Обчислення масштабу за відомою відстанню

Масштаб карти — це відношення довжини відрізка на карті до довжини того самого відрізка на місцевості. Його записують у вигляді 1 : N, де N — знаменник масштабу, що показує, у скільки разів зменшено зображення. Щоб знайти масштаб за відомими відстанями, потрібно поділити відстань на місцевості на відстань на карті, попередньо перевівши обидві величини в сантиметри.

Формула для обчислення масштабу:

$$\text{масштаб}=\text{відстань на карті}:\text{відстань на місцевості}$$

Поділивши обидві частини відношення на відстань на карті, отримуємо запис 1 : N.

Покроковий приклад

Нехай на карті відрізок дорівнює 2 см, а на місцевості йому відповідає 5 км. Переводимо 5 км у сантиметри: 5 км = 5 × 100 000 = 500 000 см. Тепер ділимо відстань на місцевості на відстань на карті: 500 000 : 2 = 250 000. Отже, масштаб карти — 1 : 250 000. Іменований масштаб: в 1 см 2,5 км.

Перевіряємо зворотною дією: 2 см × 250 000 = 500 000 см = 5 км — усе збігається.

Чому знаменник має бути цілим числом

Знаменник масштабу N завжди ціле число. Якщо після ділення ви отримали дріб (наприклад, 1 : 2,5), це означає, що ви припустилися помилки в переведенні одиниць або у вимірюванні. Найчастіша причина — забули перевести кілометри в сантиметри й поділили 5 км на 2 см, отримавши 2,5 замість 250 000.

Поширені масштаби топографічних карт

Знайомий набір масштабів допоможе перевірити правдоподібність результату. Найпоширеніші числові масштаби топокарт:

Якщо твій результат не збігається з жодним із цих чисел, але стоїть близько до одного з них (наприклад, 1 : 24 800 замість 1 : 25 000), імовірно, ти неточно виміряв(ла) відрізок. Проте нетиповий знаменник (наприклад, 1 : 37 500) теж можливий, тому завжди роби зворотну перевірку.

Найпоширеніша помилка під час обчислення масштабу — неправильне переведення одиниць. Ти забуваєш дописати нулі, і замість 1 : 250 000 отримуєш 1 : 2,5. Щоб цього не траплялося, запам'ятай просте правило: кілометри завжди переводь у сантиметри, і лише після цього діли.

Таблиця переведення одиниць довжини

Зверни увагу: 1 км = 100 000 см — це п'ять нулів після одиниці. 1 м = 100 см — два нулі. Переводити в сантиметри потрібно саме відстань на місцевості, а відстань на карті залишається в сантиметрах, як ти її виміряв лінійкою.

Приклади обчислення

Приклад 1. На карті відрізок дорівнює 3 см, а на місцевості — 750 м. Переводимо 750 м у сантиметри: 750 × 100 = 75 000 см. Ділимо: 75 000 : 3 = 25 000. Масштаб карти — 1 : 25 000. Іменований масштаб: в 1 см 250 м.

Приклад 2. На карті відрізок дорівнює 4,8 см, а на місцевості — 12 км. Переводимо 12 км у сантиметри: 12 × 100 000 = 1 200 000 см. Ділимо: 1 200 000 : 4,8 = 250 000. Масштаб карти — 1 : 250 000. Іменований масштаб: в 1 см 2,5 км.

Від іменованого масштабу до числового

Іноді в умові дано іменований масштаб, наприклад «в 1 см 4 км». Щоб отримати числовий, переведи 4 км у сантиметри: 4 × 100 000 = 400 000 см. Отже, числовий масштаб — 1 : 400 000.

Зворотна перевірка

Після обчислення масштабу завжди роби зворотну перевірку: помнож довжину відрізка на карті на знаменник масштабу. Ти маєш отримати відому відстань на місцевості. Наприклад, для масштабу 1 : 25 000 і відрізка 3 см: 3 × 25 000 = 75 000 см = 750 м — усе збігається. Якщо результат не збігається — шукай помилку в переведенні одиниць або в діленні.

Кілометрова сітка — це лінії на топографічній карті, які утворюють квадрати. На місцевості сторона такого квадрата дорівнює 1 км. Якщо ти знаєш, скільки сантиметрів займає сторона квадрата на карті, ти можеш обчислити масштаб.

Формула та сама: 1 км = 100 000 см, ділимо на довжину сторони квадрата на карті.

Будову кілометрової сітки детально розглянуто в окремому уроці. Тут важливо запам'ятати: сторона квадрата на місцевості завжди 1 км, незалежно від масштабу карти.

Порівняння масштабів двох карт

Якщо той самий об'єкт (наприклад, ділянка річки) на одній карті має довжину 3 см, а на другій — 12 см, то друга карта детальніша. У скільки разів довший відрізок, у стільки разів більший масштаб (тобто знаменник менший).

Приклад: відрізок 3 см на карті 1 : 100 000. На другій карті той самий об'єкт має довжину 12 см. Знаходимо, у скільки разів довший відрізок: 12 : 3 = 4. Отже, друга карта детальніша в 4 рази, її масштаб — 1 : 25 000 (100 000 : 4 = 25 000).

Збільшена чи зменшена копія карти

Якщо карту збільшити вдвічі (наприклад, надрукувати на більшому аркуші), знаменник масштабу зменшиться вдвічі. Карта 1 : 50 000 після збільшення вдвічі матиме масштаб 1 : 25 000. Зменшення вдвічі, навпаки, збільшує знаменник: 1 : 50 000 → 1 : 100 000.

Це працює тому, що той самий об'єкт на збільшеній копії займає більше місця на папері, тобто зображення детальніше — масштаб більший (знаменник менший).

Приклад 1. Коротка відповідь (число)

Умова: На карті відрізок між двома пунктами дорівнює 3 см. Відстань на місцевості між цими пунктами становить 6 км. Запишіть знаменник числового масштабу карти.

Розв'язання:

• Переводимо 6 км у сантиметри: 6 × 100 000 = 600 000 см.

• Ділимо відстань на місцевості на відстань на карті: 600 000 : 3 = 200 000.

• Масштаб карти — 1 : 200 000. Знаменник — 200 000.

Відповідь: 200 000.

Зворотна перевірка: 3 см × 200 000 = 600 000 см = 6 км — усе правильно.

Приклад 2. Вибір однієї відповіді з чотирьох

Умова: На карті відрізок дорівнює 5 см, що відповідає 1250 м на місцевості. Який числовий масштаб цієї карти?

Варіанти відповідей: 1 : 2500; 1 : 25 000; 1 : 250 000; 1 : 6250.

Розв'язання:

• Переводимо 1250 м у сантиметри: 1250 × 100 = 125 000 см.

• Ділимо: 125 000 : 5 = 25 000.

• Масштаб — 1 : 25 000.

Відповідь: 1 : 25 000.

Чому інші варіанти неправильні:

• 1 : 2500 — загублено один нуль (125 000 : 5 = 25 000, а не 2500).

• 1 : 250 000 — зайвий нуль, помилка в переведенні (1250 м = 125 000 см, а не 1 250 000).

• 1 : 6250 — помножили 1250 на 5 замість поділити 125 000 на 5.

Приклад 3. Коротка відповідь (число)

Умова: На топографічній карті сторона квадрата кілометрової сітки дорівнює 2 см. Запишіть знаменник числового масштабу карти.

Розв'язання:

• Сторона квадрата на місцевості — 1 км = 100 000 см.

• Ділимо: 100 000 : 2 = 50 000.

• Масштаб карти — 1 : 50 000. Знаменник — 50 000.

Відповідь: 50 000.

Приклад 4. Вибір однієї відповіді з чотирьох

Умова: Ділянка річки завдовжки 2,4 км на одній карті займає 4,8 см, а на другій карті — 1,2 см. Який масштаб другої карти?

Варіанти відповідей: 1 : 50 000; 1 : 100 000; 1 : 200 000; 1 : 400 000.

Розв'язання:

• Спочатку знайдемо масштаб першої карти. Переводимо 2,4 км у см: 2,4 × 100 000 = 240 000 см. Ділимо: 240 000 : 4,8 = 50 000. Масштаб першої карти — 1 : 50 000.

• На другій карті той самий об'єкт має довжину 1,2 см. Порівнюємо: 4,8 : 1,2 = 4. Отже, на другій карті відрізок у 4 рази коротший, тому її масштаб у 4 рази дрібніший (знаменник у 4 рази більший).

• Знаменник другої карти: 50 000 × 4 = 200 000. Масштаб — 1 : 200 000.

Відповідь: 1 : 200 000.

Дистрактор 1 : 50 000 — це масштаб першої карти, а не другої. Якщо не звернути уваги на слово «другої», можна помилково обрати саме його.

• Ділять кілометри на сантиметри без переведення й отримують «1 : 2,5». Правильно: спочатку перевести кілометри в сантиметри (1 км = 100 000 см), а потім ділити.

• Ділять відстань на карті на відстань на місцевості й отримують дріб 0,000004 замість 1 : 250 000. Правильно: ділити відстань на місцевості на відстань на карті, а не навпаки.

• Гублять нулі: вважають, що 1 км = 10 000 см. Запам'ятай: 1 км = 100 000 см — п'ять нулів, а не чотири.

• Не зводять відношення до вигляду 1 : N і залишають запис 2 : 500 000. Правильно: поділити обидві частини відношення на відстань на карті, щоб отримати 1 : N.

• Плутають «масштаб більший у 4 рази» зі знаменником, більшим у 4 рази. Більший масштаб означає менший знаменник. Якщо масштаб більший у 4 рази, знаменник у 4 рази менший.

Тема обчислення масштабу належить до пункту 1.2 програми НМТ з географії: «Види масштабу й способи вимірювання відстаней». Від тебе вимагають уміння розв'язувати задачі за планом, топографічною й географічною картою.

У тесті НМТ завдання на масштаб трапляються у двох форматах:

• Завдання 1–20 — вибір однієї відповіді з чотирьох, 1 бал. Варіанти масштабу відрізняються кількістю нулів (1 : 2500, 1 : 25 000, 1 : 250 000). Треба уважно перевести одиниці й не загубити нулі.

• Завдання 21–24 — коротка відповідь, 0 або 2 бали. Потрібно записати число (знаменник масштабу або відстань) за правилами інструкції до завдання. Помилка в одній цифрі — і завдання не зараховано.

Стратегія виконання: після того, як знайшов знаменник масштабу, обов'язково зроби зворотну перевірку — помнож довжину відрізка на карті на знаменник. Якщо отримав відстань, що збігається з умовою, — відповідь правильна. Це займає 5–10 секунд, але рятує від втрати бала через неуважність.

• Масштаб — це відношення відстані на карті до відстані на місцевості в однакових одиницях (обидві в сантиметрах).

• Головне переведення: 1 км = 100 000 см. Запам'ятай кількість нулів.

• Знаменник N знаходять діленням відстані на місцевості на відстань на карті.

• Результат записують як 1 : N, де N — ціле число. Перевіряють зворотним множенням.

• Сторона квадрата кілометрової сітки на місцевості дорівнює 1 км.

• Довший відрізок того самого об'єкта на карті означає більший масштаб (менший знаменник).