g. Маса вантажу й жорсткість пружини не змінилися, тому період залишиться таким самим.

Відповідь: не зміниться.

Чому інші варіанти неправильні:

• «Збільшиться» / «Зменшиться» — плутають пружинний маятник із нитяним, період якого залежить від g.

• «Зросте вдвічі» — довільне число без обґрунтування.

Приклад 4. Період через кількість коливань

Умова: за 20 с вантаж на пружині виконав 50 коливань. Знайди частоту коливань у герцах.

Розв'язання:

Частота — це кількість коливань за одиницю часу:

$$\nu =\frac{N}{t}=\frac{50}{20}=2,5\text{Гц}$$

Відповідь: 2,5 Гц.

Типова помилка: обчислити T = t/N = 20/50 = 0,4 с і записати його замість частоти. Уважно читай, що питають: частоту, а не період.

Розгляньмо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час розв'язування задач на період пружинного маятника.

• Вважати, що на Місяці період пружинного маятника зміниться. Це найчастіша пастка. У формулу T = 2π√(m/k) не входить g, тому період не залежить від планети. Не плутай із нитяним маятником, період якого T = 2π√(l/g) залежить від g.

• Плутати коефіцієнти: маса збільшується в 4 рази — період зростає в 2 рази, а не в 4. Період пропорційний √m, а не m. Запам'ятай: збільшення маси в 4 рази подвоює період, збільшення в 9 разів — потроює.

• Не переводити грами в кілограми або жорсткість із Н/см у Н/м. Формула T = 2π√(m/k) працює тільки в СІ: маса в кілограмах, жорсткість у Н/м. 200 г = 0,2 кг; 5 Н/см = 500 Н/м. Помилка на одиниці вимірювання може коштувати 2 балів за задачу з короткою відповіддю.

• Вважати, що більша амплітуда збільшує період. За малих деформацій (пружних) період не залежить від амплітуди. Більша амплітуда означає більшу максимальну швидкість, але час одного коливання залишається тим самим.

• Плутати T = 2π√(m/k) із періодом нитяного маятника T = 2π√(l/g). У пружинного маятника під коренем m/k, у нитяного — l/g. Запам'ятай: пружина — маса й жорсткість, нитка — довжина й g.

Тема «Період пружинного маятника» входить до розділу 4.1 програми НМТ з фізики. Ось що варто знати про формат перевірки.

• Формули періодів пружинного й нитяного маятників є в довідкових матеріалах, які учасник НМТ бачить на екрані в електронній формі. Однак краще знати їх напам'ять, щоб не витрачати час на пошук.

• Програма (тема 4.1) вимагає вміти обчислювати період пружинного маятника. У демоваріанті 2026 тему 4.1 представлено завданням № 10 (графік гармонічних коливань).

• У завданнях на «як зміниться» період порівнюють без числових значень — потрібно лише вказати напрямок і кратність зміни (збільшиться в … разів, зменшиться в … разів, не зміниться).

• Коротка відповідь (завдання № 17–22, 0 або 2 бали): потрібно записати число в одиницях, указаних в умові. Значення π чи π² зазвичай дають в умові (у демо 2026 у задачі № 18 — π² = 10).

• Стратегія: спочатку визнач тип маятника (пружинний чи нитяний), потім обери відповідну формулу. Переконайся, що всі величини подано в СІ. Якщо в задачі є графік, зніми з нього амплітуду й період.

• T = 2π√(m/k); ν = 1/T

• Масу збільшують у 4 рази — період зростає вдвічі.

• Період не залежить від амплітуди й від g.

• Вертикальний і горизонтальний маятники мають однаковий період.

• T = 2π√(Δl/g) для вертикального маятника.