Період нитяного (математичного) маятника

Уявімо звичайний дитячий гойдалковий маятник — важке тіло (вантаж), підвішене на тонкій нерозтяжній нитці, яке може вільно коливатися у вертикальній площині. Саме такий пристрій називають нитковим (або нитяним) маятником. Його рух відбувається під дією двох сил: сили тяжіння, що тягне вантаж униз, і сили натягу нитки, що тримає його на сталій відстані від точки підвісу.

У фізиці для зручності аналізу користуються ідеалізованою моделлю — математичним маятником. Це матеріальна точка (тіло, розмірами якого можна знехтувати), підвішена на невагомій нерозтяжній нитці. У цій моделі вважають, що:

• розміри вантажу набагато менші за довжину нитки;

• нитка невагома й не розтягується;

• тертя в точці підвісу та опір повітря відсутні.

Формула періоду коливань математичного маятника, яку ти скоро вивчиш, справедлива лише за певних умов. Найважливіша з них — малі кути відхилення (до приблизно 10–15°). Чому це так? Повертальна сила, що повертає маятник до положення рівноваги, — це складова сили тяжіння, напрямлена вздовж дуги. Для малих кутів ця складова пропорційна самому куту, що дає змогу отримати просту гармонічну залежність. Для великих кутів пропорційність порушується, і формула стає неточною.

Довжина маятника l — це відстань від точки підвісу до центра вантажу (центра мас). Якщо вантаж має помітні розміри, довжину вимірюють саме до його центра, а не до нижнього краю.

У положенні рівноваги (маятник висить вертикально) сила тяжіння mg повністю зрівноважена силою натягу нитки T. Коли маятник відхиляють, сила тяжіння розкладається на дві складові: одну вздовж нитки (вона разом із натягом створює доцентрове прискорення) і другу, перпендикулярну до нитки, — саме вона є повертальною силою, що змушує маятник рухатися назад до рівноваги.

Період коливань математичного маятника — це час, за який маятник виконує одне повне коливання (повертається в ту саму точку з тим самим напрямком руху). Для малих кутів відхилення період обчислюють за формулою:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

де l — довжина маятника (в метрах), g — прискорення вільного падіння (у м/с²). Частота коливань ν (ню) — величина, обернена до періоду:

$$\nu =\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{l}}$$

Одиниця частоти — герц (Гц).

Числовий приклад

Нехай довжина маятника l = 2,5 м, а g = 10 м/с². Тоді:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{2,5}{10}}=2\pi \sqrt{0,25}=2\pi \cdot 0,5=\pi \approx 3,14\text{с}$$

Частота: ν = 1 / 3,14 ≈ 0,32 Гц. Отже, одне повне коливання триває приблизно 3,14 секунди.

Від чого залежить період?

Найцікавіша особливість математичного маятника — період не залежить від маси вантажу. Важчий вантаж коливається з тим самим періодом, що й легший, — за однакової довжини нитки. Так само період не залежить від амплітуди (за малих кутів відхилення). Це відкриття приписують Галілею, який нібито спостерігав за коливаннями люстри в соборі.

Період залежить лише від двох величин: довжини нитки l і прискорення вільного падіння g.

Залежність від довжини: T ∝ √l

Оскільки T пропорційний кореню квадратному з l, зміна довжини дає нелінійну зміну періоду:

Запам'ятай: щоб період зріс утричі, довжину потрібно збільшити в 9 разів (3² = 9). Щоб період зменшити вдвічі, довжину зменшують у 4 рази (2² = 4).

Залежність від g: T ∝ 1/√g

Період обернено пропорційний кореню квадратному з прискорення вільного падіння. Чим менше g, тим більший період. Наприклад, на Місяці g ≈ 1,6 м/с², що приблизно в 6 разів менше, ніж на Землі (g ≈ 9,8 м/с²). Тому:

$$\frac{T_{\text{Місяць}}}{T_{\text{Земля}}}=\sqrt{\frac{g_{\text{Земля}}}{g_{\text{Місяць}}}}=\sqrt{\frac{9,8}{1,6}}\approx \sqrt{6,1}\approx 2,5$$

На Місяці той самий маятник коливатиметься приблизно в 2,5 раза повільніше, ніж на Землі.

Формула T = 2π√(l/g) виведена для нерухомої системи відліку, де на вантаж діє лише сила тяжіння. Але що станеться, якщо маятник розташований у ліфті, що рухається з прискоренням? У такому разі ефективне прискорення, яке «відчуває» маятник, змінюється.

Ліфт, що рухається вгору з прискоренням a

Коли ліфт прискорюється вгору, сила реакції опори (підлоги) збільшується, і пасажир відчуває себе важчим. Для маятника це означає, що ефективне прискорення вільного падіння стає більшим: g_еф = g + a. Відповідно період коливань зменшується:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g+a}}$$

Ліфт, що рухається вниз з прискоренням a

Якщо ліфт прискорюється вниз, ефективне прискорення зменшується: g_еф = g − a. Період збільшується:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g-a}}$$

У граничному випадку, коли ліфт перебуває у вільному падінні (a = g), ефективне прискорення дорівнює нулю. Тоді маятник не коливатиметься — він опиниться в стані невагомості, і повертальна сила зникне.

Числовий приклад: ліфт із прискоренням 10 м/с² угору

Нехай довжина маятника l = 2 м, g = 10 м/с², а ліфт прискорюється вгору з a = 10 м/с². Тоді:

$$T_{\text{нерух}}=2\pi \sqrt{\frac{2}{10}}=2\pi \sqrt{0,2}\approx 2\pi \cdot 0,447\approx 2,81\text{с}$$

$$T_{\text{ліфт угору}}=2\pi \sqrt{\frac{2}{10+10}}=2\pi \sqrt{\frac{2}{20}}=2\pi \sqrt{0,1}\approx 2\pi \cdot 0,316\approx 1,99\text{с}$$

Період зменшився приблизно в √2 разів, що узгоджується з формулою: T_ліфт / T_нерух = √(g / (g + a)) = √(10/20) = 1/√2.

Маятниковий годинник

Маятниковий годинник використовує коливання маятника для відліку часу. Його хід залежить від періоду: чим більший період, тим повільніше йде годинник (він відстає).

На Місяці, де g менше, період маятника більший, тому маятниковий годинник, привезений із Землі, відставатиме. Те саме відбувається високо в горах: g трохи менше, ніж на рівні моря, тому годинник відстає.

Як відрегулювати відстаючий годинник? Оскільки T ∝ √l, потрібно зменшити довжину маятника. Якщо годинник спішить (іде швидше, ніж треба), маятник потрібно подовжити. Зміна маси вантажу або амплітуди коливань не впливає на хід годинника (за малих кутів).

Важливо: маятниковий годинник на Місяці відстає, а не поспішає. Це тому, що g на Місяці менше, отже період більший, і кожне коливання триває довше.

Приклад 1. Обчислення періоду

Завдання (коротка відповідь). Довжина нитки маятника дорівнює 1,6 м. Прискорення вільного падіння g = 10 м/с². Визнач період коливань маятника в секундах. Число π прийми за 3,14.

Розв'язання. Запишемо формулу періоду математичного маятника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{1,6}{10}}=2\pi \sqrt{0,16}=2\pi \cdot 0,4=0,8\pi$$

Підставляємо π = 3,14:

$$T=0,8\cdot 3,14=2,512\approx 2,5\text{с}$$

Відповідь: 2,5 с.

Типові помилки: плутають √0,16 = 0,4 із 0,16; забувають помножити на 2π; округлюють занадто грубо.

Приклад 2. Як змінити довжину, щоб змінити період

Завдання (вибір однієї відповіді). У скільки разів треба збільшити довжину нитки математичного маятника, щоб його період коливань зріс утричі?

• А: у 3 рази

• Б: у 6 разів

• В: у 9 разів

• Г: у √3 разів

Розв'язання. Період пропорційний кореню квадратному з довжини: T ∝ √l. Якщо T₂ = 3T₁, то √(l₂/l₁) = 3. Підносимо обидві частини до квадрата: l₂/l₁ = 9. Отже, довжину потрібно збільшити в 9 разів.

Відповідь: В (у 9 разів).

Чому інші варіанти неправильні:

• А (у 3 рази) — помилка: учень думає, що T ∝ l, а не T ∝ √l.

• Б (у 6 разів) — помилка: учень множить 3 на 2 замість підносити до квадрата.

• Г (у √3 разів) — помилка: учень плутає пряму й обернену залежність.

Приклад 3. Регулювання маятникового годинника

Завдання (вибір однієї відповіді). Маятниковий годинник, який точно йде на рівні моря, перенесли на високу гору, де прискорення вільного падіння трохи менше. Годинник почав відставати. Як його відрегулювати, щоб він знову йшов точно?

• А: подовжити маятник

• Б: скоротити маятник

• В: збільшити масу вантажу

• Г: збільшити амплітуду коливань

Розв'язання. На горі g менше, тому період маятника T = 2π√(l/g) став більшим, і годинник відстає. Щоб зменшити період (прискорити хід годинника), потрібно зменшити довжину маятника l. Зміна маси вантажу або амплітуди (за малих кутів) не впливає на період.

Відповідь: Б (скоротити маятник).

Чому інші варіанти неправильні:

• А (подовжити маятник) — ще більше збільшить період, годинник відставатиме ще сильніше.

• В (збільшити масу вантажу) — період не залежить від маси.

• Г (збільшити амплітуду) — за малих кутів період не залежить від амплітуди.

Приклад 4. Знаходження довжини за періодом

Завдання (коротка відповідь). Маятник має період коливань 2 с. Визнач довжину маятника в метрах, якщо g = π² м/с².

Розв'язання. Запишемо формулу періоду та виразимо довжину:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\Rightarrow \sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{T}{2\pi }\Rightarrow \frac{l}{g}=\frac{T^2}{4{\pi }^2}\Rightarrow l=g\cdot \frac{T^2}{4{\pi }^2}$$

Підставляємо T = 2 с, g = π² м/с²:

$$l={\pi }^2\cdot \frac{2^2}{4{\pi }^2}={\pi }^2\cdot \frac{4}{4{\pi }^2}=1\text{м}$$

Відповідь: 1 м.

Зверни увагу: завдяки тому, що g взяли рівним π², обчислення спростилися — π² скоротилися. У задачах НМТ значення g (а за потреби й π²) дають в умові; найчастіше g = 10 м/с² або 9,8 м/с².

• Вважати, що важчий вантаж коливається швидше. Насправді період математичного маятника не залежить від маси вантажу. Важчий і легший вантажі на нитці однакової довжини коливаються з тим самим періодом.

• Вважати, що збільшення довжини втричі збільшує період утричі. Насправді T ∝ √l, тому збільшення довжини в 3 рази збільшує період у √3 ≈ 1,73 раза. Щоб період зріс утричі, довжину треба збільшити в 9 разів.

• Забувати замінювати g на g + a або g − a у ліфті. У ліфті, що рухається з прискоренням, ефективне прискорення змінюється. Якщо ліфт прискорюється вгору, використовуй g + a; якщо вниз — g − a.

• Брати як довжину діаметр вантажу чи довжину нитки без урахування центра вантажу. Довжина маятника l — це відстань від точки підвісу до центра мас вантажу, а не до його нижнього краю.

• Застосовувати формулу для великих кутів. Формула T = 2π√(l/g) справедлива лише для малих кутів відхилення (до 10–15°). Для більших кутів період стає більшим, ніж за формулою.

• Вважати, що маятниковий годинник на Місяці поспішає. На Місяці g менше, тому період більший, і годинник відстає, а не поспішає.

Формула періоду нитяного маятника T = 2π√(l/g) входить до довідкових матеріалів, які ти отримаєш на НМТ. Однак сама по собі наявність формули в довіднику не звільняє від потреби знати, за яких умов вона працює. Найважливіше — пам'ятати про обмеження малих кутів (до 10–15°).

Програма НМТ з фізики (тема «Механічні коливання і хвилі») прямо вимагає вміння обчислювати період нитяного (математичного) маятника. Крім того, ідеалізовані моделі (математичний маятник як модель нитяного) є окремою рубрикою програми, тому варто вміти пояснювати, чим модель відрізняється від реального об'єкта.

У демонстраційному варіанті НМТ 2026 року цю тему представлено завданням № 10, де за графіком гармонічних коливань x(t) потрібно було визначити шлях і переміщення тіла. Це показує, що тема коливань перевіряється як через графіки, так і через розрахунки.

У завданнях типу «як зміниться період, якщо...» числових значень зазвичай не дають — перевіряють розуміння пропорційної залежності. Стратегія розв'язування таких задач:

• Запиши пропорцію: T ∝ √(l/g).

• Підстав у формулу відношення змін (у скільки разів змінилася величина).

• Вирази, у скільки разів змінився період.

Наприклад, якщо довжину збільшили в 4 рази, то T₂/T₁ = √(4l/l) = √4 = 2 — період зріс удвічі. Якщо g зменшили в 9 разів, то T₂/T₁ = √(g/(g/9)) = √9 = 3 — період зріс утричі.

У завданнях на ліфт звертай увагу на напрям прискорення: «вгору» означає g + a, «вниз» — g − a. Якщо ліфт рухається рівномірно (a = 0), період не змінюється.

• Математичний маятник — ідеалізована модель: матеріальна точка на невагомій нерозтяжній нитці.

• Період коливань: T = 2π√(l/g); частота: ν = 1/T.

• Період не залежить від маси вантажу й від амплітуди (за малих кутів до 10–15°).

• T ∝ √l: щоб період зріс утричі, довжину збільшують у 9 разів; щоб зменшити вдвічі — довжину зменшують у 4 рази.

• T ∝ 1/√g: на Місяці (g ≈ 1,6 м/с²) період приблизно в 2,5 раза більший, ніж на Землі.

• У ліфті: прискорення вгору → g + a (період менший); прискорення вниз → g − a (період більший); вільне падіння → маятник не коливається.

• Маятниковий годинник відстає, коли g менше (гори, Місяць) або маятник довший. Регулювання: скоротити маятник, якщо відстає; подовжити, якщо спішить.