Напруженість електричного поля і принцип суперпозиції

Електричне поле — це особлива форма матерії, яка існує навколо будь-якого зарядженого тіла. Його не видно, але воно діє на інші заряджені тіла з певною силою. Саме через електричне поле один заряд «відчуває» присутність іншого, навіть якщо між ними немає безпосереднього контакту. Щоб виміряти поле в певній точці, туди поміщають пробний додатний заряд і визначають силу, яка на нього діє.

Напруженість електричного поля

Силовою характеристикою електричного поля є напруженість E. Її визначають як відношення сили F, що діє на пробний заряд q, до величини цього заряду:

$$E=\frac{F}{q}$$

Напруженість — векторна величина. Її напрям збігається з напрямом сили, що діє на додатний пробний заряд. Якщо заряд від’ємний, сила діє в протилежному напрямі. Одиниця напруженості в СІ — ньютон на кулон (Н/Кл), що еквівалентно вольту на метр (В/м).

Сила, що діє на заряд у полі

Якщо відома напруженість E у деякій точці, то силу, яка діятиме на заряд q, поміщений у цю точку, знаходять за формулою:

$$F=q\cdot E$$

Для додатного заряду сила F напрямлена так само, як E; для від’ємного — протилежно. Це важливо пам’ятати під час розв’язування задач: знак заряду визначає напрям сили.

Лінії напруженості

Для наочного зображення поля використовують лінії напруженості (силові лінії). Вони мають такі властивості:

• починаються на додатних зарядах і закінчуються на від’ємних (або йдуть у нескінченність, якщо заряди ізольовані)

• ніколи не перетинаються — у кожній точці поля напруженість має єдиний напрям

• дотична до лінії в будь-якій точці збігається з напрямом вектора E у цій точці

• густина ліній (скільки ліній проходить через одиницю площі) показує, наскільки сильне поле: де лінії густіші, там напруженість більша

За лініями напруженості можна якісно оцінити поле, не виконуючи обчислень. Наприклад, біля точкового заряду лінії радіально розходяться (від додатного) або сходяться (до від’ємного).

Точковий заряд — це заряджене тіло, розмірами якого можна знехтувати порівняно з відстанню до точки спостереження. Для такого заряду напруженість поля обчислюють за формулою:

$$E=\frac{k\cdot |q|}{\epsilon \cdot r^2}$$

де k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² — стала Кулона, q — заряд, ε — діелектрична проникність середовища (для вакууму ε = 1), r — відстань від заряду до точки.

Напрям і залежність від відстані

Вектор напруженості напрямлений від додатного заряду (радіально назовні) і до від’ємного заряду (радіально всередину). Залежність від відстані обернено пропорційна квадрату відстані: якщо відстань збільшити вдвічі, напруженість зменшиться в 4 рази. Це ключова властивість кулонівського поля.

Приклад розрахунку

Нехай точковий заряд q = 4 нКл перебуває у вакуумі. Знайдемо напруженість поля на відстані r = 3 см = 0,03 м:

$$E=\frac{9\cdot 10^9\cdot 4\cdot 10^{-9}}{1\cdot (0,03{)}^2}=\frac{36}{9\cdot 10^{-4}}=4\cdot 10^4\text{Н/Кл}$$

Отже, напруженість поля в цій точці дорівнює $4\cdot 10^4$ Н/Кл, або 40 кН/Кл.

Поле зарядженої провідної кулі

Заряджена провідна куля радіусом R створює поле, яке залежить від того, де розташована точка спостереження:

Чому всередині провідної кулі поле нульове? Усі надлишкові заряди розташовуються на поверхні провідника. Усередині металевої кулі заряди відсутні, тому за теоремою Гауса (або з міркувань симетрії) напруженість дорівнює нулю. Це важливий результат: увійшовши всередину зарядженої провідної кулі, ви опинитеся в області, де електричного поля немає.

Вплив діелектрика

Якщо точковий заряд перебуває не у вакуумі, а в діелектричному середовищі (наприклад, у воді, маслі, склі), напруженість поля зменшується в ε разів порівняно з вакуумом. Діелектрична проникність ε показує, у скільки разів поле в середовищі слабкіше, ніж у вакуумі. Наприклад, для води ε ≈ 81, тому поле точкового заряду у воді буде в 81 раз слабкішим, ніж у вакуумі.

Якщо поле створюють кілька зарядів, то напруженість у будь-якій точці дорівнює векторній сумі напруженостей, створених кожним зарядом окремо. Це твердження називають принципом суперпозиції (накладання) електричних полів:

$$\vec{E}={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2+\cdots +{\vec{E}}_n$$

Найважливіше правило: додають вектори, а не модулі. Не можна просто скласти числові значення напруженостей, не врахувавши, куди вони напрямлені. Розглянемо найпоширеніші випадки.

Колінеарні вектори (на одній прямій)

Коли обидва вектори напруженості лежать на одній прямій, можливі два варіанти:

• Якщо E₁ і E₂ напрямлені однаково, то модуль суми дорівнює сумі модулів: E = E₁ + E₂

• Якщо E₁ і E₂ напрямлені протилежно, то модуль суми дорівнює модулю різниці: E = |E₁ − E₂|

Важливі окремі випадки:

• Посередині між двома однаковими додатними зарядами вектори E₁ і E₂ напрямлені в протилежні боки й однакові за модулем, тому E = 0

• Посередині між двома різнойменними зарядами (+q і −q) вектори напрямлені в один бік (обидва від додатного до від’ємного), тому E = 2E₁

Перпендикулярні вектори

Якщо вектори E₁ і E₂ взаємно перпендикулярні, модуль суми знаходять за теоремою Піфагора:

$$E=\sqrt{E_1^2+E_2^2}$$

Приклад: два однакові додатні заряди по +4 нКл розташовані на перпендикулярних катетах на однаковій відстані 3 см від вершини прямого кута. Напруженість від кожного заряду у вершині: E₁ = E₂ = 4·10⁴ Н/Кл. Тоді модуль сумарної напруженості:

$$E=\sqrt{(4\cdot 10^4{)}^2+(4\cdot 10^4{)}^2}=4\cdot 10^4\cdot \sqrt{2}\approx 5,7\cdot 10^4\text{Н/Кл}$$

Довільний кут між векторами

Якщо вектори E₁ і E₂ утворюють кут α, модуль суми обчислюють за теоремою косинусів:

$$E^2=E_1^2+E_2^2+2E_1{E}_2\cos \alpha$$

де α — кут між векторами E₁ і E₂. Зверни увагу: коли α = 90°, cos α = 0, і формула зводиться до теореми Піфагора.

Як знайти точку, де E = 0

Для двох зарядів точку нульової напруженості шукають так:

• Однойменні заряди: точка лежить на прямій між зарядами, ближче до меншого заряду. Умова: E₁ = E₂

• Різнойменні заряди: точка лежить на прямій поза зарядами, ближче до меншого за модулем заряду. Умова: E₁ = E₂

У будь-якому випадку розв’язують рівняння k|q₁|/r₁² = k|q₂|/r₂², скорочують k і знаходять співвідношення відстаней.

Приклад 1. Напруженість поля точкового заряду

Точковий заряд 5 нКл перебуває у вакуумі. Визнач напруженість електричного поля на відстані 3 см від цього заряду. Відповідь подай у кН/Кл.

Розв’язання:

Запишемо формулу для напруженості поля точкового заряду у вакуумі (ε = 1):

$$E=\frac{k\cdot |q|}{r^2}$$

Підставимо значення: k = 9·10⁹ Н·м²/Кл², q = 5·10⁻⁹ Кл, r = 0,03 м.

$$E=\frac{9\cdot 10^9\cdot 5\cdot 10^{-9}}{(0,03{)}^2}=\frac{45}{9\cdot 10^{-4}}=5\cdot 10^4\text{Н/Кл}$$

Переведемо в кН/Кл: $5\cdot 10^4$ Н/Кл = 50 кН/Кл.

Відповідь: 50 кН/Кл.

Типова помилка: забути перевести сантиметри в метри. Якщо підставити r = 3 см, а не 0,03 м, результат буде в 10 000 разів меншим. Завжди перевіряй одиниці!

Приклад 2. Поле двох однакових додатних зарядів

Два однакові точкові додатні заряди розташовані на відстані 2a один від одного. Чому дорівнює напруженість електричного поля в точці, що лежить посередині між ними?

Розв’язання:

У точці посередині відстань до кожного заряду дорівнює a. Від додатного заряду лінії напруженості напрямлені радіально назовні. Тому вектор E₁ від першого заряду напрямлений ліворуч (якщо перший заряд ліворуч), а вектор E₂ від другого — праворуч. Вони протилежні за напрямом і однакові за модулем:

$$E_1=E_2=\frac{kq}{a^2}$$

Оскільки вектори протилежні, їхня векторна сума дорівнює нулю:

$$E=E_1-E_2=0$$

Відповідь: 0.

Чому це важливо? Якщо просто додати модулі, отримаєш 2E₁ — це неправильно. Напруженість — вектор, і напрям має вирішальне значення.

Приклад 3. Перпендикулярні складники напруженості

У деякій точці електричне поле створюють два заряди. Напруженість поля першого заряду дорівнює 30 кН/Кл, другого — 40 кН/Кл. Вектори напруженості взаємно перпендикулярні. Знайди модуль сумарної напруженості в цій точці. Відповідь подай у кН/Кл.

Розв’язання:

Для перпендикулярних векторів застосовуємо теорему Піфагора:

$$E=\sqrt{E_1^2+E_2^2}=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\text{кН/Кл}$$

Відповідь: 50 кН/Кл.

Зверни увагу: числа 30 і 40 утворюють єгипетський трикутник (3:4:5), тому результат 50. Якби вектори були напрямлені в один бік, сума становила б 70 кН/Кл; якби в протилежні — 10 кН/Кл. Напрям змінює все!

Приклад 4. Поле зарядженої провідної кулі

Металева куля радіусом R має додатний заряд q. Як змінюється напруженість електричного поля залежно від відстані r від центра кулі?

Розв’язання:

Для провідної зарядженої кулі поле існує лише зовні неї. Усередині кулі (r < R) напруженість дорівнює нулю, оскільки всі надлишкові заряди розташовані на поверхні. Зовні кулі (r ≥ R) поле збігається з полем точкового заряду q, розташованого в центрі кулі:

$$E=\{\begin{array}{ll}0,& r<R\\ \frac{kq}{\epsilon r^2},& r\ge R\end{array}$$

Отже, всередині кулі напруженість дорівнює нулю, а зовні спадає обернено пропорційно квадрату відстані (як 1/r²).

Відповідь: всередині 0, зовні спадає як 1/r².

Типова помилка: вважати, що всередині кулі поле таке саме, як на поверхні, або що воно лінійно зростає. Пам’ятай: у провіднику в електростатиці поля всередині немає.

• Додавати модулі напруженостей без урахування їхніх напрямів. Напруженість — вектор. Якщо два вектори напрямлені в протилежні боки, їхні модулі віднімаються, а не додаються. Наприклад, посередині між двома однаковими додатними зарядами E = 0, а не 2E₁. Завжди малюй вектори перед обчисленням.

• Забувати, що напруженість — вектор, і не враховувати знак заряду. Від’ємний заряд створює поле, напрямлене до себе, а додатний — від себе. Якщо не врахувати знак, напрям вектора буде протилежним правильному, і суперпозицію обчислиш неправильно.

• Вважати, що всередині зарядженої провідної кулі поле не нульове. Це одна з найпоширеніших помилок. У провіднику в електростатиці всі надлишкові заряди розташовані на поверхні, тому всередині поля немає (E = 0). Це стосується будь-якої порожнистої провідної оболонки, а не лише суцільної кулі.

• Брати відстань r від краю кулі, а не від центру. Для зарядженої кулі формула E = kq/(εr²) працює з відстанню від центра кулі, а не від її поверхні. Якщо точка міститься на відстані 2 см від поверхні кулі радіусом 5 см, то r = 5 + 2 = 7 см, а не 2 см.

• Плутати напруженість (силова характеристика) із силою: E = F/q, а не F. Напруженість — це сила, що діє на одиничний пробний заряд. Щоб отримати силу, потрібно помножити напруженість на заряд: F = qE. Не плутай ці дві величини — вони мають різні одиниці (Н/Кл і Н).

У довідкових матеріалах НМТ з фізики наведено формулу напруженості поля точкового заряду у вакуумі E = k|Q|/r² і принцип суперпозиції полів. Сталої k в довіднику немає — її значення (9·10⁹ Н·м²/Кл²) дають в умові задачі.

Програма НМТ з фізики (тема 3.1 «Основи електростатики») вимагає від тебе:

• обчислювати напруженість поля точкового заряду й зарядженої провідної кулі;

• аналізувати графічне зображення електричного поля (лінії напруженості);

• застосовувати принцип суперпозиції для знаходження напруженості поля кількох зарядів.

У демонстраційному варіанті НМТ-2026 тему «Основи електростатики» представлено завданнями № 7 (закон Кулона) і № 20 (конденсатори); окремого завдання на напруженість і суперпозицію там немає. Завдання можуть бути як з вибором однієї відповіді (1 бал), так і з короткою відповіддю (2 бали).

Стратегія розв’язування

Щоб не помилитися в задачах на суперпозицію, дотримуйся такого алгоритму:

1. Намалюй у заданій точці вектори напруженості від кожного заряду окремо. Пам’ятай: від додатного заряду вектор напрямлений геть, до від’ємного — всередину.

2. Визнач, чи лежать вектори на одній прямій, чи під кутом. Якщо на одній прямій — додай або відніми модулі залежно від напряму.

3. Якщо вектори неколінеарні, розклади їх на взаємно перпендикулярні осі (наприклад, Ox і Oy).

4. Знайди проекції сумарного вектора на кожну вісь: E_x = E₁_x + E₂_x + …, E_y = E₁_y + E₂_y + …

5. Обчисли модуль сумарної напруженості: E = √(E_x² + E_y²).

Такий підхід гарантує, що ти не забудеш про векторний характер напруженості й не додаси модулі там, де вектори напрямлені в різні боки.

• Напруженість — силова характеристика поля: E = F/q, одиниця — Н/Кл = В/м. Сила, що діє на заряд: F = qE.

• Поле точкового заряду й зарядженої кулі зовні: E = kq/(εr²). Всередині провідної кулі E = 0.

• Принцип суперпозиції: E⃗ = E⃗₁ + E⃗₂ + … — вектори додають геометрично, а не арифметично.

• Лінії напруженості починаються на додатних зарядах і закінчуються на від’ємних; густіше розташовані лінії відповідають сильнішому полю.

• Посередині між двома однаковими додатними зарядами E = 0; між різнойменними — E = 2E₁. Для перпендикулярних складників: E = √(E₁² + E₂²).