Числові проміжки: запис, переріз і об’єднання
~10 хв · 8 розділів · 10 тестових запитань
Записуй множини чисел числовими проміжками — відрізками, інтервалами, півінтервалами та променями. Навчися правильно ставити дужки, переходити між нерівністю й проміжком, знаходити переріз і об'єднання.
Числовий проміжок — це множина всіх дійсних чисел, що задовольняють певну нерівність. На координатній прямій таку множину зображають штрихуванням: зафарбована точка на кінці означає, що цей кінець належить проміжку, а виколота (кружечок) — що не належить. Розрізняють кілька видів проміжків залежно від того, які саме кінці входять до множини.
Вид | Запис | Нерівність | Зміст |
|---|---|---|---|
Відрізок | [a; b] | a ≤ x ≤ b | обидва кінці належать |
Інтервал | (a; b) | a < x < b | жоден кінець не належить |
Півінтервал | [a; b) | a ≤ x < b | лівий кінець належить, правий — ні |
Півінтервал | (a; b] | a < x ≤ b | лівий кінець не належить, правий — так |
Промінь | [a; +∞) | x ≥ a | усі числа, не менші за a |
Промінь | (a; +∞) | x > a | усі числа, більші за a |
Промінь | (−∞; b] | x ≤ b | усі числа, не більші за b |
Промінь | (−∞; b) | x < b | усі числа, менші за b |
Усі дійсні числа | (−∞; +∞) | x ∈ R | будь-яке дійсне число |
Уважно придивіться до таблиці: квадратна дужка (або зафарбована точка на рисунку) завжди відповідає нестрогому знакові: ≤ або ≥. Кругла дужка (виколота точка) відповідає строгому знакові: < або >.
Чому біля ∞ дужка завжди кругла?
Нескінченність (∞) — не число, а ідея, що числа не мають межі. Її неможливо «досягти», тому біля −∞ і +∞ дужка завжди кругла. Запис [3; +∞] — помилка, правильно: [3; +∞).
Як правильно записувати кінці
Кінці проміжку записують зліва направо, у порядку зростання. Спочатку менше число, потім крапка з комою, потім більше число: [−3; 2), а не (2; −3]. Якщо один кінець від'ємний, а другий додатний, то від'ємний записують першим: (−5; 1].
Належність числа проміжку
Щоб перевірити, чи належить конкретне число проміжку, підстав його в нерівність, якій відповідає проміжок. Наприклад:
5 ∈ [−2; 5] — бо −2 ≤ 5 ≤ 5
5 ∉ [−2; 5) — бо 5 не менше за 5 (права дужка кругла)
−2 ∈ [−2; 5) — бо −2 ≥ −2 (ліва дужка квадратна)
−3 ∉ (−2; 4) — бо −3 менше за −2
Графічно це виглядає так: на координатній прямій штрихується вся ділянка проміжку, зафарбовані кружечки на кінцях — квадратні дужки, виколоті — круглі.
Найчастіше числовий проміжок народжується з нерівності — і навпаки, готовий проміжок можна перетворити на нерівність. Ці переходи потрібні, щоб розуміти, яку саме множину чисел описує кожна форма запису.
Від нерівності до проміжку
Правило просте: нестрогий знак (≤ або ≥) дає квадратну дужку біля того числа, строгий знак (< або >) — круглу, а біля ∞ завжди кругла дужка. Розгляньмо кілька прикладів:
x > −1 ⇔ (−1; +∞) — строгий знак >, тому біля −1 кругла дужка; +∞ завжди з круглою дужкою.
−4 ≤ x < 0 ⇔ [−4; 0) — біля −4 нестрогий знак ≤ (квадратна дужка), біля 0 строгий знак < (кругла дужка).
x ≤ 5 ⇔ (−∞; 5] — біля 5 нестрогий ≤ (квадратна), біля −∞ завжди кругла.
Увага! Якщо число стоїть ліворуч, спершу переписуємо нерівність так, щоб змінна x була ліворуч.
Наприклад: 3 ≥ x. Переписуємо: x ≤ 3. Тепер бачимо: нестрогий знак ≤, отже, проміжок (−∞; 3]. Якщо записати 3 ≥ x без перетворення й подумати «3 — ліва межа, тому [3; +∞)», це буде груба помилка.
Словесні формулювання
У задачах трапляються описи словами. Ось як вони перетворюються на проміжки:
Слова | Нерівність | Проміжок |
|---|---|---|
«не більше за 7» | x ≤ 7 | (−∞; 7] |
«менше від 7» | x < 7 | (−∞; 7) |
«не менше за −2» | x ≥ −2 | [−2; +∞) |
«від 2 до 5 включно» | 2 ≤ x ≤ 5 | [2; 5] |
«додатні числа» | x > 0 | (0; +∞) |
Від проміжку до нерівності
Тут діє те саме правило, тільки навпаки:
(−∞; 0,5] ⇔ x ≤ 0,5 — квадратна дужка біля 0,5 дає нестрогий знак ≤.
[1; 4) ⇔ 1 ≤ x < 4 — квадратна дужка біля 1 дає ≤, кругла біля 4 дає <.
(−3; 8] ⇔ −3 < x ≤ 8.
Межу завжди можна перевірити підстановкою числа-кінця в нерівність. Для проміжку [1; 4): підставляємо 1 → 1 ≤ 1 < 4 — істина, значить, 1 належить (що й очікуємо від квадратної дужки). Підставляємо 4 → 1 ≤ 4 < 4 — хиба, тому 4 не належить (кругла дужка).
Розв'язок нерівності чи системи — найчастіше проміжок
Розв'язком нерівності (або системи нерівностей) є деяка множина чисел — найчастіше числовий проміжок, але це може бути й об'єднання проміжків, окрема точка або порожня множина. Наприклад, розв'язок системи
x ≥ −2 і x < 5 — це переріз проміжків, тобто [−2; 5).
У завданнях НМТ з вибором відповіді тобі запропонують п'ять варіантів проміжків, які можуть відрізнятися лише дужкою біля одного з кінців. Тому кожен кінець перевіряй окремо: підстав число в нерівність і подивись, яка дужка потрібна. Як розв'язувати самі нерівності — ти пройдеш у курсі «Нерівності», а тут ми вчимося саме записувати готову множину.
Коли маємо два числових проміжки, з ними можна виконувати дві основні операції: знаходити переріз або об'єднання. Ці операції відповідають логічним сполучникам «і» (одночасно) та «або» (хоча б один).
Переріз проміжків: A ∩ B
Переріз A ∩ B — це множина чисел, які належать обом проміжкам одночасно. Графічно це спільна частина штрихувань обох проміжків. Наприклад:
[−2; 5) ∩ (1; +∞) = (1; 5). Спільна частина: числа, що більші за 1 і менші за 5. Точка 1 не входить (у другому проміжку вона виключена), точка 5 не входить (у першому проміжку вона виключена).
Об'єднання проміжків: A ∪ B
Об'єднання A ∪ B — це множина чисел, які належать хоча б одному з проміжків. Графічно це вся заштрихована область від обох проміжків разом. Наприклад:
[−2; 5) ∪ (1; +∞) = [−2; +∞). До об'єднання входять усі числа від −2 (включно) до +∞, оскільки проміжки перекриваються й заповнюють безперервну ділянку.
Алгоритм знаходження перерізу й об'єднання
Накресли координатну пряму. Познач на ній усі кінці (числа) обох проміжків у порядку зростання.
Познач перший проміжок штрихуванням зверху (або одним кольором), а другий — штрихуванням знизу (або іншим кольором). Використай зафарбовані чи виколоті точки відповідно до дужок.
Для перерізу: візьми ділянку, де штрихування збігаються (обидва проміжки). Визнач дужки: кінець входить у переріз, тільки якщо він належить обом проміжкам.
Для об'єднання: візьми всю ділянку, яка заштрихована хоча б одним проміжком. Якщо між проміжками є розрив, запиши об'єднання через значок ∪.
Спільний кінець: особливі випадки
Коли проміжки мають спільний кінець, важливо правильно визначити дужки в перерізі й об'єднанні.
A | B | A ∩ B | A ∪ B |
|---|---|---|---|
[0; 3] | (3; 7) | ∅ | [0; 7) |
[0; 3] | [3; 7) | {3} | [0; 7) |
(0; 3) | [3; 7) | ∅ | (0; 7) |
Пояснимо перший рядок: [0; 3] ∩ (3; 7) = ∅, бо число 3 належить першому проміжку, але не належить другому (там дужка кругла). Спільних точок немає. Натомість [0; 3] ∩ [3; 7) = {3}, оскільки 3 належить обом проміжкам.
Проміжки без спільних точок
Якщо проміжки не мають спільних точок, їхній переріз — це порожня множина, яку позначають символом ∅. Якщо ж такі проміжки стикуються, як [0; 3] і (3; 7), їхнє об'єднання — один проміжок [0; 7). Коли між проміжками є розрив (числа, що не належать жодному з них), об'єднання не є одним проміжком — його записують через символ ∪:
Наприклад: (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Це означає «усі числа, менші за −1, а також усі числа, не менші за 2».
Цілі числа в проміжках
У завданнях можуть запитати, скільки цілих чисел міститься в перерізі чи об'єднанні проміжків. Щоб лічити цілі числа:
Спочатку знайди сам проміжок — переріз або об'єднання.
Визнач, які кінці входять до нього.
Перелічи всі цілі числа, що лежать усередині.
Приклади:
(1; 5) містить цілі числа 2, 3, 4 — усього три числа.
[−2; 5) містить −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 — сім цілих чисел.
[−4; 3) ∩ (−1; 7] = (−1; 3) містить 0, 1, 2 — три числа.
Розв'яжемо кілька типових завдань, які трапляються на НМТ. Кожне завдання має п'ять варіантів відповіді (А–Д), серед яких лише один правильний.
Приклад 1. Від нерівності до проміжку
Завдання. Укажіть проміжок, що відповідає нерівності .
Розв'язання. У нерівності є дві частини: ліва і права . Біля числа −3 стоїть строгий знак <, тому біля −3 ставимо круглу дужку: (−3. Біля числа 4 стоїть нестрогий знак ≤, тому біля 4 ставимо квадратну дужку: 4]. Записуємо кінці в порядку зростання через крапку з комою: (−3; 4].
Відповідь. (−3; 4].
Чому інші варіанти неправильні. [−3; 4) — помилка в обох дужках: −3 має бути круглою (строгий знак), 4 — квадратною (нестрогий). (−3; 4) — обидві дужки круглі, але біля 4 має бути квадратна. [−3; 4] — обидві квадратні, а біля −3 має бути кругла. (4; −3] — кінці записано в порядку спадання, що неприпустимо.
Приклад 2. Переріз проміжків
Завдання. Знайдіть переріз проміжків і .
Розв'язання. Переріз — це числа, що належать обом проміжкам. Наносимо обидва проміжки на координатну пряму. Перший: від −2 (включно) до 5 (виключно). Другий: від 1 (виключно) до +∞. Спільна частина: числа, більші за 1 (бо від 1 другий проміжок починається виключно) і менші за 5 (бо перший кінчається виключно). Точка 1 не входить, точка 5 не входить. Отже, (1; 5).
Відповідь. (1; 5).
Чому інші варіанти неправильні. [−2; +∞) — це об'єднання, а не переріз. [1; 5) — квадратна дужка біля 1 помилкова, бо 1 не належить другому проміжку. (1; 5] — квадратна дужка біля 5 помилкова, бо 5 не належить першому проміжку. [−2; 1] — ці числа не входять у другий проміжок.
Приклад 3. Об'єднання проміжків
Завдання. Укажіть об'єднання проміжків і .
Розв'язання. Об'єднання — це числа, що належать хоча б одному проміжку. Перший проміжок: усі числа від −∞ до 2 включно. Другий: від −1 (виключно) до 6 (виключно). Вони перекриваються на ділянці (−1; 2] (але це неважливо — об'єднання покриває все). Разом покриваємо числа від −∞ до 6, але без 6 (бо 6 не входить у другий проміжок). Отже, (−∞; 6).
Відповідь. (−∞; 6).
Чому інші варіанти неправильні. (−1; 2] — це переріз, а не об'єднання. (−∞; 6] — квадратна дужка біля 6 помилкова. [−1; 6) — квадратна дужка біля −1 помилкова. (−∞; +∞) — таке об'єднання покривало б числа, більші за 6, які не входять у жоден проміжок.
Приклад 4. Скільки цілих чисел у перерізі?
Завдання. Скільки цілих чисел належить перерізу проміжків і ?
Розв'язання. Спочатку знаходимо переріз. Перший проміжок: від −4 (включно) до 3 (виключно). Другий: від −1 (виключно) до 7 (включно). Спільна частина: числа, більші за −1 (бо −1 виключена з другого проміжку) і менші за 3 (бо 3 виключена з першого проміжку). Отже, переріз: (−1; 3). Цілі числа в цьому проміжку: 0, 1, 2. Усього три числа.
Відповідь. 3.
Чому інші варіанти неправильні. Якщо не зважити на те, що −1 і 3 не входять, можна помилково нарахувати 5 чисел (−1, 0, 1, 2, 3). Якщо порахувати всі цілі числа об'єднання [−4; 7], отримаємо 12 чисел — це теж пастка.
Приклад 5. Від зображення до нерівності
Завдання. На координатній прямій точка −1 виколота, точка 4 зафарбована, заштриховано числа між ними. Якій нерівності відповідає зображена множина?
Розв'язання. Виколота точка −1 означає, що −1 не належить множині — біля неї строгий знак (< або >). Числа, що лежать праворуч від −1, задовольняють умову x > −1. Зафарбована точка 4 означає, що 4 належить множині — нестрогий знак (≤ або ≥). Числа, що лежать ліворуч від 4, задовольняють умову x ≤ 4. Поєднуємо: −1 < x ≤ 4.
Відповідь. −1 < x ≤ 4.
Чому інші варіанти неправильні. −1 ≤ x < 4 — обидві дужки помилкові: −1 не належить, а 4 належить. −1 < x < 4 — біля 4 має бути нестрогий знак, бо точка зафарбована. x > −1 — не враховано обмеження зверху (x ≤ 4). x ≤ 4 — не враховано обмеження знизу (x > −1).
Ось найпоширеніші помилки, яких припускаються учні під час роботи з числовими проміжками. Запам'ятай їх — і не втратиш балів на НМТ.
Квадратна дужка біля нескінченності. Запис [3; +∞] — груба помилка. Нескінченність не є числом, її не можна «включити». Завжди пиши круглу дужку: [3; +∞).
Дужка навмання, а не за знаком нерівності. Для x ≥ 5 іноді пишуть (5; +∞), забуваючи, що ≥ дає квадратну дужку. Правильно: [5; +∞).
Кінці в порядку спадання. Запис (4; −3] — помилка, бо 4 > −3. Кінці завжди йдуть від меншого до більшого: (−3; 4].
Плутанина перерізу з об'єднанням. У задачі на систему нерівностей беруть усі числа обох проміжків замість спільних. Система вимагає, щоб умови виконувалися одночасно — це переріз, а не об'єднання.
Квадратна дужка в перерізі біля кінця, що належить лише одному проміжку. Наприклад, [0; 3] ∩ (3; 7) іноді записують як {3}. Але 3 не належить другому проміжку, тому переріз — порожня множина ∅.
Не переписують нерівність, де число ліворуч. З нерівності «3 ≥ x» роблять [3; +∞), не змінивши напрямок. Правильно: x ≤ 3 → (−∞; 3].
Об'єднання віддалених проміжків одним проміжком. Наприклад, (−∞; −1) ∪ [2; +∞) не можна записати одним проміжком, бо числа між −1 та 2 не входять. Запис (−∞; +∞) був би хибним.
Числові проміжки входять до теми 1.1 програми НМТ з математики («розрізняти види чисел і числових проміжків»). У демоваріанті НМТ-2026 завдання 13 — це система нерівностей, розв'язок якої є перерізом проміжків. Формат: вибір однієї відповіді з п'яти (А–Д), 0 або 1 бал.
Варіанти відповідей можуть відрізнятися лише дужкою біля одного з кінців, тому кожен кінець перевіряй окремо. Спочатку визнач ліву межу: чи вона входить — квадратна чи кругла дужка? Потім праву межу. Підстав число-кінець у нерівність, щоб упевнитися.
Позначень числових проміжків у довідкових матеріалах НМТ немає, тому всі види й правила треба пам'ятати. На всю математику відведено орієнтовно 60 хвилин на 22 завдання, тому запис проміжку не має забирати більше хвилини. Якщо сумніваєшся — накресли швидку координатну пряму.
Чому біля нескінченності дужка завжди кругла?
Нескінченність (∞) — не число, а позначення того, що числа не мають межі. Ми не можемо сказати, що якесь число «дорівнює» нескінченності або що ми «досягли» нескінченності. Тому символ ∞ ніколи не може бути включеним кінцем проміжку — біля нього завжди кругла дужка. Наприклад: [−5; +∞), а не [−5; +∞].
Як запам'ятати, яка дужка включає кінець?
Зв'яжи дужку зі знаком нерівності. Якщо знак «нестрогий» — тобто дозволяє рівність (≤ або ≥), то дужка «квадратна» — вона ніби «закриває» кінець усередині проміжку. Якщо знак «строгий» (< або >) — кінець виключений, тому дужка «кругла», вона ніби «відпускає» кінець. Ще один мнемонічний прийом: квадратна дужка схожа на квадратний значок зафарбованої точки, кругла — на виколотий кружечок.
Чим переріз проміжків відрізняється від об'єднання?
Переріз (A ∩ B) — це числа, які належать обом проміжкам одночасно. Це відповідає логічному «і»: x належить A і x належить B. Об'єднання (A ∪ B) — це числа, які належать хоча б одному з проміжків. Це відповідає логічному «або»: x належить A або x належить B (або обом). Наприклад: для A = [0; 3] і B = [3; 7) переріз — {3} (лише точка 3), а об'єднання — [0; 7) (усі числа від 0 до 7, крім 7).
Як записати відповідь, якщо об'єднання складається з двох окремих частин?
Якщо проміжки не перекриваються і між ними є розрив, об'єднання записують через символ ∪ між проміжками. Наприклад: (−∞; −1) ∪ [2; +∞). Не можна записувати таке об'єднання одним проміжком — це буде помилка, тому що числа з «дірки» (наприклад, 0 або 1) не належать жодному з проміжків.
Що означає порожня множина і як її записати?
Порожня множина (∅) — це множина, яка не містить жодного числа. Вона виникає в перерізі проміжків, коли в них немає спільних точок. Наприклад, [0; 3] ∩ (3; 7) = ∅, бо число 3 належить першому проміжку, але не належить другому (там кругла дужка), а жодне інше число не входить в обидва проміжки одночасно. Записують порожню множину символом ∅ або фігурними дужками {}.
Квадратна дужка — кінець належить (нестрогий знак ≤ або ≥, зафарбована точка). Кругла дужка — не належить (строгий знак < або >, виколота точка).
Біля −∞ і +∞ дужка завжди кругла, бо нескінченність — не число.
Кінці проміжку записуємо в порядку зростання через крапку з комою: [−3; 2), а не (2; −3].
Переріз (∩) — спільні числа обох проміжків. Об'єднання (∪) — числа, що належать хоча б одному проміжку.
Кінець належить перерізу, лише якщо належить обом проміжкам. Об'єднанню — якщо належить хоча б одному.
Розв'язок системи нерівностей — переріз проміжків, записаний числовим проміжком.