Ірраціональні рівняння

Ірраціональним рівнянням називають рівняння, у якому змінна стоїть під знаком кореня. Наприклад, $\surd (x-3)=4$ і $\surd (2x+1)=x-1$ — ірраціональні, а от $\surd 2\cdot x=3$ — ні, бо змінна $x$ не під коренем, корінь містить лише число.

Найпростіший випадок: $\surd f(x)=a$

Коли квадратний корінь дорівнює числу, розв’язок залежить від знака цього числа:

• якщо $a>0$, то $f(x)=a^2$ — підносимо обидві частини до квадрата; сторонні корені не з’являються, бо квадратний корінь за означенням невід’ємний, і права частина теж додатна

• якщо $a=0$, то $f(x)=0$

• якщо $a<0$, то рівняння коренів не має — арифметичний квадратний корінь завжди невід’ємний, тому він не може дорівнювати від’ємному числу

Приклад: $\surd (x-3)=4$. Оскільки $4>0$, підносимо до квадрата: $x-3=16$, звідки $x=19$. Перевірка: $\surd (19-3)=\surd 16=4$ — правильно.

Приклад: $\surd (x+1)=-2$. Ліва частина — арифметичний квадратний корінь, він не може бути від’ємним. Відповідь: коренів немає. Якщо піднести до квадрата, отримаємо $x+1=4$, тобто $x=3$, але $\surd (3+1)=2\ne -2$ — це сторонній корінь, який виник саме тому, що піднесення до квадрата не є рівносильним перетворенням.

ОДЗ для коренів різних степенів

Область допустимих значень (ОДЗ) залежить від показника кореня:

Кубічний корінь: $∛f(x)=a$

Корінь непарного степеня визначений для всіх дійсних чисел, тому тут немає обмежень на $a$. Рівняння $∛f(x)=a$ рівносильне $f(x)=a^3$ за будь-якого $a$ — додатного, нуля чи від’ємного. Сторонні корені не виникають.

Приклад: $∛(x-1)=-2$. Підносимо обидві частини до куба: $x-1=(-2{)}^3=-8$, звідки $x=-7$. Перевірка: $∛(-7-1)=∛(-8)=-2$ — правильно. Зверни увагу: кубічний корінь з від’ємного числа існує, на відміну від квадратного.

Піднесення обох частин рівняння до квадрата — найпоширеніший спосіб позбутися квадратного кореня, але це перетворення не є рівносильним. Розберімося чому.

Чому виникають сторонні корені

Якщо $a=b$, то $a^2=b^2$ — це завжди правильно. Але навпаки: з $a^2=b^2$ випливає лише $a=b$ або $a=-b$. Отже, після піднесення до квадрата нове рівняння може мати корені, які не задовольняють початкове. Саме тому кожен знайдений кандидат треба перевіряти підстановкою в початкове рівняння.

Схема розв’язування $\surd f(x)=g(x)$

Для рівняння вигляду $\surd f(x)=g(x)$ правильний перехід такий:

$\surd f(x)=g(x)\iff f(x)=g^2(x)\text{і}g(x)\ge 0$

Умова $g(x)\ge 0$ обов’язкова, бо ліва частина — арифметичний квадратний корінь — завжди невід’ємна. Умова $f(x)\ge 0$ виконується автоматично, адже $f(x)=g^2(x)\ge 0$.

Покроковий приклад

Розв’яжемо $\surd (x+7)=x+1$.

1. Підносимо до квадрата: $x+7=(x+1{)}^2$.

2. Розкриваємо дужки: $x+7=x^2+2x+1$.

3. Переносимо все в один бік: $0=x^2+2x+1-x-7=x^2+x-6$.

4. Розв’язуємо квадратне рівняння: $x^2+x-6=0$, дискримінант $D=1+24=25$, корені $x_1=2$, $x_2=-3$.

5. Перевіряємо умову $g(x)\ge 0$: при $x=2$ маємо $2+1=3\ge 0$ — підходить; при $x=-3$ маємо $-3+1=-2<0$ — сторонній корінь.

6. Перевіряємо підстановкою в початкове рівняння: $\surd (2+7)=\surd 9=3=2+1$ — правильно; $\surd (-3+7)=\surd 4=2\ne -2$ — сторонній.

Відповідь: $x=2$. Якщо в завданні просять суму коренів, то сума дорівнює $2$.

Увага: квадрат різниці

Часта помилка — неправильно підносити праву частину до квадрата, коли вона має вигляд $x-2$. Розгляньмо рівняння $\surd x=x-2$.

Підносимо до квадрата: $x=(x-2{)}^2=x^2-4x+4$ (а не $x^2-4$!). Звідси $0=x^2-5x+4$, корені $x=1$ або $x=4$. Перевіряємо умову $g(x)\ge 0$: при $x=1$ права частина $1-2=-1<0$ — сторонній; при $x=4$ права частина $4-2=2\ge 0$ — підходить. Відповідь: $x=4$.

Запам’ятай: підносити до квадрата треба ВЕСЬ вираз, а не окремі доданки. $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$, а не $x^2+1$. $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$, а не $x^2-4$.

Рівність двох квадратних коренів: $\surd f(x)=\surd g(x)$

Якщо квадратний корінь з одного виразу дорівнює квадратному кореню з іншого, то самі вирази рівні між собою. Але не забувай: кожен із коренів має існувати, тому підкореневі вирази мають бути невід’ємними.

$\surd f(x)=\surd g(x)\iff f(x)=g(x)\text{і}f(x)\ge 0$

Умова $f(x)\ge 0$ водночас гарантує, що й $g(x)\ge 0$, бо $f(x)=g(x)$.

Приклад 1: $\surd (2x-1)=\surd (x+3)$. Прирівнюємо підкореневі вирази: $2x-1=x+3$, звідки $x=4$. Перевіряємо $f(x)\ge 0$: $2\cdot 4-1=7\ge 0$ — підходить. Відповідь: $x=4$.

Приклад 2: $\surd (x-5)=\surd (1-x)$. Прирівнюємо: $x-5=1-x$, звідки $2x=6$, $x=3$. Перевіряємо $f(x)\ge 0$: $3-5=-2<0$ — корінь не існує. Відповідь: коренів немає.

Добуток із коренем дорівнює нулю

Рівняння вигляду $(x-a)\cdot \surd f(x)=0$ розв’язують за правилом: добуток дорівнює нулю, коли хоча б один множник дорівнює нулю. Але корінь має існувати!

Приклад: $(x-1)\cdot \surd (x-3)=0$.

• Перший множник: $x-1=0\Rightarrow x=1$. Перевіряємо, чи існує корінь: $\surd (1-3)=\surd (-2)$ — не існує. Отже, $x=1$ не є коренем.

• Другий множник: $\surd (x-3)=0\Rightarrow x-3=0\Rightarrow x=3$. Корінь існує: $\surd (3-3)=0$.

Відповідь: $x=3$.

Заміна $t=\surd x$ ($t\ge 0$)

Рівняння, що містять одночасно $x$ і $\surd x$, зводяться до квадратних заміною $t=\surd x$, де $t\ge 0$. Тоді $x=t^2$.

Приклад 1: $x-5\surd x+6=0$. Заміна $t=\surd x\ge 0$: $t^2-5t+6=0$. Дискримінант $D=25-24=1$, корені $t_1=2$, $t_2=3$. Обидва невід’ємні, тому повертаємося до $x$: $x=t^2$, отже $x_1=4$, $x_2=9$. Перевірка: $4-5\cdot 2+6=0$; $9-5\cdot 3+6=0$.

Приклад 2: $x+\surd x-6=0$. Заміна $t=\surd x\ge 0$: $t^2+t-6=0$. Дискримінант $D=1+24=25$, корені $t_1=2$, $t_2=-3$. Від’ємний корінь $t_2=-3$ відкидаємо, бо $t\ge 0$. Повертаємося: $x=2^2=4$. Відповідь: $x=4$.

Важливо: після заміни $t=\surd x$ завжди записуй умову $t\ge 0$ і відкидай від’ємні значення $t$. У відповідь записуй $x$, а не $t$.

Що належить до профільного рівня програми

Складніші ірраціональні рівняння — з кількома коренями, що мають різні підкореневі вирази, або ті, що потребують повторного піднесення до квадрата, — належать до профільного рівня програми. Ірраціональні нерівності та системи ірраціональних рівнянь також належать до профільного рівня програми (П); на НМТ такі завдання не виключені.

Приклад 1. Найпростіше ірраціональне рівняння

Завдання (вибір однієї відповіді з п’яти). Розв’яжіть рівняння $\surd (2x+3)=5$.

Розв’язання

Оскільки $5>0$, підносимо обидві частини до квадрата: $2x+3=25$. Звідси $2x=22$, $x=11$.

Перевірка

$\surd (2\cdot 11+3)=\surd (22+3)=\surd 25=5$ — правильно.

Відповідь: 11.

Чому інші варіанти неправильні

• 1 — забули піднести $5$ до квадрата, розв’язали $2x+3=5$

• 14 — перенесли $3$ зі знаком «+», отримали $2x=25+3$

• 22 — отримали $2x=22$ і забули поділити на 2

• $-11$ — помилилися в знаку під час перенесення: записали $2x=3-25=-22$ замість $2x=25-3=22$

Приклад 2. Рівняння з перевіркою умови

Завдання (коротка відповідь). Розв’яжіть рівняння $\surd (x+10)=x-2$. Якщо коренів кілька, у відповідь запишіть їх суму.

Розв’язання

1. Підносимо до квадрата: $x+10=(x-2{)}^2=x^2-4x+4$.

2. Переносимо все в один бік: $0=x^2-4x+4-x-10=x^2-5x-6$.

3. Розв’язуємо квадратне рівняння: $x^2-5x-6=0$, дискримінант $D=25+24=49$, корені $x_1=6$, $x_2=-1$.

4. Перевіряємо умову $g(x)\ge 0$ (права частина має бути невід’ємною): при $x=6$ маємо $6-2=4\ge 0$ — підходить; при $x=-1$ маємо $-1-2=-3<0$ — сторонній корінь.

5. Перевіряємо підстановкою в початкове рівняння: $\surd (6+10)=\surd 16=4=6-2$ — правильно; $\surd (-1+10)=\surd 9=3\ne -3$.

Відповідь: 6.

Типова пастка

Дехто записує суму обох кандидатів $6+(-1)=5$, не відкинувши сторонній корінь. Правильна відповідь — лише $6$.

Приклад 3. Добуток із коренем

Завдання (вибір однієї відповіді з п’яти). Скільки коренів має рівняння $(x+2)\cdot \surd (x-1)=0$? Варіанти: жодного, один, два, три, безліч.

Розв’язання

1. Прирівнюємо кожен множник до нуля.

2. $x+2=0\Rightarrow x=-2$. Перевіряємо, чи існує корінь: $\surd (-2-1)=\surd (-3)$ — не існує. Отже, $x=-2$ не є коренем.

3. $\surd (x-1)=0\Rightarrow x=1$. Корінь існує: $\surd (1-1)=0$. Підставляємо в початкове рівняння: $(1+2)\cdot 0=0$ — правильно.

Відповідь: один корінь.

Типова пастка

Найпоширеніша помилка — відповідь «два», коли не перевіряють існування кореня при $x=-2$. Пам’ятай: вираз $\surd (x-1)$ має зміст лише за $x\ge 1$.

Приклад 4. Заміна змінної

Завдання (коротка відповідь). Розв’яжіть рівняння $x-3\surd x-4=0$.

Розв’язання

1. Заміна: $t=\surd x$, $t\ge 0$. Тоді $x=t^2$.

2. Рівняння набуває вигляду: $t^2-3t-4=0$.

3. Дискримінант $D=9+16=25$, корені $t_1=4$, $t_2=-1$.

4. Відкидаємо $t_2=-1$, бо $t\ge 0$.

5. Повертаємося до $x$: $x=t_1^2=4^2=16$.

6. Перевірка: $16-3\cdot 4-4=16-12-4=0$ — правильно.

Відповідь: 16.

Типові пастки

• Записують у відповідь $t=4$ (а не $x=16$).

• З $\surd x=-1$ отримують ще $x=1$ і додають корені: $16+1=17$.

• Забувають умову $g(x)\ge 0$. У рівнянні $\surd (x+7)=x+1$ знаходять $x=-3$ і записують його у відповідь, хоча права частина при цьому від’ємна. Правильно: спочатку перевір умову $g(x)\ge 0$, або, як мінімум, підстав кандидата в початкове рівняння.

• Неправильно підносять до квадрата праву частину. Наприклад, у рівнянні $\surd (x+7)=x+1$ помилково пишуть $x+7=x^2+1$, забуваючи про подвоєний добуток. Правильно: $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$.

• Вважають, що $\surd f(x)=-2$ має корені. Після піднесення до квадрата отримують $f(x)=4$ і знаходять корінь. Але арифметичний квадратний корінь не буває від’ємним — рівняння коренів не має.

• У рівнянні $(x+2)\cdot \surd (x-1)=0$ залишають $x=-2$. Формально $x+2=0$ дає $x=-2$, але при цьому $\surd (x-1)$ не існує. Весь вираз втрачає зміст, тому $x=-2$ не є коренем.

• Після заміни $t=\surd x$ записують у відповідь $t$ або не відкидають $t<0$. Наприклад, у рівнянні $x+\surd x-6=0$ знаходять $t=2$ і $t=-3$, але забувають, що $t$ — це корінь, який не може бути від’ємним. Правильно: $t=2$ дає $x=4$, $t=-3$ відкидаємо.

• У рівнянні з кубічним коренем відкидають від’ємне значення. Наприклад, у $∛(x-1)=-2$ дехто вважає, що коренів немає, бо права частина від’ємна. Але кубічний корінь визначений для всіх чисел, тому $x-1=(-2{)}^3=-8$, звідки $x=-7$ — правильний корінь.

Ірраціональні рівняння входять до теми 2.1 програми НМТ («Рівняння, нерівності й системи»). На рівні стандарту перевіряють уміння розв’язувати найпростіші ірраціональні рівняння — саме ті, що ми розглянули в цьому уроці. Складніші ірраціональні рівняння (з кількома коренями, повторним піднесенням до квадрата), а також ірраціональні нерівності та їх системи належать до профільного рівня (позначка «П» у програмі). Виключати їх із підготовки не варто: такі завдання на НМТ не виключені.

Означення кореня $n$-го степеня та арифметичного кореня — це тема 1.1 програми. У довідкових матеріалах, які видають на НМТ, є формули $\surd (a^2)=|a|$ і степінь з раціональним показником $a^{m/n}$.

Формати завдань

Стратегія

Найнадійніший спосіб уникнути стороннього кореня — підставити кожного кандидата в початкове рівняння, а не в те, що отримали після піднесення до квадрата. Піднесене рівняння «не пам’ятає» початкових обмежень, тому воно може «схвалити» сторонній корінь. Перевірка займає кілька секунд, але рятує від втрати бала.

• $\surd f(x)=a$: якщо $a\ge 0$, то $f=a^2$; якщо $a<0$, то коренів немає.

• $\surd f(x)=g(x)$: переходимо до $f=g^2$ і $g\ge 0$.

• Піднесення до квадрата може дати сторонні корені — завжди перевіряй підстановкою в початкове рівняння.

• $\surd f=\surd g$: прирівнюємо підкореневі вирази й перевіряємо, що $f\ge 0$.

• $∛f=a$: підносимо до куба — $f=a^3$, без жодних обмежень на $a$.

• У добутку з коренем: $(x-a)\cdot \surd f(x)=0$ — перевір, чи існує корінь при кожному кандидаті.

• Заміна $t=\surd x$: не забудь про $t\ge 0$ і повернися до $x$.