Магнітний потік

Уявімо замкнений дротяний контур, розташований у магнітному полі. Крізь нього проходить певна кількість ліній магнітної індукції. Саме цю кількість — а точніше, міру того, наскільки густо лінії пронизують контур — називають магнітним потоком і позначають грецькою літерою Φ (фі).

Магнітний потік Φ — це скалярна фізична величина, яка характеризує число ліній магнітної індукції, що пронизують замкнений контур. Для однорідного магнітного поля й плоского контуру його обчислюють за формулою:

$$\Phi =BS\cdot \cos \alpha$$

Тут B — модуль вектора магнітної індукції (у теслах, Тл), S — площа контуру (у квадратних метрах, м²), а α — кут між вектором B⃗ і нормаллю n⃗ до площини контуру.

Що таке нормаль і чому кут α?

Нормаль — це уявний перпендикуляр до площини контуру. Якщо контур лежить на столі, нормаль напрямлена вертикально вгору (або вниз — напрям обирають довільно). Кут α — це кут між вектором магнітної індукції B⃗ і цією нормаллю n⃗. Важливо не плутати: кут між B⃗ і самою площиною контуру дорівнює 90° − α. Якщо лінії поля перпендикулярні до площини, то α = 0°; якщо паралельні площині, то α = 90°.

Одиниця вимірювання — вебер

У СІ магнітний потік вимірюють у веберах (Вб). Один вебер — це потік, який створює однорідне поле індукцією 1 Тл через плоску поверхню площею 1 м², розташовану перпендикулярно до ліній поля:

$$1\text{Вб}=1\text{Тл}\cdot {\text{м}}^2$$

На практиці площу контуру часто дають у квадратних сантиметрах (см²). Обов'язково переводи її в квадратні метри:

• 500 см² = 500 · 10⁻⁴ м² = 0,05 м²

• 200 см² = 200 · 10⁻⁴ м² = 0,02 м²

• 20 см² = 20 · 10⁻⁴ м² = 2 · 10⁻³ м²

Числовий приклад

Нехай B = 0,2 Тл, площа контуру S = 0,05 м², а кут між B⃗ і нормаллю α = 60°. Тоді cos 60° = 0,5, і магнітний потік дорівнює:

$$\Phi =0,2\cdot 0,05\cdot 0,5=0,005\text{Вб}=5\text{мВб}$$

Відповідь можна записати як 5 мВб (мілівеберів) або 5 · 10⁻³ Вб.

Додатний, від'ємний і нульовий потік

Хоча магнітний потік — скаляр, він може бути додатним, від'ємним або нульовим залежно від знака cos α:

• якщо α < 90° (cos α > 0) — потік додатний;

• якщо α = 90° (cos α = 0) — потік дорівнює нулю;

• якщо α > 90° (cos α < 0) — потік від'ємний.

Від'ємний потік означає, що лінії індукції пронизують контур у напрямі, протилежному до обраного напряму нормалі. Це важливо, коли обчислюють зміну потоку ΔΦ = Φ₂ − Φ₁.

Магнітний потік через контур залежить від того, під яким кутом лінії індукції перетинають площину контуру. Розгляньмо три характерні положення.

Потік максимальний: α = 0°

Коли площина контуру перпендикулярна до ліній магнітної індукції, вектор B⃗ збігається з напрямом нормалі n⃗. Кут α = 0°, cos 0° = 1, тому магнітний потік найбільший:

$${\Phi }_{\max }=BS$$

У цьому положенні всі лінії індукції, які потрапляють у контур, пронизують його наскрізь.

Потік нульовий: α = 90°

Коли площина контуру паралельна лініям індукції, вектор B⃗ перпендикулярний до нормалі. Кут α = 90°, cos 90° = 0, тому магнітний потік дорівнює нулю:

$$\Phi =0$$

Лінії індукції ковзають уздовж площини контуру, не перетинаючи її. Жодна лінія не проходить крізь контур.

Потік від'ємний: α = 180°

Якщо контур повернути на 180° відносно початкового положення, нормаль n⃗ буде напрямлена протилежно до B⃗. Кут α = 180°, cos 180° = −1, тому:

$$\Phi =-BS$$

Зміна потоку після повороту на 180° зі стартового положення (α = 0°) становить:

$$\Delta \Phi ={\Phi }_2-{\Phi }_1=(-BS)-(BS)=-2BS$$

Тобто потік змінюється на величину, вдвічі більшу за початковий, але з протилежним знаком.

Проміжні кути

Для інших кутів потік обчислюють через cos α. У задачах зазвичай використовують такі «табличні» кути:

Поворот рамки на 60° із положення, перпендикулярного до ліній (α = 0°), зменшує потік удвічі, оскільки cos 60° = 0,5. Поворот на 30° дає Φ = BS·√3/2 ≈ 0,87·BS, а на 45° — Φ = BS·√2/2 ≈ 0,71·BS.

Рамка, що обертається рівномірно

Якщо рамка обертається в однорідному магнітному полі з кутовою швидкістю ω, то кут α змінюється з часом за законом α = ωt. Тоді магнітний потік змінюється періодично:

$$\Phi =BS\cdot \cos (\omega t)$$

Це гармонічне коливання потоку — основа принципу дії генератора змінного струму. Детально цей механізм розглядають у відповідному юніті.

Магнітний потік Φ = BS·cos α може змінюватися, якщо змінюється хоча б одна з трьох величин: індукція магнітного поля B, площа контуру S або кут α між вектором індукції та нормаллю. Розгляньмо кожен спосіб окремо.

Зміна індукції B

Якщо магнітне поле посилюється або послаблюється, потік через контур змінюється пропорційно до B. На практиці це відбувається, коли:

• наближати або віддаляти магніт від контуру — чим ближче магніт, тим більша індукція в зоні контуру;

• змінювати силу струму в сусідній котушці — більший струм створює сильніше магнітне поле;

• вводити в котушку, яка створює поле, або виводити з неї феромагнітне осердя.

Зміна площі контуру S

Потік змінюється, коли контур деформується або змінює свою площу в межах магнітного поля. Приклади:

• розтягування або стискання дротяної рамки — площа S зростає чи спадає;

• ковзання провідника по двох паралельних рейках у магнітному полі — замкнена площа між рейками й провідником збільшується, тому потік зростає.

Зміна кута α (орієнтації контуру)

Обертання рамки в магнітному полі змінює кут між вектором індукції та нормаллю. Навіть якщо B і S не змінюються, потік змінюється через cos α. Саме так працює генератор змінного струму: рамка обертається, потік періодично змінюється від +BS до −BS.

Коли потік не змінюється

Важливий окремий випадок: якщо контур рухається поступально в однорідному магнітному полі, а його площа й орієнтація залишаються незмінними, то магнітний потік через контур не змінюється. У такому разі індукційний струм не виникає — це демонструє дослід, у якому рамку переміщують між полюсами магніту, не обертаючи її.

Потокозчеплення для котушки з N витків

Якщо контур має N однакових витків (наприклад, котушка), то магнітний потік через один виток обчислюють за тією самою формулою Φ = BS·cos α. Повний потік, який пронизує всі витки, називають потокозчепленням:

$$\Psi =N\Phi$$

Саме цю величину використовують у законі електромагнітної індукції для котушок. Докладно — у наступному юніті «Закон електромагнітної індукції».

У цьому розділі розв'яжемо типові задачі на магнітний потік у форматі НМТ.

Приклад 1. Обчислення потоку з переведенням площі

Рамка площею 200 см² розташована в однорідному магнітному полі з індукцією 0,3 Тл так, що лінії індукції перпендикулярні до її площини. Визнач магнітний потік через рамку в мілівеберах.

Розв'язання:

• Переводимо площу в квадратні метри: 200 см² = 200 · 10⁻⁴ м² = 0,02 м².

• Лінії індукції перпендикулярні до площини, отже, α = 0°, cos 0° = 1.

• Обчислюємо потік: Φ = BS·cos α = 0,3 · 0,02 · 1 = 0,006 Вб.

• Переводимо в мілівебери: 0,006 Вб = 6 мВб.

Відповідь: 6.

Типова пастка: не перевести площу з см² у м². Якщо взяти S = 200 замість 0,02, отримаєш Φ = 60 Вб — це неправильно, бо 1 м² = 10 000 см², а не 100.

Приклад 2. Поворот рамки на 60°

Рамка розташована в однорідному магнітному полі перпендикулярно до ліній індукції. Як зміниться магнітний потік через рамку, якщо її повернути на 60°?

• А) зросте вдвічі

• Б) зменшиться вдвічі

• В) зменшиться до нуля

• Г) не зміниться

Розв'язання: Початкове положення — площина рамки перпендикулярна до ліній, отже, α₁ = 0°, Φ₁ = BS. Після повороту на 60° кут між B⃗ і нормаллю стає α₂ = 60°, cos 60° = 0,5. Отже, Φ₂ = BS·0,5 = 0,5·Φ₁. Потік зменшився вдвічі.

Відповідь: Б) зменшиться вдвічі.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) зросте вдвічі — cos 60° = 0,5, а не 2; потік не може зрости, якщо рамку відхиляють від перпендикулярного положення.

• В) зменшиться до нуля — для нульового потоку потрібен кут 90°, а не 60°.

• Г) не зміниться — зміна кута завжди змінює cos α, а отже, і потік.

Приклад 3. Положення з нульовим потоком

У якому положенні рамки в однорідному магнітному полі магнітний потік через неї дорівнює нулю?

• А) площина рамки перпендикулярна до ліній індукції

• Б) площина рамки паралельна лініям індукції

• В) площина рамки утворює кут 45° з лініями індукції

• Г) рамка нерухома

Розв'язання: Магнітний потік дорівнює нулю, коли cos α = 0, тобто α = 90°. Кут α = 90° означає, що вектор B⃗ перпендикулярний до нормалі, а отже, площина контуру паралельна лініям індукції.

Відповідь: Б) площина рамки паралельна лініям індукції.

Чому інші варіанти неправильні:

• А) площина перпендикулярна до ліній — це α = 0°, потік максимальний, а не нульовий.

• В) кут 45° — cos 45° ≈ 0,71, потік не дорівнює нулю.

• Г) нерухомість рамки не гарантує нульового потоку — потік залежить від орієнтації, а не від руху.

Приклад 4. Зміна потоку через зміну площі

Площа контуру в однорідному магнітному полі з індукцією 0,5 Тл змінилась від 0,04 м² до 0,10 м² за сталої орієнтації α = 0°. Визнач зміну магнітного потоку в мілівеберах.

Розв'язання:

• Початковий потік: Φ₁ = B·S₁·cos 0° = 0,5 · 0,04 · 1 = 0,02 Вб.

• Кінцевий потік: Φ₂ = B·S₂·cos 0° = 0,5 · 0,10 · 1 = 0,05 Вб.

• Зміна потоку: ΔΦ = Φ₂ − Φ₁ = 0,05 − 0,02 = 0,03 Вб = 30 мВб.

Відповідь: 30.

• Брати кут між B⃗ і площиною контуру замість кута між B⃗ і нормаллю. Якщо в задачі сказано, що площина контуру утворює кут 30° з лініями індукції, то α = 90° − 30° = 60°. Помилково підставляють cos 30° замість cos 60°. (Зауваж: sin 30° = cos 60°, тож через кут між вектором індукції та площиною можна рахувати Φ = BS·sin 30°.) Правильно: завжди визначай α як кут між B⃗ і нормаллю n⃗, а не між B⃗ і площиною.

• Забувати переводити см² у м² або мТл у Тл. Площа в см² — поширена пастка в задачах. 1 м² = 10 000 см², тому 200 см² = 0,02 м², а не 2 м². Аналогічно з мілітеслами: 50 мТл = 0,05 Тл.

• Думати, що потік максимальний, коли контур паралельний лініям. Насправді в цьому положенні (α = 90°) потік дорівнює нулю. Максимум досягається, коли площина контуру перпендикулярна до ліній (α = 0°).

• Вважати, що потік — вектор і його не можна брати від'ємним. Магнітний потік — скаляр, але знак залежить від cos α. Від'ємний потік виникає, коли α > 90°, і це нормально: він просто показує, що лінії пронизують контур у протилежному напрямі.

• Думати, що поступальне переміщення рамки в однорідному полі завжди змінює потік. Якщо рамка рухається, але її площа, орієнтація й індукція поля не змінюються, то потік залишається сталим. Індукційний струм виникає тільки за зміни потоку, а не за самого руху.

Формула магнітного потоку Φ = BS·cos α є в довідкових матеріалах НМТ. Повний перелік довідки з теми «Магнітне поле й електромагнітна індукція» містить: силу Ампера, силу Лоренца, магнітний потік, закон електромагнітної індукції, ЕРС у рухомому провіднику, ЕРС самоіндукції, Φ = LI та енергію магнітного поля.

Програма НМТ (тема 3.4) називає магнітний потік серед змісту й вимагає застосовувати закон електромагнітної індукції, для чого потік потрібен як проміжна величина. Тому магнітний потік часто є проміжною величиною в задачах на ЕРС індукції, але його можуть попросити обчислити й окремо.

Формат завдань:

• Коротка відповідь (№ 17–22, 0 або 2 бали): число в одиниці з умови. Кут і площу в задачі часто дають у незручних одиницях — переведення в СІ входить до розв'язку. Відповідь записують цілим числом або десятковим дробом.

• Завдання з вибором однієї відповіді (№ 1–14, 0 або 1 бал): «як зміниться» потік порівнюють без обчислення абсолютних значень, лише через cos α. Наприклад, поворот на 60° зменшує потік удвічі.

Стратегія розв'язування:

• Завжди починай з переведення всіх величин в одиниці СІ: см² → м², мТл → Тл.

• Визнач кут α між B⃗ і нормаллю до контуру, а не між B⃗ і площиною.

• Якщо в задачі питають зміну потоку ΔΦ, обчисли Φ₁ і Φ₂ окремо, потім знайди різницю.

• У завданнях «як зміниться» порівнюй cos α₁ і cos α₂ без обчислення BS.

• Магнітний потік: Φ = BS·cos α, де α — кут між вектором індукції B⃗ і нормаллю n⃗ до контуру.

• Одиниця вимірювання в СІ — вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл·м².

• Максимальний потік: α = 0° (площина контуру перпендикулярна до ліній), Φ = BS.

• Нульовий потік: α = 90° (площина контуру паралельна лініям), Φ = 0.

• Від'ємний потік: α > 90°, cos α < 0.

• Потік змінюється через зміну індукції B, площі контуру S або кута α.

• Площу обов'язково переводь у м²: 1 м² = 10⁴ см².

• Поворот рамки на 60° із положення α = 0° зменшує потік удвічі (cos 60° = 0,5).

• Поворот на 180° змінює потік на ΔΦ = −2BS.