Закон електромагнітної індукції

У 1831 році англійський фізик Майкл Фарадей зробив одне з найважливіших відкриттів в історії електрики — явище електромагнітної індукції. Він виявив, що в замкненому провідному контурі виникає електричний струм тоді й лише тоді, коли змінюється магнітний потік, що пронизує цей контур. Це явище назвали електромагнітною індукцією, а струм, який при цьому виникає, — індукційним струмом.

Дослід 1: магніт і котушка

Фарадей узяв котушку, з'єднану з чутливим гальванометром, і почав уводити в неї постійний магніт. Що він побачив?

• Поки магніт рухається всередину котушки, стрілка гальванометра відхиляється — у колі тече індукційний струм.

• Коли магніт зупиняється всередині котушки, стрілка повертається на нуль — струму немає, навіть якщо магніт лежить нерухомо в самій котушці.

• Коли магніт виймають із котушки, стрілка знову відхиляється, але в протилежний бік — напрям індукційного струму змінюється.

• Чим швидше рухають магніт, тим більше відхилення стрілки, тобто тим більший індукційний струм.

Висновок: струм виникає не тому, що магніт просто «присутній» біля котушки, а тому, що магнітний потік через котушку змінюється. Нерухомий магніт створює сталий потік — струму немає.

Дослід 2: дві котушки на осерді

Фарадей намотав дві окремі котушки на спільне залізне осердя. Першу котушку він під'єднав до джерела струму через вимикач, а другу — до гальванометра. Результати:

• У момент замикання вимикача (струм у першій котушці зростає від нуля) стрілка гальванометра у другій котушці відхиляється.

• Поки в першій котушці тече сталий струм, стрілка гальванометра показує нуль.

• У момент розмикання вимикача (струм спадає до нуля) стрілка знову відхиляється, але в протилежний бік.

• Якщо змінювати струм у першій котушці за допомогою реостата, стрілка гальванометра відхиляється щоразу, коли струм змінюється.

Цей дослід показує, що магнітне поле першої котушки створює магнітний потік через другу котушку. Коли струм у першій котушці змінюється, змінюється й магнітний потік через другу — і в ній виникає індукційний струм. Джерелом індукційного струму є не магніт і не батарея, а сам процес зміни магнітного потоку.

Умова виникнення індукційного струму

Індукційний струм у замкненому провідному контурі виникає лише за однієї умови: магнітний потік через поверхню, обмежену контуром, змінюється з часом. Якщо контур розімкнений (наприклад, кільце з розрізом), струму в ньому не буде, але ЕРС індукції на кінцях розрізу все одно існуватиме — її можна виміряти вольтметром.

Зміна магнітного потоку може відбуватися через:

• зміну модуля магнітної індукції B (наближаємо або віддаляємо магніт);

• зміну площі контуру S (розтягуємо або стискаємо кільце);

• зміну кута α між вектором B⃗ і нормаллю до контуру (повертаємо рамку в полі).

Фарадей встановив якісний зв'язок між зміною магнітного потоку й індукційним струмом. Кількісний закон сформулював пізніше: ЕРС індукції в замкненому контурі дорівнює швидкості зміни магнітного потоку через цей контур, узятій із протилежним знаком.

Для одного витка (контуру):

$$\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$$

Для котушки з N однакових витків, з'єднаних послідовно:

$$\mathcal{E}=-N\cdot \frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$$

Знак «мінус» у формулі відбиває правило Ленца: індукційний струм має такий напрям, що його власне магнітне поле протидіє зміні зовнішнього магнітного потоку, яка його викликала. Коли в задачах потрібно знайти лише модуль ЕРС, знак мінуса опускають:

$$|\mathcal{E}|=N\cdot \frac{|\Delta \Phi |}{\Delta t}$$

Числовий приклад: обчислення ЕРС індукції

Котушка має N = 100 витків. Магнітний потік через один виток рівномірно змінився на ΔΦ = 0,06 Вб за час Δt = 0,3 с. Знайдемо модуль ЕРС індукції:

$$|\mathcal{E}|=100\cdot \frac{0,06}{0,3}=100\cdot 0,2=20\text{В}$$

Отже, у котушці індукується ЕРС 20 В.

Індукційний струм і заряд

Якщо контур має електричний опір R, то індукційний струм у ньому визначають за законом Ома:

$$I=\frac{\mathcal{E}}{R}$$

Заряд, що пройде через поперечний переріз провідника за час зміни потоку:

$$q=I\cdot \Delta t=\frac{|\mathcal{E}|}{R}\cdot \Delta t=\frac{N|\Delta \Phi |}{R}$$

Для одного витка (N = 1): $$q=\frac{|\Delta \Phi |}{R}$$

Важливо: заряд q не залежить від того, як швидко змінювався потік. Він визначається тільки загальною зміною потоку |ΔΦ| та опором контуру R. Швидка зміна дає більший струм, але на коротший час — заряд однаковий.

Числовий приклад: обчислення заряду

Магнітний потік через контур змінився на ΔΦ = 4 мВб = 0,004 Вб. Опір контуру R = 2 Ом. Знайдемо заряд, що пройшов контуром:

$$q=\frac{0,004}{2}=0,002\text{Кл}=2\text{мКл}$$

Графік Φ(t) і ЕРС індукції

За графіком залежності магнітного потоку від часу Φ(t) можна визначити ЕРС індукції на кожній ділянці: вона дорівнює модулю нахилу графіка (тобто |ΔΦ/Δt|).

Розгляньмо графік, де потік спочатку зростає від 0 до 8 мВб за 4 с, потім залишається сталим 2 с, а далі спадає до 0 за 2 с.

На горизонтальній ділянці Φ = const, тому ΔΦ = 0 і ЕРС дорівнює нулю. Найбільша ЕРС там, де графік найкрутіший — на ділянці спадання (4 мВ).

Чому в нерухомому контурі виникає ЕРС індукції, коли змінюється магнітне поле? Адже магнітне поле діє лише на рухомі заряди, а в нерухомому контурі заряди спочатку нерухомі. Відповідь на це питання дав Джеймс Клерк Максвелл у 1860-х роках.

Гіпотеза Максвелла

Максвелл висунув гіпотезу: змінне магнітне поле породжує в навколишньому просторі вихрове електричне поле. Це поле існує незалежно від того, чи є в просторі провідник. Саме воно виконує роботу з переміщення зарядів у нерухомому контурі, створюючи ЕРС індукції.

Ключова відмінність вихрового електричного поля від звичайного електростатичного: його силові лінії замкнені. Вони не починаються на позитивних зарядах і не закінчуються на негативних — вони утворюють замкнені петлі, подібно до ліній магнітного поля.

Робота вихрового електричного поля

Оскільки лінії вихрового електричного поля замкнені, робота цього поля вздовж замкненого контуру не дорівнює нулю. Саме тому в контурі виникає ЕРС індукції. На відміну від цього, в електростатичному полі робота вздовж замкненого шляху завжди дорівнює нулю — електростатичне поле є потенціальним.

Порівняння трьох типів полів

У нерухомому контурі саме вихрове електричне поле є причиною руху зарядів — воно створює ЕРС індукції. У рухомому провіднику, що перетинає лінії магнітного поля, заряди рухає сила Лоренца — це окремий випадок, який розглядають в іншому юніті.

Явище електромагнітної індукції та його «обернене» застосування — сила Ампера — лежать в основі роботи електродинамічного мікрофона й гучномовця. Ці пристрої є прикладами практичного використання законів фізики, які можуть зустрітися в завданнях НМТ.

Електродинамічний мікрофон

Мікрофон перетворює звукові коливання на електричний сигнал. Усередині електродинамічного мікрофона є легка діафрагма, до якої прикріплена невелика котушка. Котушка розташована в кільцевому зазорі постійного магніту.

Коли звукова хвиля досягає діафрагми, вона змушує її коливатися разом із котушкою. Котушка рухається в магнітному полі, тому магнітний потік через неї безперервно змінюється. Внаслідок цього в котушці індукується змінна ЕРС, форма якої точно повторює форму звукової хвилі. Цю ЕРС подають на підсилювач і далі на запис або передавання.

Мікрофон працює за законом електромагнітної індукції: зміна магнітного потоку → ЕРС індукції.

Гучномовець

Гучномовець виконує обернену функцію: перетворює електричний сигнал на звукові коливання. Його будова подібна до мікрофона: котушка, прикріплена до діафрагми, розташована в полі постійного магніту.

Коли через котушку пропускають змінний струм (наприклад, від підсилювача), на неї з боку магнітного поля діє сила Ампера. Ця сила змушує котушку й діафрагму коливатися з частотою струму. Коливання діафрагми створюють звукові хвилі, які ми чуємо.

Гучномовець працює за законом Ампера: струм у магнітному полі → сила Ампера → рух.

Порівняння

Отже, мікрофон і гучномовець — це обернені один до одного пристрої. Перший використовує закон індукції для перетворення звуку на струм, другий — закон Ампера для перетворення струму на звук.

Приклад 1. Обчислення ЕРС індукції в котушці

Котушка має 200 витків. Магнітний потік через один виток рівномірно зріс від 0,01 Вб до 0,05 Вб за 0,4 с. Визнач модуль ЕРС індукції у вольтах.

Розв'язання:

• Записуємо зміну потоку: ΔΦ = 0,05 − 0,01 = 0,04 Вб.

• Час зміни: Δt = 0,4 с.

• Кількість витків: N = 200.

• Модуль ЕРС: |ℰ| = N·|ΔΦ|/Δt = 200·0,04/0,4 = 200·0,1 = 20 В.

Відповідь: 20 В.

Чому не 0,1 В? Якщо забути помножити на N, отримаємо 0,04/0,4 = 0,1 В — це ЕРС для одного витка, а не для всієї котушки. Чому не 25 В? Якщо взяти кінцеве значення потоку 0,05 Вб замість зміни, то 200·0,05/0,4 = 25 В — неправильно, бо ЕРС залежить від зміни потоку, а не від його абсолютного значення.

Приклад 2. Заряд, що пройшов контуром

Контур має опір 5 Ом. Магнітний потік через нього змінився на 0,02 Вб. Визнач заряд, що пройшов контуром, у мілікулонах.

Розв'язання:

• Заряд, що пройшов контуром: q = |ΔΦ|/R.

• q = 0,02 / 5 = 0,004 Кл.

• Переводимо в мілікулони: 0,004 Кл = 4 мКл.

Відповідь: 4 мКл.

Чому не 0,004? У завданні просять відповідь у мілікулонах, тому 0,004 Кл = 4 мКл. Чому не 250? Якщо помилково поділити опір на потік (5/0,02 = 250), отримаємо величину без фізичного змісту.

Приклад 3. Графік Φ(t) — визначення ЕРС

На рисунку подано графік залежності магнітного потоку Φ через контур від часу t. Графік має три ділянки: на ділянці 1 потік рівномірно зростає, на ділянці 2 — сталий, на ділянці 3 — рівномірно спадає вдвічі швидше, ніж зростав на ділянці 1. На якій ділянці модуль ЕРС індукції найбільший?

Розв'язання: ЕРС індукції дорівнює модулю нахилу графіка Φ(t). На ділянці 1 нахил додатний і сталий. На ділянці 2 нахил нульовий — ЕРС дорівнює нулю. На ділянці 3 нахил від'ємний, але за модулем він більший, ніж на ділянці 1, бо потік спадає швидше. Отже, найбільша ЕРС на ділянці 3.

Відповідь: на ділянці 3 (швидке спадання).

Чому не на ділянці 1? На ділянці 1 нахил менший, тому ЕРС менша. Чому не на ділянці 2? Там потік не змінюється, тому ЕРС нульова. Чому не на початку графіка? Початок графіка — це не окрема ділянка, а точка; ЕРС визначають за нахилом на проміжку.

Приклад 4. Магніт нерухомо лежить у котушці

Постійний магніт нерухомо лежить усередині котушки, замкненої на гальванометр. Який струм показує гальванометр?

Розв'язання: Магнітний потік через котушку є, але він не змінюється, оскільки магніт нерухомий. ЕРС індукції дорівнює нулю, тому індукційний струм відсутній. Гальванометр показує нуль.

Відповідь: нульовий (струму немає).

Чому не постійний струм? Постійний магніт створює стале магнітне поле, але для виникнення струму потрібна зміна потоку, а не просто його наявність. Чому не змінний струм? Змінний струм виникав би, якби магніт коливався всередині котушки. Чому не «спочатку великий, потім спадає»? Такий струм виникає в момент уведення магніту в котушку, а коли магніт уже нерухомий — струму немає.

• Вважати, що струм виникає в нерухомому контурі у сталому магнітному полі. Насправді індукційний струм виникає лише під час зміни магнітного потоку. Якщо магніт нерухомий або струм у сусідній котушці сталий — струму немає.

• Плутати ЕРС із потоком: велике значення Φ не означає велику ЕРС. ЕРС визначає швидкість зміни потоку ΔΦ/Δt, а не його абсолютне значення. Навіть за величезного Φ, якщо воно не змінюється, ЕРС дорівнює нулю.

• Забувати помножити на N для котушки й брати потік не через один виток. Формула ℰ = −N·ΔΦ/Δt вимагає, щоб ΔΦ було зміною потоку через один виток, а N — кількістю витків. Якщо дано загальний потік через усю котушку, множити на N не треба.

• Не враховувати, що заряд q = |ΔΦ|/R не залежить від часу зміни потоку. Швидка зміна дає більший струм, але на коротший час — добуток I·Δt (тобто заряд) залишається тим самим.

• Плутати вихрове електричне поле з електростатичним: лінії першого замкнені, лінії другого починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних. Робота вихрового поля вздовж замкненого контуру не дорівнює нулю, на відміну від електростатичного.

• Плутати мікрофон і гучномовець: мікрофон працює за законом електромагнітної індукції (звук → ЕРС), а гучномовець — за законом Ампера (струм → сила Ампера → звук).

Формула закону електромагнітної індукції та формула ЕРС у рухомому провіднику є в довідкових матеріалах НМТ. Правила Ленца в довідкових матеріалах немає — його треба знати окремо.

Програма НМТ (тема 3.4) вимагає:

• застосовувати закон електромагнітної індукції для розв'язування задач;

• пояснювати досліди Фарадея, що демонструють явище електромагнітної індукції;

• порівнювати магнітне, електростатичне й вихрове електричне поля;

• знати призначення електромагніта, електродвигуна, гучномовця й мікрофона.

Завдання з цієї теми можуть бути як у форматі вибору однієї відповіді (№ 1–14, 1 бал), так і у форматі короткої відповіді (№ 17–22, 0 або 2 бали). У завданнях із короткою відповіддю потрібно вписати число в тих самих одиницях, що й в умові.

За графіком Φ(t) ЕРС індукції обчислюють як відношення ΔΦ/Δt (нахил графіка), а не «за площею» під графіком. Площа під графіком Φ(t) не має фізичного змісту в контексті ЕРС.

Стратегія розв'язування

Коли бачиш задачу на електромагнітну індукцію, дій за таким алгоритмом:

1. З'ясуй, що саме змінюється: магнітна індукція B, площа контуру S чи кут α між B⃗ і нормаллю.

2. Запиши зміну магнітного потоку ΔΦ. Якщо змінюється кілька величин, врахуй усі.

3. Обчисли модуль ЕРС індукції: |ℰ| = N·|ΔΦ|/Δt.

4. Якщо відомий опір контуру, знайди індукційний струм I = ℰ/R або заряд q = |ΔΦ|/R.

Пам'ятай: якщо в задачі дано графік Φ(t), ЕРС на кожній ділянці — це модуль нахилу. Горизонтальна ділянка дає нульову ЕРС.

• Індукційний струм у замкненому контурі виникає лише під час зміни магнітного потоку через цей контур.

• Закон електромагнітної індукції: ℰ = −N·ΔΦ/Δt. Модуль ЕРС: |ℰ| = N·|ΔΦ|/Δt.

• Індукційний струм: I = ℰ/R. Заряд, що пройшов контуром: q = |ΔΦ|/R — не залежить від швидкості зміни потоку.

• На графіку Φ(t) ЕРС індукції дорівнює модулю нахилу графіка. На горизонтальній ділянці ЕРС дорівнює нулю.

• Змінне магнітне поле породжує вихрове електричне поле, лінії якого замкнені. Воно існує навіть без провідника й створює ЕРС індукції в нерухомому контурі.

• Мікрофон перетворює звук на ЕРС (закон індукції), гучномовець — струм на звук (сила Ампера).