Енергія зарядженого конденсатора

Коли ми заряджаємо конденсатор, зовнішні сили (від джерела струму) виконують роботу з розділення зарядів: електрони переходять з однієї обкладки на іншу. Ця робота не зникає — вона накопичується у вигляді енергії електричного поля, зосередженого між обкладками. Чим більший заряд і чим більша напруга, тим більша енергія.

Енергія зарядженого конденсатора виражається трьома еквівалентними формулами. Вибір залежить від того, які величини відомі:

• через ємність і напругу: W = C·U²/2

• через заряд і напругу: W = q·U/2

• через заряд і ємність: W = q²/(2C)

Усі три формули еквівалентні, оскільки для конденсатора виконується співвідношення q = CU. Підставивши q = CU у W = qU/2, отримаємо W = CU²/2; підставивши U = q/C — отримаємо W = q²/(2C). Тому на практиці обирають ту форму, де дві величини з трьох (C, U, q) відомі або залишаються сталими.

Звідки береться множник 1/2?

Уявімо графік залежності напруги U від заряду q для конденсатора. Оскільки U = q/C, це пряма лінія, що проходить через початок координат. Робота з перенесення заряду дорівнює площі під цією прямою. Площа трикутника з основою q і висотою U дорівнює q·U/2. Саме тому в усіх формулах фігурує множник 1/2 — він відображає той факт, що напруга зростає поступово, від нуля до кінцевого значення, а не подається одразу.

Приклад. Конденсатор ємністю C = 10 мкФ заряджено до напруги U = 200 В. Знайдемо енергію. Переведемо в СІ: C = 10·10⁻⁶ Ф = 10⁻⁵ Ф. Тоді:

W = C·U²/2 = 10⁻⁵·(200)²/2 = 10⁻⁵·4·10⁴/2 = 0,4/2 = 0,2 Дж

Отже, конденсатор накопичив 0,2 Дж енергії. Ця енергія зберігається в електричному полі між обкладками й може бути вивільнена під час розряджання.

Вибір правильної формули для енергії конденсатора залежить від того, яка величина залишається незмінною під час зміни параметрів конденсатора. Найважливіше розрізняти два випадки: конденсатор від'єднаний від джерела (заряд q не змінюється) і конденсатор приєднаний до джерела (напруга U не змінюється).

Від'єднаний конденсатор: q = const

Коли конденсатор зарядили, а потім від'єднали від джерела, заряд на обкладках залишається незмінним. У цьому випадку зручно використовувати формулу W = q²/(2C). Оскільки q стала, енергія обернено пропорційна ємності: W ∝ 1/C. Якщо ємність зменшується, енергія зростає, і навпаки.

Приєднаний до джерела конденсатор: U = const

Якщо конденсатор залишається приєднаним до джерела напруги, то напруга на його обкладках фіксована. У цьому випадку зручно використовувати формулу W = CU²/2. Оскільки U стала, енергія прямо пропорційна ємності: W ∝ C. Якщо ємність зростає, енергія також зростає.

Як змінюється енергія під час зміни відстані між пластинами

Розглянемо від'єднаний конденсатор, відстань між пластинами якого збільшили вдвічі. Ємність плоского конденсатора C = ε₀εS/d, тому зі збільшенням d вдвічі ємність C зменшується вдвічі. Оскільки q = const, енергія W = q²/(2C) зростає вдвічі. Звідки береться додаткова енергія? Її виконують зовнішні сили, які розсувають пластини, долаючи силу електростатичного притягання між різнойменними зарядами. Робота цих сил переходить в енергію електричного поля.

Як змінюється енергія під час заповнення діелектриком

Якщо простір між обкладками заповнюють діелектриком з діелектричною проникністю ε, ємність зростає в ε разів. Подальша зміна енергії залежить від того, чи від'єднаний конденсатор:

Чому в приєднаному конденсаторі енергія зростає? Джерело напруги виконує додаткову роботу, переміщуючи нові заряди на обкладки, адже ємність зросла, а напруга залишається сталою. Тому заряд q = CU збільшується, а разом із ним зростає й енергія.

Окремий важливий випадок — з'єднання зарядженого конденсатора з незарядженим. Розглянемо, що відбувається з енергією.

Заряджений і незаряджений конденсатори однакової ємності

Нехай конденсатор ємністю C заряджено до напруги U₀, тобто його заряд q₀ = CU₀, а енергія W₀ = CU₀²/2. Потім його з'єднують паралельно з таким самим незарядженим конденсатором (теж ємністю C). Що станеться?

Закон збереження заряду: початковий заряд q₀ розподілиться між двома конденсаторами. Оскільки вони однакові й з'єднані паралельно, напруга на них буде однаковою, а заряд — порівну: q₁′ = q₂′ = q₀/2 = CU₀/2. Нова напруга на кожному конденсаторі: U = q₁′/C = U₀/2.

Загальна енергія системи після з'єднання:

W = 2·C·U²/2 = C·(U₀/2)² = CU₀²/4 = W₀/2

Енергія зменшилась удвічі! Куди поділась половина енергії? Під час з'єднання через провідники протікає струм перезаряджання, який виділяє теплоту в проводах, а за дуже великого струму виникає іскра — частина енергії переходить у тепло й випромінювання. Тому закон збереження енергії виконується лише з урахуванням теплових втрат.

Закон збереження заряду

Важливо пам'ятати: закон збереження електричного заряду діє завжди. Для системи з двох конденсаторів: q₁ + q₂ = q₁′ + q₂′. А от енергія зберігається лише разом із теплотою: W₁ + W₂ = W₁′ + W₂′ + Q, де Q — теплота, що виділилась.

Приклади застосування

Здатність конденсатора швидко віддавати накопичену енергію використовують у багатьох пристроях:

• Спалах фотоапарата: конденсатор заряджається повільно (1–5 с), а потім розряджається через газорозрядну лампу за ~1 мс. Велика потужність P = W/t дає яскравий спалах.

• Дефібрилятор: конденсатор накопичує 200–400 Дж і розряджається через грудну клітку пацієнта за кілька мілісекунд, відновлюючи нормальний ритм серця.

• Імпульсні лазери: конденсаторні батареї створюють потужні імпульси для накачування лазерного середовища.

Приклад 1. Пряме обчислення енергії через C і U

Конденсатор ємністю 20 мкФ заряджено до напруги 100 В. Визнач енергію конденсатора в міліджоулях (мДж).

Розв'язання. Переведемо ємність у СІ: C = 20 мкФ = 20·10⁻⁶ Ф = 2·10⁻⁵ Ф. Напруга U = 100 В. Оскільки відомі C і U, використовуємо формулу W = CU²/2:

W = 2·10⁻⁵·(100)²/2 = 2·10⁻⁵·10⁴/2 = 0,2/2 = 0,1 Дж

Переведемо в міліджоулі: 0,1 Дж = 100 мДж.

Відповідь: 100 мДж.

Типова помилка: забути поділити на 2 й отримати 200 мДж, або не перевести мкФ у Ф, що дасть 10⁵ Дж — абсурдно велике число.

Приклад 2. Обчислення енергії через q і C

Заряд конденсатора становить 400 мкКл, а його ємність — 8 мкФ. Знайди енергію конденсатора в міліджоулях (мДж).

Розв'язання. Переведемо в СІ: q = 400 мкКл = 400·10⁻⁶ Кл = 4·10⁻⁴ Кл; C = 8 мкФ = 8·10⁻⁶ Ф. Відомі q і C, тому беремо формулу W = q²/(2C):

W = (4·10⁻⁴)²/(2·8·10⁻⁶) = 16·10⁻⁸/(16·10⁻⁶) = 10⁻² Дж = 0,01 Дж = 10 мДж

Відповідь: 10 мДж.

Типова помилка: використати формулу W = qU/2, не знаючи U, або забути звести q у квадрат.

Приклад 3. Від'єднаний конденсатор і діелектрик

Від'єднаний від джерела заряджений конденсатор повністю заповнили діелектриком з діелектричною проникністю ε = 3. Як змінилась енергія конденсатора?

• А) збільшилась у 3 рази

• Б) зменшилась у 3 рази

• В) не змінилась

• Г) збільшилась у 9 разів

Розв'язання. Конденсатор від'єднаний, тому заряд q залишається сталим. Використовуємо формулу W = q²/(2C). Діелектрик збільшує ємність у ε = 3 рази: C′ = εC = 3C. Тоді нова енергія:

W′ = q²/(2·3C) = (1/3)·q²/(2C) = W/3

Енергія зменшилась у 3 рази.

Відповідь: Б) зменшилась у 3 рази.

Чому не А? Варіант «збільшилась у 3 рази» правильний для приєднаного конденсатора (U = const), але тут конденсатор від'єднаний. Варіант Г (у 9 разів) виникає, якщо помилково застосувати W = CU²/2 і вважати, що U теж змінюється.

Приклад 4. Від'єднаний конденсатор і зміна відстані

Від'єднаний від джерела заряджений конденсатор: відстань між його пластинами збільшили втричі. Як змінилась енергія конденсатора?

• А) збільшилась у 3 рази

• Б) зменшилась у 3 рази

• В) не змінилась

• Г) зменшилась у 9 разів

Розв'язання. Конденсатор від'єднаний, тому q = const. Ємність плоского конденсатора C = ε₀S/d. Збільшення d втричі зменшує C втричі: C′ = C/3. За формулою W = q²/(2C):

W′ = q²/(2·C/3) = 3·q²/(2C) = 3W

Енергія збільшилась у 3 рази.

Відповідь: А) збільшилась у 3 рази.

Чому не Б? Варіант «зменшилась у 3 рази» був би правильним для приєднаного конденсатора (U = const), де W = CU²/2 і зменшення C веде до зменшення W. Чому не Г? Помилка виникає, якщо помножити зміну C на зміну U, ніби змінюються обидві величини.

• Записувати W = qU без множника 1/2. Це найпоширеніша помилка. Енергія конденсатора — це не добуток q·U, а половина цього добутку, тому що напруга зростає поступово від 0 до U. Правильно: W = qU/2.

• Використовувати W = CU²/2 із незмінною U для від'єднаного конденсатора. Якщо конденсатор від'єднано від джерела, заряд q сталий, а напруга U змінюється разом з ємністю. Формула W = CU²/2 тут не працює, бо U не є сталою. Для від'єднаного конденсатора завжди використовуй W = q²/(2C).

• Плутати заряд конденсатора з енергією. Заряд q вимірюється в кулонах (Кл), енергія W — у джоулях (Дж). Вони пов'язані формулами, але це різні фізичні величини. Наприклад, конденсатор може мати великий заряд, але малу енергію, якщо напруга мала.

• Вважати, що енергія завжди зберігається під час з'єднання конденсаторів. Закон збереження енергії виконується завжди, але частина енергії переходить у теплоту. Коли заряджений конденсатор з'єднують з незарядженим, половина енергії може виділитись у вигляді тепла. Заряд зберігається повністю, а енергія — ні.

• Не переводити мкФ, мкКл у СІ. Мікрофаради (мкФ) і мікрокулони (мкКл) — це 10⁻⁶ від основної одиниці. Якщо підставити 20 мкФ як 20, а не 2·10⁻⁵ Ф, результат буде хибним. Завжди переводь у СІ перед обчисленням.

Довідкові матеріали НМТ містять енергію конденсатора в трьох формах: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C). Жодна з них не позначена як «головна» — вибір форми й розрізнення приєднаного та від'єднаного конденсаторів треба виконувати самому.

Програма НМТ з фізики (тема 3.1 «Основи електростатики») вимагає вміти обчислювати енергію зарядженого конденсатора. У демонстраційному варіанті 2026 року тема 3.1 представлена завданнями № 7 і № 20. Завдання можуть бути як розрахунковими (коротка відповідь — число), так і якісними (вибір однієї правильної відповіді).

Стратегія розв'язування

Щоб не помилитись, дотримуйся такого алгоритму:

1. Визнач, чи конденсатор від'єднаний від джерела (q = const), чи приєднаний до нього (U = const).

2. Запиши, яка величина стала: заряд q або напруга U.

3. Візьми ту формулу, де стала величина входить без змін: для q = const — W = q²/(2C); для U = const — W = CU²/2.

4. Якщо відомі дві величини з трьох (C, U, q), просто підстав їх у зручну формулу.

5. Перевір одиниці: переведи мкФ, мкКл у СІ (помнож на 10⁻⁶).

Пам'ятай: у завданнях на зміну енергії ключове — визначити, що стале: q чи U. Саме це визначає, чи енергія зросте, чи зменшиться.

• Енергія зарядженого конденсатора: W = CU²/2 = qU/2 = q²/(2C)

• Від'єднаний конденсатор (q = const): використовуй W = q²/(2C)

• Приєднаний до джерела (U = const): використовуй W = CU²/2

• Від'єднаний конденсатор + діелектрик: енергія зменшується в ε разів

• Приєднаний конденсатор + діелектрик: енергія зростає в ε разів

• Від'єднаний конденсатор + збільшення відстані: енергія зростає (робота зовнішніх сил)

• З'єднання зарядженого й незарядженого конденсаторів: заряд зберігається, але частина енергії втрачається (переходить у теплоту)

• Завжди переводь мкФ, мкКл у СІ (помнож на 10⁻⁶) перед обчисленням