НСД і НСК через розклад на прості множники

Усі натуральні числа більші за 1 поділяють на дві великі родини: прості й складені. Різниця між ними — у кількості дільників.

Означення

Просте число — це натуральне число, яке має рівно два дільники: 1 і саме себе. Наприклад, 2 має дільники 1 і 2; 13 має дільники 1 і 13. Перші прості числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Їх безліч, і немає найбільшого простого числа.

Складене число — це натуральне число, яке має більше ніж два дільники. Наприклад, 6 ділиться на 1, 2, 3 і 6 — отже, складене. 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12 — також складене.

Особливе місце займає число 1. Воно має лише один дільник — 1. Тому 1 не належить ані до простих, ані до складених чисел. Це важливо пам'ятати, бо в тестах іноді пропонують 1 як варіант «простого» числа — це пастка.

2 — єдине парне просте число

Серед простих чисел лише одне парне — це 2. Чому? Будь-яке інше парне число, наприклад 4, 6, 8, 10, …, ділиться на 1, на 2 і на себе, а отже, має щонайменше три дільники. Тому кожне парне число, більше за 2, є складеним. Це ще одна пастка в тестах: учні іноді думають, що «простими можуть бути тільки непарні», і помилково вважають 2 складеним.

Як перевірити, чи число просте

Щоб дізнатися, чи просте натуральне число n > 1, діли його послідовно на прості числа 2, 3, 5, 7, 11, … і так далі. Якщо жодне з них не є дільником, а квадрат чергового простого числа вже перевищує n, то n — просте. Достатньо перевіряти лише ті прості числа, чий квадрат не більший за n.

Розгляньмо приклад. Число 91. Перевіряємо: 91 не парне, не ділиться на 3 (9 + 1 = 10, не ділиться на 3), не ділиться на 5 (остання цифра не 0 і не 5), ділиться на 7: 91 = 7 · 13. Отже, 91 — складене, хоча на перший погляд воно «виглядає» простим.

Число 97. Перевіряємо: не ділиться на 2, 3 (9 + 7 = 16, не ділиться на 3), 5, 7 (97 : 7 = 13 і остача 6). Далі треба було б перевіряти 11, але 11² = 121 > 97 — отже, далі перевіряти не потрібно. 97 — просте число.

Основна теорема арифметики

Кожне складене число можна розкласти на прості множники, і такий розклад єдиний з точністю до порядку множників. Це твердження називають основною теоремою арифметики. Наприклад, 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7, і жодного іншого набору простих множників (крім перестановки) у 84 немає. Це єдиний розклад.

Розкласти натуральне число на прості множники — означає записати його у вигляді добутку простих чисел. Саме з цього розкладу потім легко знаходять НСД і НСК.

Алгоритм «стовпчиком»

Найпоширеніший спосіб — ділити число на найменший простий дільник, доки частка не стане 1. Розгляньмо на прикладі числа 360.

360 ділимо на 2 (найменше просте число, що ділить 360, адже 360 парне). Отримуємо 180. 180 знову парне — ділимо на 2, отримуємо 90. 90 парне — ділимо на 2, отримуємо 45. 45 не ділиться на 2, перевіряємо 3: 4 + 5 = 9, ділиться на 3, отримуємо 15. 15 ділиться на 3, отримуємо 5. 5 — просте число, ділимо на 5, отримуємо 1. Готово.

Послідовність дільників: 2, 2, 2, 3, 3, 5. Отже, 360 = 2³ · 3² · 5. Запис у степеневій формі компактний і зручний для подальшої роботи з НСД і НСК.

Ознаки подільності допомагають почати

Ознаки подільності підказують, з якого простого числа почати: якщо число парне — діли на 2; якщо сума цифр ділиться на 3 — пробуй 3; якщо закінчується на 0 або 5 — пробуй 5. Це пришвидшує розклад.

Перевірка розкладу: перемнож отримані прості множники. Для 360: 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360. Збіглося — розклад правильний.

Спосіб «дерево» множників

Інший спосіб — спочатку розкласти число на будь-які два множники (не обов'язково прості), а потім кожен складений множник розкладати далі, поки не залишаться лише прості числа.

Для 360: 360 = 36 · 10. 36 = 4 · 9, 10 = 2 · 5. 4 = 2 · 2, 9 = 3 · 3. Збираємо всі прості множники: 2, 2, 2, 3, 3, 5 — той самий набір. Важливо: розклад на непрості множники (4 · 9 · 10) ще не завершено — потрібно довести кожен множник до простих чисел.

Розклад показує дільники

За розкладом числа на прості множники можна визначити, чи ділиться одне число на інше. Число a ділиться на число b, якщо кожен простий множник числа b входить у розклад числа a в не меншому степені.

Наприклад, чи ділиться 360 = 2³ · 3² · 5 на 24? 24 = 2³ · 3. У 360 степінь 2 дорівнює 3, степінь 3 дорівнює 2 — умова виконується, отже, 360 ділиться на 24 (360 : 24 = 15). А чи ділиться 360 на 16 = 2⁴? У 360 степінь 2 дорівнює 3, а треба 4 — умова не виконується, отже, 360 не ділиться на 16.

Коли числа вже розкладено на прості множники, найбільший спільний дільник (НСД) і найменше спільне кратне (НСК) знаходять за дуже простим алгоритмом.

НСД — добуток спільних множників у найменших степенях

НСД(a; b) — це найбільше натуральне число, на яке діляться і a, і b. Щоб знайти НСД за розкладом, випиши всі прості множники, що є спільними в обох чисел, і візьми їх з найменшим степенем, який трапляється в розкладах.

Розгляньмо числа 360 і 84. Їхні розклади: 360 = 2³ · 3² · 5, 84 = 2² · 3 · 7. Спільні прості множники — 2 і 3. Найменший степінь двійки — 2² (є в 84), найменший степінь трійки — 3¹ (є в 84). Отже, НСД(360; 84) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.

Перевіряємо: 360 : 12 = 30, 84 : 12 = 7. Справді, 12 — найбільше число, на яке діляться обидва числа.

НСК — добуток усіх множників у найбільших степенях

НСК(a; b) — це найменше натуральне число, що ділиться і на a, і на b. За розкладом потрібно взяти всі прості множники, що є хоча б в одному з чисел, і кожен — у найбільшому степені, який трапляється.

Для тих самих чисел 360 і 84: усі наявні прості множники — 2, 3, 5, 7. Найбільший степінь двійки — 2³ (є в 360), найбільший степінь трійки — 3² (є в 360), п'ятірка і сімка — по 1. Отже, НСК(360; 84) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 8 · 9 · 5 · 7 = 2 520.

Зв'язок НСД і НСК: a · b = НСД(a; b) · НСК(a; b)

Для двох чисел добуток НСД і НСК дорівнює добутку самих чисел. Перевіряємо: 12 · 2 520 = 30 240, і 360 · 84 = 30 240. Збіглося.

З цієї рівності випливають дві корисні формули: НСК(a; b) = a · b : НСД(a; b). А також, якщо відомі НСД, НСК та одне з чисел, можна знайти друге: b = НСД · НСК : a.

Окремі випадки

Якщо одне число ділиться на інше, то НСД дорівнює меншому числу, а НСК — більшому. Наприклад, НСД(12; 36) = 12 (бо 12 ділить 36), НСК(12; 36) = 36.

Якщо числа взаємно прості (не мають спільних простих дільників), то НСД = 1, а НСК = a · b. Наприклад, 8 = 2³ і 15 = 3 · 5 — спільних простих множників немає, тому НСД(8; 15) = 1, НСК(8; 15) = 8 · 15 = 120.

Для трьох і більше чисел (профільний рівень)

Правило для трьох чисел те саме: НСД — спільні множники в найменших степенях, НСК — усі множники в найбільших степенях. Наприклад, 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5. НСД(12; 18; 30) = 2 · 3 = 6. НСК = 2² · 3² · 5 = 180.

Важливо: рівність «НСД · НСК = добуток чисел» виконується лише для двох чисел! Для трьох і більше чисел вона не працює. Наприклад, 6 · 180 = 1 080, а 12 · 18 · 30 = 6 480 — не рівні.

Головна складність текстових задач на НСД і НСК — правильно визначити, яку саме величину шукати. Розберімо типові ситуації.

НСД: ділимо ціле на однакові частини

НСД шукають тоді, коли ціле треба поділити на однакові частини без залишку, і питають про найбільшу частину або найбільшу кількість однакових наборів.

Приклад із фруктами. Є 48 яблук і 36 груш. Потрібно скласти найбільшу можливу кількість однакових наборів, використавши всі фрукти. Скільки наборів вийде? Кількість наборів має ділити і 48, і 36. Найбільша така кількість — НСД(48; 36). Розклад: 48 = 2⁴ · 3, 36 = 2² · 3². НСД = 2² · 3 = 12. Отже, 12 наборів, у кожному 48 : 12 = 4 яблука і 36 : 12 = 3 груші.

НСД у геометрії

Прямокутний аркуш паперу 84 см × 60 см потрібно розрізати на однакові квадрати найбільшого розміру без залишку. Сторона квадрата має ділити і 84, і 60. Найбільша можлива сторона — НСД(84; 60) = 12 см. Скільки квадратів вийде? По довжині 84 : 12 = 7 квадратів, по ширині 60 : 12 = 5 квадратів, всього 7 · 5 = 35 квадратів.

НСК: події, що повторюються

НСК шукають, коли події повторюються з різними періодами, і питають про найближчий спільний момент, коли вони збігаються.

Приклад з автобусами. Два автобуси відправляються від кінцевої зупинки одночасно о 7:00. Перший робить рейс за 12 хв, другий — за 18 хв. Через скільки хвилин вони знову опиняться на зупинці одночасно? Час має ділитися і на 12, і на 18. Шукаємо НСК(12; 18). Розклад: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². НСК = 2² · 3² = 36 хв. Зустріч — о 7:36.

Сигнальні слова

Щоб не плутати, запам'ятай підказки:

• «найбільша кількість», «найбільший розмір», «розділити порівну без залишку» — шукай НСД;

• «найменша кількість», «через який найменший час», «знову одночасно», «разом найближчим часом» — шукай НСК.

Перевірка здоровим глуздом

НСД не може бути більшим за менше з чисел. Якщо в тебе вийшов НСД більший за менше число — помилка. НСК не може бути меншим за більше з чисел. Якщо НСК вийшов меншим — теж помилка. Ці прості перевірки рятують на тесті.

Розв'яжемо кілька типових завдань на НСД і НСК — саме таких, які трапляються на НМТ. Кожне розібрано покроково.

Приклад 1. Знайдіть найменше спільне кратне чисел 90 і 84

Завдання: вибрати одну відповідь з п'яти.

Крок 1. Розкладаємо числа на прості множники: 90 = 2 · 3² · 5; 84 = 2² · 3 · 7.

Крок 2. Для НСК беремо всі прості множники в найбільших степенях: 2², 3², 5, 7.

Крок 3. Обчислюємо: 2² · 3² · 5 · 7 = 4 · 9 · 5 · 7 = 1 260.

Відповідь: 1 260.

Чому інші варіанти неправильні? 6 — це НСД(90; 84), а не НСК. 7 560 — це добуток 90 · 84 (він дорівнює НСК лише для взаємно простих чисел, а 90 і 84 не взаємно прості). 630 — результат, коли двійку взяли в першому степені (2¹ замість 2²), тобто помилка у виборі степеня.

Приклад 2. Троянди в букетах

Завдання: «Є 60 червоних і 84 білі троянди. Яку найбільшу кількість однакових букетів можна скласти з усіх троянд?»

Крок 1. Сигнальне слово «найбільшу кількість однакових букетів» вказує на НСД.

Крок 2. Розклад: 60 = 2² · 3 · 5; 84 = 2² · 3 · 7.

Крок 3. НСД(60; 84) = 2² · 3 = 4 · 3 = 12.

Крок 4. У кожному букеті: 60 : 12 = 5 червоних троянд, 84 : 12 = 7 білих троянд.

Відповідь: 12 букетів.

Пастка: деякі учні шукають НСК(60; 84) = 420, думаючи, що «найбільша кількість» потребує «найбільшого числа». Але 420 букетів неможливо скласти з 60 червоних троянд — у кожному букеті було б менш ніж одна троянда. НСД не більший за менше число (12 ≤ 60 — правда), а НСК 420 не менший за більше число (420 ≥ 84 — правда, але це не те, що питається).

Приклад 3. Автобуси на зупинці

Завдання: «Два автобуси вирушили з кінцевої зупинки о 6:00; перший повертається на неї кожні 45 хв, другий — кожні 60 хв. О котрій годині вони вперше знову будуть на зупинці одночасно?»

Крок 1. Сигнальне слово «вперше знову одночасно» вказує на НСК.

Крок 2. Розклад: 45 = 3² · 5; 60 = 2² · 3 · 5.

Крок 3. НСК(45; 60) = 2² · 3² · 5 = 4 · 9 · 5 = 180 хв.

Крок 4. 180 хв = 3 год. 6:00 + 3 год = 9:00.

Відповідь: 9:00.

Типові помилки: 6:15 — це НСД(45; 60) = 15 хв, але за 15 хв автобуси не встигнуть зробити повний рейс; 7:45 — просто додали 45 + 60 = 105 хв, не розуміючи, що час зустрічі має ділитися і на 45, і на 60. Перевірка: 180 ≥ 60 (НСК не менший за більше число) — умова виконується.

Приклад 4. Знайти друге число через НСД і НСК

Завдання: «НСД двох чисел дорівнює 6, НСК — 180, одне з чисел 36. Знайдіть друге число.»

Крок 1. Використовуємо рівність НСД(a; b) · НСК(a; b) = a · b.

Крок 2. Нехай a = 36, НСД = 6, НСК = 180. Тоді 36 · b = 6 · 180 = 1 080.

Крок 3. b = 1 080 : 36 = 30.

Перевірка: 36 = 2² · 3², 30 = 2 · 3 · 5. Спільні множники в найменших степенях: 2 · 3 = 6 — НСД збігається. Усі множники в найбільших степенях: 2² · 3² · 5 = 180 — НСК збігається.

Відповідь: 30.

Приклад 5. Яке з чисел є простим?

Завдання: «Яке з чисел є простим?» Варіанти: 51, 57, 87, 91, 97.

Крок 1. Перевіряємо кожне число на простоту.

51: 5 + 1 = 6, ділиться на 3. 51 = 3 · 17 — складене.

57: 5 + 7 = 12, ділиться на 3. 57 = 3 · 19 — складене.

87: 8 + 7 = 15, ділиться на 3. 87 = 3 · 29 — складене.

91 = 7 · 13 — складене (перевіряємо подільність на 7).

97: не ділиться на 2, 3, 5, 7. 11² = 121 > 97, отже, 97 — просте.

Відповідь: 97.

Чому інші варіанти неправильні? Усі чотири дистрактори діляться на 3 або на 7. Учні часто вважають 91 «простим», бо не пам'ятають таблицю множення 7 · 13.

Розберемо найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час роботи з НСД і НСК. Знаючи їх, ти легко уникнеш пасток на НМТ.

• Плутають НСД і НСК у текстових задачах. Для «найбільшої кількості наборів» помилково шукають НСК, а для «одночасної зустрічі» — НСД. Запам'ятай: якщо ділимо ціле на частини — НСД; якщо події збігаються в часі — НСК. Перевірка: НСД не більший за менше число, НСК не менший за більше.

• Вважають 1 простим числом. Насправді 1 має лише один дільник, тому не є ні простим, ні складеним. Вважають 2 складеним «бо парне». Насправді 2 — єдине парне просте число, бо інші парні числа мають дільник 2, окрім 1 і себе.

• Приймають 51, 57, 87 або 91 за прості числа. 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 87 = 3 · 29, 91 = 7 · 13. Усі вони складені. Завжди перевіряй подільність на 3 (сума цифр) і на 7 (безпосереднім діленням).

• У НСД беруть множники в найбільших степенях, а в НСК — у найменших. Правильно навпаки: НСД — спільні множники в найменших степенях, НСК — усі множники в найбільших степенях.

• У НСК пропускають множник, що є лише в одному числі. Наприклад, у НСК(360; 84) забувають додати 7 (який є лише в 84) або 5 (який є лише в 360). НСК мусить ділитися на кожне з чисел, тому всі унікальні множники обов'язкові.

• За НСК беруть добуток a · b. Це правильно лише для взаємно простих чисел. У загальному випадку НСК менший за добуток, бо спільні множники враховуються один раз.

• Розкладають на непрості множники (360 = 4 · 9 · 10) і шукають НСД за ними. Це призводить до помилки, бо 4, 9 і 10 самі складені. Завершувати розклад потрібно до простих чисел.

• Застосовують рівність НСД · НСК = добуток до трьох чисел. Ця рівність працює лише для двох чисел! Для трьох чисел вона не виконується.

Знання про НСД і НСК перевіряють у межах теми 1.1 програми НМТ «Дійсні числа (натуральні, раціональні та ірраціональні), порівняння чисел та дії з ними». Ось що варто знати про формат.

Формат завдань

На НМТ з математики завдання на НСД і НСК можуть трапитися серед завдань з вибором однієї відповіді з п'яти; також НСД чи НСК буває кроком розв'язання інших задач:

• Вибір однієї правильної відповіді з п'яти (завдання 1–15, А–Д) — 0 або 1 бал. У таких завданнях подано кілька варіантів, і ти обираєш правильний.

• НСД чи НСК як проміжний крок іншої задачі (наприклад, текстової). Помилка в цьому кроці зіпсує всю відповідь, тож перевіряй знайдене число діленням.

Для двох чисел НСД і НСК — рівень стандарту. Для трьох і більше чисел — лише профільний рівень (позначка П).

Довідкові матеріали

У довідкових матеріалах НМТ немає ні правил знаходження НСД і НСК, ні переліку простих чисел. Усе це потрібно знати напам'ять. Жодних таблиць із простими числами не буде.

Стратегія виконання

• Розкладай числа на прості множники в чернетці — це не перевіряють, але це найнадійніший спосіб уникнути помилки.

• Завжди перевіряй відповідь простим діленням: знайдене НСК має ділитися на кожне з чисел, знайдений НСД має ділити кожне з чисел.

• У текстовій задачі спершу визнач, що шукати (НСД чи НСК), за сигнальними словами.

Весь тест НМТ з математики містить 22 завдання, на які відведено орієнтовно 60 хвилин. Тому на одне завдання варто витрачати не більше 2–3 хвилин.

• Просте число має рівно два дільники; 1 — ні просте, ні складене; 2 — єдине парне просте.

• Розклад на прості множники єдиний, записуй його в степеневій формі.

• НСД — спільні прості множники в найменших степенях; НСК — усі множники в найбільших степенях.

• Для двох чисел НСД(a; b) · НСК(a; b) = a · b.

• «Найбільше однакових частин» — НСД; «знову одночасно», «найменше спільне» — НСК.

• НСД не більший за менше число, НСК не менший за більше.