Архімедова сила

Коли ти занурюєш тіло у воду, відчуваєш, що воно стає легшим. Це відбувається тому, що з боку рідини на тіло діє сила, яка виштовхує його вгору. Цю силу називають виштовхувальною, або архімедовою силою — на честь давньогрецького вченого Архімеда, який уперше сформулював закон, що її описує.

Причина виникнення архімедової сили

Тиск у рідині зростає з глибиною: на нижню поверхню зануреного тіла рідина тисне сильніше, ніж на верхню. Оскільки сила тиску залежить від глибини (p = ρgh), то на нижню грань діє більша сила, ніж на верхню. Різниця цих сил і створює виштовхувальний ефект, напрямлений угору.

Розгляньмо тіло у формі прямокутного бруска з площею основи S, висотою H, занурене в рідину густиною ρ. Нехай верхня грань перебуває на глибині h₁, а нижня — на глибині h₂ = h₁ + H. Тоді:

сила тиску на верхню грань: F₁ = p₁·S = ρ·g·h₁·S (напрямлена вниз); сила тиску на нижню грань: F₂ = p₂·S = ρ·g·h₂·S (напрямлена вгору).

Рівнодійна сил тиску (виштовхувальна сила):

F = F₂ − F₁ = ρ·g·(h₂ − h₁)·S = ρ·g·H·S = ρ·g·V,

де V = H·S — об'єм тіла (або об'єм зануреної частини). Отже, виштовхувальна сила дорівнює добутку густини рідини, прискорення вільного падіння та об'єму зануреної частини тіла.

Закон Архімеда

Формулювання закону Архімеда: на тіло, занурене в рідину або газ, діє виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини (газу) в об'ємі зануреної частини тіла:

F_A = m_рід·g = ρ_рід·g·V_занур

де ρ_рід — густина рідини (або газу), g — прискорення вільного падіння (≈ 9,8 м/с², у задачах НМТ часто беруть 10 м/с²), V_занур — об'єм частини тіла, зануреної в рідину.

Дослід Архімеда з відерцем і циліндром

Класичний дослід, який ілюструє закон: беруть металевий циліндр, об'єм якого точно дорівнює внутрішньому об'єму відерця. До динамометра підвішують відерце, а під ним — циліндр. Динамометр показує їхню спільну вагу. Коли циліндр повністю занурюють у воду, покази динамометра зменшуються — різниця дорівнює архімедовій силі. Потім відерце наповнюють водою до країв — динамометр знову показує початкове значення. Це доводить, що виштовхувальна сила дорівнює вазі води, витісненої тілом.

Основна формула для обчислення архімедової сили:

F_A = ρ_рідини·g·V_занур

Тут ρ_рідини — густина рідини (або газу), у яку занурене тіло, а не густина самого тіла. V_занур — об'єм частини тіла, що перебуває під поверхнею рідини. Якщо тіло занурене повністю, V_занур дорівнює об'єму всього тіла.

Від чого не залежить архімедова сила

Архімедова сила не залежить від:

• густини й маси тіла;

• форми тіла;

• глибини занурення (поки тіло повністю занурене).

Два тіла однакового об'єму, виготовлені з різних матеріалів (наприклад, сталь і алюміній), зазнають однакової архімедової сили, якщо повністю занурені в одну й ту саму рідину. Важливий лише об'єм зануреної частини, а не те, з чого зроблене тіло.

Залежність від рідини

У різних рідинах архімедова сила різна, оскільки густина рідини входить у формулу. Наприклад:

Як бачиш, у воді F_A в 1,25 раза більша, ніж у гасі (1000/800 = 1,25), а в ртуті — у 13,6 раза більша, ніж у воді (13 600/1000 = 13,6).

Частково занурене тіло

Якщо тіло занурене не повністю, у формулу підставляють лише об'єм зануреної частини. Наприклад, якщо в рідину занурена половина тіла об'ємом 400 см³, то V_занур = 200 см³. Під час занурення тіла архімедова сила зростає, поки тіло не опиниться повністю під водою. Після повного занурення F_A лишається сталою, навіть якщо тіло опускати глибше.

Приклад розрахунку

Тіло об'ємом 200 см³ повністю занурили у воду (ρ = 1000 кг/м³, g = 10 м/с²). Переведемо об'єм у м³: 200 см³ = 200·10⁻⁶ м³ = 2·10⁻⁴ м³. Тоді:

F_A = 1000·10·2·10⁻⁴ = 2 Н.

Якби те саме тіло занурили в гас (ρ = 800 кг/м³), архімедова сила становила б: F_A = 800·10·2·10⁻⁴ = 1,6 Н.

Коли тіло підвішене до динамометра й занурене в рідину, динамометр показує не всю вагу тіла, а лише різницю між силою тяжіння та архімедовою силою. Це тому, що рідина виштовхує тіло, зменшуючи натяг нитки (або пружини динамометра).

Формула ваги тіла в рідині

Вага тіла, повністю зануреного в рідину й підвішеного на динамометрі:

P_рід = mg − F_A

де mg — вага тіла в повітрі (без урахування малої архімедової сили в повітрі), F_A = ρ_рід·g·V — архімедова сила. Сила пружності нитки (показ динамометра) зменшується саме на величину F_A.

Визначення густини тіла за допомогою динамометра

Це типова задача з теми «Елементи механіки рідин та газів». Якщо виміряти вагу тіла в повітрі (P₁) і у воді (P₂), то:

• архімедова сила: F_A = P₁ − P₂

• об'єм тіла: V = F_A / (ρ_в·g) = (P₁ − P₂) / (ρ_в·g)

• маса тіла: m = P₁ / g

• густина тіла: ρ_тіла = m / V = (P₁ / g) / ((P₁ − P₂) / (ρ_в·g)) = ρ_в·P₁ / (P₁ − P₂)

Зверни увагу: у кінцевій формулі g скорочується, тому густина тіла залежить лише від показів динамометра та густини води.

Приклад

Динамометр показує 5 Н у повітрі й 3 Н у воді (g = 10 м/с², ρ_в = 1000 кг/м³).

F_A = 5 − 3 = 2 Н.

V = 2 / (1000·10) = 2·10⁻⁴ м³ = 200 см³.

m = 5 / 10 = 0,5 кг.

ρ_тіла = 0,5 / (2·10⁻⁴) = 2500 кг/м³.

Або за формулою: ρ_тіла = 1000·5 / (5 − 3) = 5000 / 2 = 2500 кг/м³.

Тіло з порожниною

Якщо в тіла є внутрішня порожнина, то густина, знайдена за описаною методикою, — це середня густина всього тіла (маса, поділена на зовнішній об'єм). Вона буде меншою за густину матеріалу, з якого виготовлене тіло. Наприклад, порожниста металева кулька матиме меншу середню густину, ніж суцільна з того самого металу.

Закон Архімеда діє не лише в рідинах, а й у газах. Будь-яке тіло, занурене в газ (наприклад, у повітря), витісняє певний об'єм газу, тому на нього діє виштовхувальна сила:

F_A = ρ_газу·g·V

де ρ_газу — густина газу, V — об'єм тіла (або зануреної частини).

Чому ми не помічаємо архімедової сили в повітрі

Густина повітря біля поверхні Землі становить приблизно 1,29 кг/м³. Це в сотні разів менше за густину води (1000 кг/м³). Тому архімедова сила, що діє на тіло в повітрі, дуже мала порівняно з його вагою. Наприклад, на тіло об'ємом 1 л (0,001 м³) у повітрі діє сила F_A ≈ 1,29·10·0,001 ≈ 0,013 Н — це лише 1,3 грама. У повсякденних розрахунках вагу тіл у повітрі вимірюють без поправки на архімедову силу, бо вона несуттєва.

Повітряні кулі та аеростати

Повітряна куля, аеростат або дирижабль піднімаються вгору, коли архімедова сила, що діє на них з боку повітря, перевищує силу тяжіння оболонки, газу всередині та вантажу. Куля, наповнена гелієм або гарячим повітрям, має меншу середню густину, ніж холодне повітря ззовні, тому вона спливає.

Підіймальна сила аеростата

Підіймальна сила аеростата об'ємом V обчислюється за формулою:

F_підйом = (ρ_пов − ρ_газу)·g·V − вага оболонки

де ρ_пов — густина зовнішнього повітря (≈ 1,29 кг/м³ біля землі), ρ_газу — густина газу всередині кулі (наприклад, гелію ≈ 0,18 кг/м³), g — прискорення вільного падіння, V — об'єм кулі. Густини газів зазвичай задають в умові задачі.

Приклад

Аеростат об'ємом 100 м³ наповнений гелієм (ρ_гел = 0,18 кг/м³). Густина повітря 1,29 кг/м³, g = 10 м/с², вага оболонки 200 Н. Підіймальна сила:

F_підйом = (1,29 − 0,18)·10·100 − 200 = 1,11·10·100 − 200 = 1110 − 200 = 910 Н.

Отже, такий аеростат може підняти вантаж масою до 91 кг (910 Н / 10 м/с²).

Приклад 1. Обчислення архімедової сили

Тіло об'ємом 500 см³ повністю занурили у воду. Знайди архімедову силу, що діє на тіло. Густина води 1000 кг/м³, g = 10 м/с².

Розв'язання:

Переведемо об'єм у м³: 500 см³ = 500·10⁻⁶ м³ = 5·10⁻⁴ м³.

За законом Архімеда: F_A = ρ_рід·g·V_занур = 1000·10·5·10⁻⁴ = 5 Н.

Відповідь: 5 Н.

Типова помилка: не перевести см³ у м³. Якщо підставити 500 замість 5·10⁻⁴, отримаєш 5 000 000 Н — абсурдний результат.

Приклад 2. Порівняння архімедових сил

Дві суцільні кульки однакового об'єму — сталева й алюмінієва — повністю занурені у воду. Як співвідносяться архімедові сили, що діють на них?

А) на сталеву більша; Б) на алюмінієву більша; В) однакові; Г) залежить від глибини занурення.

Розв'язання:

Архімедова сила залежить від густини рідини, об'єму зануреної частини та g. Вона не залежить від густини або матеріалу тіла. Обидві кульки мають однаковий об'єм і повністю занурені в одну й ту саму воду, тому F_A для них однакова.

Відповідь: В) однакові.

Чому інші варіанти неправильні: А — густина сталі більша, але це не впливає на F_A; Б — алюміній легший, але F_A від цього не залежить; Г — для повністю занурених тіл F_A не залежить від глибини.

Приклад 3. Визначення густини тіла за динамометром

Динамометр показує 8 Н, коли тіло підвішене в повітрі, і 6 Н, коли тіло повністю занурене у воду. Визнач густину тіла. Густина води 1000 кг/м³, g = 10 м/с².

Розв'язання:

1) Архімедова сила: F_A = P₁ − P₂ = 8 − 6 = 2 Н.

2) Об'єм тіла: V = F_A / (ρ_в·g) = 2 / (1000·10) = 2·10⁻⁴ м³.

3) Маса тіла: m = P₁ / g = 8 / 10 = 0,8 кг.

4) Густина тіла: ρ = m / V = 0,8 / (2·10⁻⁴) = 4000 кг/м³.

Або за формулою: ρ_тіла = ρ_в·P₁ / (P₁ − P₂) = 1000·8 / (8 − 6) = 8000 / 2 = 4000 кг/м³.

Відповідь: 4000 кг/м³.

Типова помилка: обчислити F_A = P₂ − P₁ = −2 Н і отримати від'ємний об'єм. Пам'ятай: у воді вага менша, тому P₁ > P₂.

Приклад 4. Визначення об'єму тіла за вагою в різних рідинах

Вага тіла у воді дорівнює 12 Н, а в гасі — 12,4 Н. Густина гасу 800 кг/м³, густина води 1000 кг/м³, g = 10 м/с². Знайди об'єм тіла в см³.

Розв'язання:

Позначимо вагу тіла в повітрі як P. Тоді:

у воді: P − ρ_в·g·V = 12 Н

у гасі: P − ρ_г·g·V = 12,4 Н

Віднімемо друге рівняння від першого:

(P − ρ_в·g·V) − (P − ρ_г·g·V) = 12 − 12,4

−ρ_в·g·V + ρ_г·g·V = −0,4

g·V·(ρ_г − ρ_в) = −0,4

10·V·(800 − 1000) = −0,4

10·V·(−200) = −0,4

−2000·V = −0,4

V = 0,4 / 2000 = 2·10⁻⁴ м³ = 200 см³.

Відповідь: 200 см³.

Типова помилка: не врахувати, що вага в гасі більша, ніж у воді, тому що архімедова сила в гасі менша. Різниця ваг дає різницю архімедових сил.

• Підставляти густину тіла замість густини рідини. У формулу F_A = ρ·g·V входить густина рідини (або газу), у яку занурене тіло, а не густина самого тіла. Наприклад, для сталевої кульки у воді беруть ρ = 1000 кг/м³ (вода), а не ρ = 7800 кг/м³ (сталь).

• Брати об'єм усього тіла, коли воно занурене частково. Якщо тіло занурене лише наполовину, V_занур — це половина повного об'єму. Уважно читай умову: «повністю занурене» чи «занурене на 1/3 об'єму».

• Вважати, що архімедова сила більша для важчого тіла або на більшій глибині. F_A не залежить від маси тіла. Для повністю занурених тіл вона не залежить і від глибини, бо глибина вже врахована через об'єм (різниця тисків на верхню й нижню поверхні не змінюється з глибиною).

• Забувати, що вага тіла в рідині — це mg − F_A, а не F_A. Динамометр показує різницю між силою тяжіння та архімедовою силою. Якщо тіло плаває, динамометр покаже 0, але F_A при цьому дорівнює mg.

• Не переводити см³ у м³ (10⁻⁶) й г у кг. Об'єм у СІ вимірюють у м³: 1 см³ = 10⁻⁶ м³, 1 л = 0,001 м³. Маса — у кг: 1 г = 0,001 кг. Забувши перевести, отримаєш результат, що відрізняється в 1000 або 1 000 000 разів.

Формула архімедової сили F_A = ρgV є в довідкових матеріалах НМТ. Однак густини рідин і газів у довідці немає — їх завжди дає умова задачі. Тому уважно читай, яка густина задана, і не плутай густину рідини з густиною тіла.

Програма НМТ з фізики (тема 1.4 «Елементи механіки рідин та газів») вимагає застосовувати закон Архімеда й пояснювати досліди Архімеда. У демоваріанті 2026 року тему 1.4 не представлено, але це не означає, що її не буде на самому тестуванні — готуватися потрібно за повною програмою.

У розрахунковому завданні з короткою відповіддю (номери 17–22, оцінюється 0 або 2 бали) об'єм і густини можуть бути задані в різних одиницях: об'єм у см³, л або м³, густина в г/см³ або кг/м³. Твоє завдання — перевести всі величини в СІ перед підстановкою в формулу. Нагадаємо:

• 1 см³ = 10⁻⁶ м³

• 1 л = 0,001 м³ = 10⁻³ м³

• 1 г/см³ = 1000 кг/м³

Стратегія розв'язування задачі на НМТ: спочатку визнач, яку саме величину потрібно знайти (F_A, V, ρ_тіла, P_рід). Випиши дані з умови, переведи в СІ. Застосуй відповідну формулу. Перевір, чи збігається твій числовий результат із варіантами відповідей (для завдань із вибором) або чи має він розумний порядок (для короткої відповіді).

• Архімедова сила: F_A = ρ_рід·g·V_занур; напрямлена вгору.

• F_A залежить від густини рідини (газу) й об'єму зануреної частини, а не від густини, маси чи форми тіла.

• Вага тіла в рідині: P = mg − F_A.

• За показами динамометра в повітрі (P₁) і у воді (P₂) можна знайти густину тіла: ρ_тіла = ρ_в·P₁ / (P₁ − P₂).

• У газах діє той самий закон: F_A = ρ_газу·g·V. Підіймальна сила аеростата: F_підйом = (ρ_пов − ρ_газу)·g·V − вага оболонки.

• Для повністю зануреного тіла F_A не залежить від глибини.