Ознаки рівності трикутників

Два трикутники називають рівними, якщо їх можна сумістити накладанням. Це означає, що кожна вершина одного трикутника збігається з вершиною іншого, кожна сторона — з відповідною стороною, а кожен кут — з відповідним кутом. Іншими словами, у рівних трикутників відповідні сторони й відповідні кути попарно рівні.

Формально це записують так: △ABC = △KLM. Такий запис означає, що вершина A суміщається з K, B — з L, C — з M. Саме порядок вершин у записі задає відповідність: перша вершина першого трикутника відповідає першій вершині другого, друга — другій, третя — третій. Тому з △ABC = △KLM випливає, що AB = KL, BC = LM, AC = KM, а також ∠A = ∠K, ∠B = ∠L, ∠C = ∠M.

Важливо навчитися правильно «читати» такий запис. Наприклад, якщо △ABC = △DEF, то сторона BC дорівнює стороні EF, а кут C дорівнює куту F. Але сторона BC не обов'язково дорівнює DF — це невідповідні сторони. Плутанина виникає тоді, коли не зважають на порядок вершин у записі.

Властивості, що випливають із рівності трикутників

Якщо два трикутники рівні, то в них:

• проти рівних сторін лежать рівні кути;

• проти рівних кутів лежать рівні сторони;

• відповідні медіани, бісектриси та висоти рівні;

• периметри й площі рівні.

Ці властивості дуже зручні: довівши рівність двох трикутників, ми можемо «перенести» невідому сторону чи кут з одного трикутника в інший, де цей елемент уже відомий.

Запам'ятай: запис △ABC = △DEF задає відповідність вершин A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. З нього випливає BC = EF і ∠C = ∠F, але не BC = DF і не ∠C = ∠E.

Щоб установити рівність двох трикутників, не обов'язково перевіряти всі шість пар елементів (три сторони й три кути). Достатньо перевірити лише певні три пари, і це дають три ознаки рівності трикутників. Розгляньмо кожну з них.

Перша ознака: за двома сторонами й кутом між ними

Якщо дві сторони одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам іншого трикутника, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники рівні.

Символьно: AB = DE, AC = DF, ∠A = ∠D ⇒ △ABC = △DEF.

Ключовий момент: кут обов'язково має лежати між двома сторонами. Якщо дано AB = DE, BC = EF і ∠A = ∠D, то кут A не лежить між сторонами AB і BC — він лежить між AB і AC. Тому такої умови недостатньо (детальніше — у пункті про хибні ознаки).

Друга ознака: за стороною й двома прилеглими до неї кутами

Якщо сторона одного трикутника дорівнює стороні іншого трикутника, а кути, прилеглі до цієї сторони, відповідно рівні, то такі трикутники рівні.

Символьно: AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E ⇒ △ABC = △DEF.

Зверни увагу: кути мають прилягати до тієї самої сторони. У наведеному записі сторона AB, кут A (при вершині A) і кут B (при вершині B) справді «оточують» сторону AB. При цьому третій кут (∠C і ∠F) автоматично буде рівним, тому що сума кутів трикутника дорівнює 180°. Отже, другу ознаку можна застосовувати навіть тоді, коли в умові дано не два прилеглі кути, а один прилеглий і один віддалений: знаючи два кути одного трикутника, третій завжди можна обчислити.

Третя ознака: за трьома сторонами

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Символьно: AB = DE, BC = EF, AC = DF ⇒ △ABC = △DEF.

Це найнадійніша ознака — вона не вимагає жодної інформації про кути.

Що не є ознаками рівності

Дві сторони й кут, що не лежить між ними — це не ознака. Наприклад, якщо AB = DE, BC = EF і ∠A = ∠D, то можна побудувати два різні трикутники, які задовольняють ці умови: один гострокутний і один тупокутний. Такі трикутники не будуть рівними.

Три відповідно рівні кути — теж не ознака. Трикутники з однаковими кутами мають однакову форму (вони подібні), але можуть мати різні розміри. Наприклад, два рівносторонні трикутники зі сторонами 3 см і 5 см мають однакові кути (по 60°), але не є рівними. Подібність трикутників — окрема тема, яку вивчають пізніше.

Не плутай: «дві сторони й кут між ними» — ознака рівності, а «дві сторони й кут, що не між ними» — ні. Так само три рівні кути дають подібність, а не рівність.

Прямокутні трикутники — це окремий випадок трикутників, у яких один кут дорівнює 90°. Через наявність прямого кута для них існують додаткові ознаки рівності, які не працюють для довільних трикутників.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Остання ознака — за гіпотенузою й катетом — працює лише для прямокутних трикутників. Чому? Бо в довільному трикутнику умова «дві сторони й кут не між ними» не є ознакою рівності. Але в прямокутному трикутнику прямий кут лежить проти гіпотенузи, тому знаючи гіпотенузу й катет, ми фактично знаємо дві сторони й кут (прямий), що лежить проти однієї з них — і це виявляється достатнім.

Застосування ознак прямокутних трикутників

Ознаки рівності прямокутних трикутників часто використовують у доведеннях. Наприклад:

• Перпендикуляри, проведені з точки на бісектрисі кута до його сторін, рівні. Це доводять за ознакою «гіпотенуза й гострий кут»: точка лежить на бісектрисі, тому кути між бісектрисою й сторонами рівні, а відстань до сторін — це перпендикуляри (прямі кути).

• Рівні похилі, проведені з однієї точки до прямої, мають рівні проєкції. Це доводять за ознакою «гіпотенуза й катет»: похилі є гіпотенузами, а перпендикуляр — спільним катетом.

Пам'ятай: ознаку «гіпотенуза й катет» можна застосовувати лише тоді, коли точно відомо, що трикутники прямокутні. Якщо інформація про прямий кут відсутня, ця ознака не працює.

У задачах НМТ рідко дають готові пари рівних елементів — їх треба помітити на рисунку самостійно. Ось найпоширеніші підказки.

Спільна сторона

Якщо два трикутники мають спільну сторону, вона, звісно, дорівнює сама собі. Це одна з трьох пар рівних елементів. Наприклад, у чотирикутнику ABCD з діагоналлю AC трикутники ABC і ADC мають спільну сторону AC. Якщо відомо ще дві пари рівних елементів (наприклад, AB = AD і CB = CD), то △ABC = △ADC за третьою ознакою.

Вертикальні кути

Коли два відрізки перетинаються, утворюються вертикальні кути — вони завжди рівні. Якщо на рисунку є перетин відрізків AC і BD у точці O, то ∠AOB = ∠COD (вертикальні). Це дає ще одну пару рівних елементів.

Відрізки, що точкою перетину діляться навпіл

Якщо в задачі сказано: «відрізки AC і BD перетинаються в точці O, яка є серединою кожного з них», це означає AO = OC і BO = OD. Тоді △AOB = △COD за першою ознакою (AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD як вертикальні). Звідси випливає AB = CD. Більше того, з цієї рівності можна отримати й паралельність: ∠BAO = ∠DCO — це внутрішні різносторонні кути при прямих AB і CD та січній AC, тому AB ∥ CD.

Алгоритм пошуку рівних трикутників

1. Знайди два трикутники, які містять шуканий елемент (невідомий відрізок або кут) і відомі елементи.

2. Випиши три пари рівних елементів цих трикутників: рівні сторони, рівні кути, спільну сторону, вертикальні кути тощо.

3. Назви ознаку, за якою трикутники рівні (перша, друга або третя; або одна з ознак прямокутних трикутників).

4. За відповідністю вершин (див. запис рівності) перенеси шуканий елемент з одного трикутника в інший.

Розгорнутий приклад

Розглянемо чотирикутник ABCD, у якому AB = AD і CB = CD. Відомо, що ∠ADC = 110°. Знайдемо ∠ABC.

Крок 1. Трикутники ABC і ADC мають спільну сторону AC. До того ж AB = AD і CB = CD за умовою.

Крок 2. Три пари рівних елементів: AB = AD (дано), CB = CD (дано), AC = AC (спільна).

Крок 3. Третя ознака — за трьома сторонами. △ABC = △ADC.

Крок 4. За відповідністю вершин ∠ABC = ∠ADC = 110°. До того ж AC — бісектриса кутів A і C, оскільки в рівних трикутниках відповідні кути при спільній стороні рівні.

Підказка: коли бачиш на рисунку два трикутники зі спільною стороною або вершиною, одразу перевір, чи можна довести їхню рівність. Це найпоширеніший прийом у задачах НМТ.

Приклад 1. Відрізки AC і BD перетинаються в точці O

Умова. Відрізки AC і BD перетинаються в точці O, яка є серединою кожного з них. ∠BAO = 40°. Знайди ∠OCD.

Розв'язання.

1. Розглянемо трикутники AOB і COD. Вони містять шуканий кут ∠OCD (у △COD) і відомий кут ∠BAO (у △AOB).

2. Виписуємо рівні елементи: AO = OC (O — середина AC), BO = OD (O — середина BD), ∠AOB = ∠COD (вертикальні кути).

3. Маємо дві сторони й кут між ними — перша ознака рівності. △AOB = △COD.

4. За відповідністю вершин (A ↔ C, B ↔ D, O ↔ O) кут BAO відповідає куту DCO, тобто ∠OCD = ∠BAO = 40°.

Відповідь: 40°.

Розбір дистракторів. 50° — помилка: кут сплутано з іншим; 140° — взято суміжний кут замість відповідного; 80° — подвоєно 40°; 20° — поділено 40° навпіл. Жоден із цих варіантів не відповідає правильній відповідності вершин рівних трикутників.

Приклад 2. Які умови гарантують рівність трикутників?

Умова. Які з умов гарантують рівність △ABC = △DEF?

• I) AB = DE, BC = EF, ∠A = ∠D;

• II) AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E;

• III) ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

Розв'язання.

• Умова I: AB = DE, BC = EF, ∠A = ∠D. Кут A лежить між сторонами AB і AC, але BC — це третя сторона, а не AC. Отже, кут не лежить між двома рівними сторонами. Це хибна ознака.

• Умова II: AB = DE, ∠A = ∠D, ∠B = ∠E. Це друга ознака рівності — сторона й два прилеглі кути. Гарантує рівність.

• Умова III: три кути рівні. Трикутники подібні, але не обов'язково рівні. Не гарантує рівності.

Відповідь: лише II.

Розбір дистракторів. «Лише I» — ігнорує, що кут не між сторонами. «I і II» — не помічає помилки в I. «II і III» — вважає три кути ознакою рівності (найпоширеніша помилка). «Усі три» — не розрізняє рівність і подібність.

Приклад 3. Чотирикутник з рівними сторонами

Умова. У чотирикутнику ABCD відомо, що AB = AD, CB = CD, ∠BAD = 70°, ∠BCD = 50°. Знайди ∠ABC.

Розв'язання.

1. Проведемо діагональ AC. Розглянемо △ABC і △ADC.

2. Рівні елементи: AB = AD (дано), CB = CD (дано), AC = AC (спільна сторона).

3. Третя ознака — за трьома сторонами. △ABC = △ADC.

4. За відповідністю вершин (A ↔ A, B ↔ D, C ↔ C) маємо ∠BAC = ∠DAC і ∠BCA = ∠DCA. Оскільки ∠BAD = 70°, то ∠BAC = 35°. Оскільки ∠BCD = 50°, то ∠BCA = 25°.

5. У трикутнику ABC сума кутів дорівнює 180°, тому ∠ABC = 180° − 35° − 25° = 120°.

Відповідь: 120°.

Розбір дистракторів. 60° — взято половину 120°; 110° — не враховано, що кут A поділено навпіл; 130° — неправильно обчислено суму; 95° — сплутано кути.

Приклад 4. Вимірювання відстані через ставок

Умова. Щоб виміряти відстань AB через ставок, обрали точку C, на продовженнях AC і BC за точку C відклали CD = AC і CE = BC. Виміряли DE = 48 м. Знайди AB.

Розв'язання.

1. Розглянемо △ABC і △DEC. Сторони: AC = CD (дано), BC = CE (дано).

2. Кути: ∠ACB = ∠DCE (вертикальні).

3. Перша ознака — за двома сторонами й кутом між ними. △ABC = △DEC.

4. За відповідністю вершин A ↔ D, B ↔ E, C ↔ C сторона AB відповідає стороні DE. Отже, AB = DE = 48 м.

Відповідь: 48 м.

Розбір дистракторів. 24 м — половина 48; 96 м — подвоєння; 72 м — додавання 48 і 24; 36 м — три чверті 48. Жоден не відповідає рівності трикутників.

• Уважають ознакою рівності дві сторони й кут, що не лежить між ними. Насправді це не ознака: з такими даними можна побудувати два різні трикутники. Правильно: кут обов'язково має бути між двома даними сторонами.

• Вважають рівними трикутники з трьома відповідно рівними кутами. Це помилка: такі трикутники лише подібні (однакова форма, але можуть бути різних розмірів). Рівність потребує рівності хоча б однієї сторони.

• Беруть відповідні елементи не за порядком вершин. Наприклад, із △ABC = △DEF роблять висновок AB = EF, хоча правильним є AB = DE. Порядок вершин у записі — єдине джерело відповідності.

• Не помічають спільної сторони чи вертикальних кутів як третьої пари рівних елементів. Спільна сторона завжди дорівнює сама собі, а вертикальні кути завжди рівні — це «безкоштовні» пари, які дають змогу застосувати ознаку.

• У другій ознаці беруть кути, розміщені неоднаково відносно рівних сторін. Наприклад, якщо AB = DE, то кути A і B прилягають до сторони AB, а кути D і E — до сторони DE. Стеж і за відповідністю вершин: якщо AB = DE, ∠A = ∠E і ∠B = ∠D, трикутники рівні, але записують △ABC = △EDF, а не △ABC = △DEF. Некоректно брати кут, що не прилягає до даної сторони (наприклад, ∠F для сторони DE).

• Застосовують ознаку «гіпотенуза й катет» до трикутників, про які не відомо, що вони прямокутні. Ця ознака працює тільки для прямокутних трикутників. Якщо в умові не сказано про прямий кут, використовувати її не можна.

Найнебезпечніша пастка: у задачі можуть дати дві сторони й кут, який здається «між ними», але насправді не є таким. Завжди перевіряй, чи справді кут утворений двома даними сторонами.

Тема «Ознаки рівності трикутників» входить до змісту теми 5.3 програми рівня стандарту з математики. На НМТ перевіряють уміння застосовувати означення, ознаки й властивості трикутників до планіметричних задач і задач практичного змісту.

Форма завдань

• Типова форма — вибір однієї відповіді з п'яти (завдання 1–15, А–Д, 0 або 1 бал). На рисунку дано рівні відрізки, треба знайти невідомий кут або відрізок.

• Можливий також формат із трьома твердженнями I–III, серед яких треба вибрати правильні (як у завданні 10 демоваріанта НМТ-2026 про медіану трикутника). Такий самий формат варто тренувати й для ознак рівності.

Що можна і чого не можна використовувати

У довідкових матеріалах, які надають на НМТ, ознак рівності трикутників немає. Їх треба знати напам'ять.

Стратегія розв'язання

1. Визнач, які два трикутники на рисунку можуть бути рівними.

2. Випиши три пари рівних елементів (стеж за спільною стороною й вертикальними кутами).

3. Перевір, чи кут (якщо він є в умові) лежить саме між двома сторонами.

4. Назви ознаку й перенеси шуканий елемент за відповідністю вершин.

На розв'язання одного завдання типово відводять 2–3 хвилини. Якщо не впізнаєш ознаку за 20–30 секунд — переходь до наступного завдання й повернися пізніше.

Порада: тренуйся «бачити» спільну сторону та вертикальні кути на рисунку — це заощадить час на НМТ.

• Три основні ознаки рівності трикутників: (1) дві сторони й кут між ними; (2) сторона й два прилеглі до неї кути; (3) три сторони.

• Дві сторони й кут, що не лежить між ними, не є ознакою рівності — такий трикутник не визначений однозначно.

• Три відповідно рівні кути дають лише подібність, а не рівність трикутників.

• Прямокутні трикутники рівні за двома катетами, катетом і гострим кутом (прилеглим або протилежним), гіпотенузою й гострим кутом, гіпотенузою й катетом.

• У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів — рівні сторони; також рівні відповідні медіани, бісектриси, висоти, периметри й площі.

• На рисунку шукай спільну сторону (вона дорівнює сама собі) та вертикальні кути (вони завжди рівні) — це «безкоштовні» пари рівних елементів.

• Порядок вершин у записі △ABC = △DEF визначає відповідність: AB = DE, BC = EF, AC = DF.

Запам'ятай абревіатури: СУС — перша ознака, КСК — друга ознака, ССС — третя ознака. Вони допоможуть швидко згадати умови на НМТ.